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基于边缘效应的绕组损耗估算

2012-01-06 17:03:17 来源:《磁性元件与电源》2012年1月刊 点击:2320

摘要:  文章提出了一种简单的方法,给出了包括二维(2-D)边缘效应在内的绕组交流(ac)损耗的估算方法。文章首先叙述用一维(1-D)分析法估算线绕绕组的损耗。然而,因为二维(2-D)边缘效应引起的附加绕组损耗非常明显,但又不能用1-D方法分析估算,故本文在1-D分析方法的基础上建立起了一组用1-D分析结果作校正系数的2-D边缘效应估算法。文章还采用有限元分析(FEA)法验证了所估算的结果。

关键字:  边缘效应,铜箔绕组,高频交流损耗,二维(2-D)分析法

1 引言
提高电力电子技术中功率变换器及其所在系统的性能,诸如降低成本,提高功率密度和效率,控制带宽和减小无源元件尤其是电感元件的体积尺寸,仍是当前电力电子技术研究中的热门课题。在解决这些技术中,开关频率是一个关键的因素。众所周知,功率变换器开关频率在不断提高,因此,我们必须研究高频对磁性元件的损耗所产生的影响,提出估算方法。
在高频时,涡流感应的趋肤效应和邻近效应将在线绕电感元件绕组内产生附加损耗。趋肤效应和邻近效应会改变磁性元件的电磁分布和电流分布,从而导致交流电阻增大。
分析高频磁性元件绕组的损耗已有一些方法,如1-D分析法。假设边缘效应为一元(1-D),即假设导体内的电磁场和电流分布是单向的。但在许多电感产品的应用场合,尤其是在变压器绕组中,二维(2-D)边缘效应更会引起附加的交流损耗,而且损耗可能较大。但这种附加的ac损耗不能用1-D分析法估算,必须使用有限元分析(FEA)才可以估算由2-D边缘效应引起的损耗。但是,FEA法的缺点是不能提供通用的解答,需要对不同设计进行各自独立的探讨估算。为此,必须寻找简化的解法,以减小估算损耗的复杂性。本文即提出了一种估算绕组包括2-D边缘效应ac损耗的简单解决方案,这就是基于引入一组1-D分析结果作为校正系数以说明2-D边缘效应的方案。
2 自由空间中的铜箔绕组损耗分析
2.1 一维(1-D)分析
图1所示为自由空间中的一种带状导体。如果该带状导体的长度与宽度之比率很大,即L2a,则就可以用1-D分析法求解铜箔绕组的损耗。
图1的答案可用麦克斯韦方程以笛卡尔坐标求解。在这种导体中,电流只是在Z方向流动。通过该图所示的对称性可见,只有非零磁场的分量为x分量。因此,合成磁场的微分方程式为:
                                (1)
式中,δ为趋肤深度,其定义为:
                                        (2)
式中,μ为磁导率,σ是电导率。再可以使用麦克斯韦方程求解电流密度JZ和磁场强度Hx之间的关系:
                                  (3)
式(1)的一般解为:
Hx=H1eKy+H2e-Ky                                                           (4)
式中的H1和H2是常数,可用带状导体的边界条件(y=±a)计算。根据该导体的对称性,+a和-a的磁场强度有如下关系:
                              (5)
式中带状导体周围的H0可以根据安培电路定律计算:
                                 (6)
式中,I为带状导体内的总电流。将式(5)和式(6)代入式(7),求出常数H1和H2,于是获得了磁场解:
                          (7)
式中的K是常数,其定义为:
                                  (8)
将式(3)代入式(7),可以求得带状导体内的电流密度分布:
                          (9)
至此,带状导体内的功率损耗可以根据下式(10)计算:
                           (10)
一俟计算得出功耗,即可用以下式(11)计算得到带状导体的电阻值:
                     (11)

在此需要指出的是,交流(ac)电阻值已经被规范为一个趋肤深度的直流(dc)电阻值。
图2是按照归—化ac电阻值和归-化带状导体厚度的函数关系绘制的。研究图2之后,我们可以看到,带状导体显然存在着一个损耗最小的最佳厚度。在自由空间中,带状导体的最佳厚度为πδ,而归—化的ac电阻值则为0.46Ω。
2.2 二维(2-D)分析
以上用1-D分析法研究了带状导体的特性,并用1-D FEA进行了检验。这个分析与检验是以假设带状导体是无限长为前提的,所以这个假设必须成立。然而,在高激发频率下,这个假设并不成立的。2-D边缘效应改变了带状导体内的电流分布,致使在带状导体的边缘附近的电流密度增高,这是由带状导体边缘附近的垂直磁场分量引起的,这个垂直磁场分量会引起较大的感生电流(见图3所示)。
2-D特性的数学描述是十分广延的。这是由于带状导体边缘的边界条件不容易确定。解决这个困难问题的方法之一是假设电流集中于导体表面的趋肤深度范围内。如果导体的厚度比趋肤深度大几倍,则这种假设成立。根据这一假设,并且假定导体表面的电流密度JS是已知的,那么,沿导体深度方向的电流密度分布为:
J=JSe-Kn                                                            (12)
式中,n为电流进入表面的标准深度,K由式(8)给出。
在甚高频段时,趋肤深度变得非常小。因此,导线表面近似于一条线状磁场流。在这种情况下,导体表面方向的电流密度分布会在导体表面上转变成静电电荷分布。所以,只要已知导体表面的静电电荷分布,就可以直接获得电流密度分布。
下面分析半径为ro的圆柱形导体的电流密度分布。圆柱体表面的电流密度可以使用具有足够精度的指数函数替代Bessel函数进行计算,其表面电流密度分布的表达式为:
                                (13)
该类导体的每单位长度的表面电荷密度分布为:
                                 (14)
将式(13)与式(14)比较,可以清楚地发现,如果总电荷(Q/l)用标量( I/δ)替代,那么,总电荷分布将相当于表面电流密度JS。导体表面的静电电荷分布等同于由导体外侧的标量电势给出的电场密度D。
为了求得由关系式F(x, y)=0给定的外形平面Z=x+jy内之总电荷(Q/l)的静电电荷分布,首先需要研究分析具有相同总电荷的平面W=U+jV的圆柱体外形的静电电荷分布,式中,|W|=r,r2=U2+V2。电场密度的标量势能为:
                           (15)
式中的C为常数。在Z平面内,如果有一个W=f(Z)的函数。则它能将以上的圆形线路转变成相似的由F(x, y)=0给定的线路,这样,该线路的标量势能为:
                         (16)
通过对Z求导V,电场强度和期望的电荷分布为:
                              (17)
式中的右下标S表示沿表面的分布。用式(16)和以()替代(Q/l),可得出沿表面的电流密度分布为:
                    (18)
如果是具有相同截面积的椭圆形与矩形截面积相同,如图4所示,则简化了带状导体的求解问题。
按面积相等假设,带状导体尺寸与椭圆形的长轴和短轴有关,即:
 和                                 (19)
把椭圆形变成圆形,两种图形变换的形式为:
                      (20)
式中的C为焦距,即
                               (21)
将f(Z)代入式(18)并用x+jy代表Z,则可得出沿椭圆表面的电流密度分布为:
             (22)

具有4个趋肤深度(即b'/a'=25)的带状导体,沿其表面的电流分布如图5所示。在此应该指出的是,该电流密度已经被规范为与带状导体1个趋肤深度的均匀电流分布相应的量值。
由图5可以看到,由于在带状导体的边缘附近存在垂直电磁场分量,故在边缘附近的电流密度是非常高的。这就在带状导体内引起了附加损耗,这个问题将在下面分析叙述。
电流密度由式(22)计算给出,为此,带状导体内的ac损耗可用下式(23)计算:
                (23)
通过对式(23)积分,得出总ac电阻为:
                   (24)
式中,K是第一种类型和模数为c/b的椭圆全积分。这里要注意并且很重要的是,以上计算适用于aδ的情况。实际上,先前的解只适用于和a/δ>1.5相应的频率。在较低频率时,需要使用别的解决方案。Dwight提出了低频电源系列的解决方案,其中对任意点分段的电流密度分布之无限系列假定为:
J(x)=J0+J1x+J2x2+…+Jnxn+…                     (25)
此式可以计算每个分量的电流密度对带状导体每米总压降的作用,并得到总ac阻值和dc阻值的比值为:
                 (26)
其中:
P2=8μoσa'b'f                                 (27)
式中:K1=8.743×10-3,K2=3.84×10-4,K3=1.89×10-5。只有在P值很小时,由式(26)求出的解才收敛。这个解的上极限频率相当于a/δ<0.3。因此,对于(0.3a/δ<1.5)来说,存在频率间隙,而在频率间隙处采用任何解法都是不适用的。
Lotfi提出了一个渐近解决方案以用来填补频率间隙。根据前面的分析,在甚高频率的情况下,ac/dc电阻值比接近于高频渐近线,即:
                           (28)
而在低频时,ac/dc电阻值之比近似于低频渐近线,即:
Fac≈1+Cl  f 2    f →∞                                            (29)
当频率变化时,Ch和Cl控制任一渐近线开始的转角频率。这表明,相应于低频和高频渐近线的两个不同的频率fl和fh有2-0个频率响应。将式(28)和式(29)合并,得到总的ac/dc电阻值之比Fac为:
                  (30)

式(30)中的常数和功率由式(28)和式(29)给定的两个渐近线的相关方程式求得,即:
                                 (31)
                   (32)
而r=(K12-2K2)/K12≌11,β=r/2=5.5,α=2。最后得到的ac电阻值为:
Rac=Fac(f)Rdc                                                          (33)
按照以上结果,归—化厚度(b'/a'=30)的函数关系可绘出如图6所示的带状导体的ac电阻值。这里的ac电阻值已被规范为一个趋肤深度的dc电阻值。从图6可见,随着频率的变化,其综合解逐渐近似于低频解和高频解。此外,从图6中也可清楚地看到,带状导体的ac电阻值比用1-D模式分析估算的电阻值几乎高出85%,这一差值主要是由2-D边缘效应产生的。
2.3 校正系数
根据以上分析,我们可以引入计算2-D边缘效应的结果作校正系数来修正用一维分析预测的ac电阻值。校正系数是根据2-D分析预测的ac电阻值与1-D分析预测的ac电阻值之比率计算的。图7示出了用不同带状导体纵横比(b'/a')的归—化导电带厚度为函数的计算校正系数。就自由空间的带状导体而言,其总的ac电阻值为:
Rac=R1-D·CF(b'/a')                           (34)
式中,R1-D为1-D的电阻值,CF是以纵横比为函数的校正系数。将式(11)和式(33)代入式(34),计算得出的校正系数为:
                 (35)
式中,Rac-n(1-D)是归—化的1-D ac电阻值,an为归—化的铜箔厚度。在此应该说明的是,所有的电阻值被规范为一个趋肤深度的dc电阻值。图7示出了以纵横比(b'/a')和归—化铜箔厚度an为函数的计算校正系数。这种分析得出的一个重要观测结论是,当纵横比(b'/a')较大时,ac电阻值较正系数增大。这似乎是与前述的用1-D分析得出的假设相矛盾的,因为在1-D分析中,是用大的纵横比将2-D问题简化为1-D问题,而当纵横比增大时,带状导体的dc电阻值减小。但是,由于大部分的电流在带状导体边缘附近流动,其ac电阻没有明显变化,因此,ac电阻值与dc电阻值之比增大。
图7所示计算获得的校正系数只适用于自由空间中的带状导体。然而在实际应用中,带状铜箔是绕在磁性铁心上的。因此必须考虑磁心的影响。下节将讨论这个问题。
3 磁性铜箔绕组的损耗分析
3.1 一维(1-D)分析
在磁心上以带状导体绕制的绕组存在的边缘效应损耗问题可以采用镜像法简化分析。使用这种简化法时,磁心的影响可以通过研究磁心范围内的镜像铜箔绕组和所含有的电流分量(μr-1/μr+1)I=αI之方程式进行分析。在磁心的磁导率非常大(如采用铁氧体磁心)的情况下,常数α=1。以下的分析中,将假设α=1。
根据以上假定,磁心上绕制的铜箔绕组之1-D ac电阻值可使用类同于自由空间中的某一种带状导体进行分析计算。对于如图8所示的多层绕组结构,其每层内的磁场密度分布由式(4)给出。
各个带状导体的上下表面的边界条件是:
                                 (36)
                                (37)
其中,第m层绕组的α=2(m-1)。而第一层绕组下部表面的磁场强度为0。因此,高磁导率的铁心支配着铁心上部表面的0场强边界条件。
在已知每一层内的场强分布,电流密度,即可计算得出第一层的交流(ac)功率损耗为:
                     (38)


式中,an=2a/δs为归—化的层厚。图9所示为以归—化铜箔厚度为函数的各层归—化ac电阻值的曲线图。由图9可见,在磁心的表面位置,由于为0场强的边界条件,所以单层绕组的ac电阻值是自由空间情况下ac电阻值的2倍。而且,每层的ac电阻值最小时为一个最佳δ厚度。
在实际应用中,由于多层结构绕组多采用单一厚度的铜箔,因此,多层结构绕组的总ac电阻值显得很重要,图10所示为采用单一铜箔厚度的多层绕组的总ac电阻值。与上述的情况一样,所有各层都存在一个最佳的铜箔厚度,都在各自最佳厚度时,则总的ac电阻值最小。当铜箔厚度增大时,多层的最佳厚度近似于趋肤深度的一半。实践中的大部应用时,为得到高频绕组,常用的是一个趋肤深度厚的铜箔。
3.2 二维(2-D)分析
通过把带状导体及其镜像合并为单一导体,可以扩展自由空间状态,图11示出了磁心对2-D分析的影响。合并的导体尺寸为2b×4a,即合并的新导体具有相同的宽度,但厚度大一倍。因此,计入2-D效应的校正系数是按照纵横比计算的。在2倍的铜箔厚度时,该纵横比是自由空间状态纵横比的二分之一,即:
                      (39)
为了证实此结果,我们利用Maxwell 2D和Ansolf公司的FEA程序模拟了一个单层结构电感器。图12所示即为所模拟的电感器结构。这里要指出的是,由于其结构的对称性,我们只研究分析其上半部分。
在本分析研究中共使用了4种厚度的铜箔:半个趋肤深度,1个趋肤深度,1.5个趋肤深度和3个趋肤深度。工作频率则选定为75kHz,该频率产生的趋肤深度为10mil。铜箔厚度为1个趋肤深度时,dc电阻值为2.38mΩ/m。表1列出了用FEA分析法和本文所提出的方法计算得出的总ac电阻值。从表1可见,除了存在百分之几的误差以外,预测的和计算得出的ac电阻值几乎相同。产生这些误差是因为磁心不完全适合于理想导体等因素。事实上,FEA分析也是以无磁心时进行计算的,在利用对称性假定时,与有磁心状况相比较,最终的误差为5%。这个误差是可以接受的。而且所预测的2-D ac电阻值与实际的ac电阻值很接近。
表 1  二匝单层结构的ac电阻值
绕组 Rac(FEA)
mΩ/m R1-D
mΩ/m CF Rac(2-D)
mΩ/m 误差
顶部 
0.5δ (5mil) 8.94 4.605 1.795 8.26 -7.6%
1δ (10mil) 5.35 2.58 1.98 5.11 -4.4%
1.5δ (15mil) 4.63 2.19 2.013 4.40 -5%
3δ (30mil) 4.27 2.39 1.58 3.78 -11%
底部 
0.5δ (5mil) 9.27 4.605 1.795 8.26 -11%
1δ (5mil) 5.36 2.58 1.98 5.11 -4.7%
1.5δ (5mil) 4.73 2.19 2.013 4.40 -6.9%
3δ (5mil) 4.36 2.39 1.83 3.78 -13%

为了把这个求解方法扩展到多绕组结构,确定多绕组之间的相互影响是必要的。在此,我们利用Maxwell 2D模拟10匝5层的绕组结构。在此与前面一样的使用了3种厚度的铜箔。顶层绕组的ac电阻值如表2所列。从表2中可以清楚地发现,1-D ac电阻值和用FEA计算得出的ac电阻值之间的差别很大:首先,对于5mil的情况,顶部第5层的FEA ac电阻值与底部第1层的FEA ac电阻值之比为2.0;在10mil的情况下,它们的比值为2.8;而对于30mil的情况,其比值为6.1。可见这与1-D情况时差别很大。在1-D情况时,对于5mil、10mil、30mil的ac电阻值之比分别为1.43、17.5和44.6。这就说明1-D模型不再正确。其次,当铜箔的厚度增大时,5层绕组的总ac电阻值的变化不大。这与1-D模型分析的结果相反,在1-D分析中,铜箔的厚度即使变化很小,也会引起较大的ac电阻值变化。第三,由以上分析结果可见,铜箔厚度为1个趋肤深度时总的ac电阻值最小。这与高频电感器设计时采用1个趋肤深度厚的铜箔一致。最后,第1层的ac电阻值比1-D预测值高得多。对第1层来说,当铜箔厚度增大时,被认为1-D分析的归—化ac电阻值每单位近似等于1。显然,这不是FEA的结果。事实上,由于绕组层数增多,第1层的ac电阻值将相应增大。这是由于每增加一层,边缘效应也随着增大。图13示出了在二层结构的铜箔边缘附近的电流密度,图14则示出了在五层结构的铜箔边缘附近的电流密度情况。从这两个图中可以清楚地看出,第一层的边缘效应随着附加层(1.0×108与1.5×108)的增大而增大。
表 2  10匝5层结构的ac电阻值
层 Rac(1-D)
mΩ/m Rac(1-D)(归—化) R1-D
mΩ/m 误差
0.5δ (5mil) 
1 14.52 1.935 4.61 3.14
2 14.66 2.03 4.83 3.04
3 16.33 2.22 5.28 3.09
4  2.49 5.93 3.44
5  2.87 6.83 4.28
总计 95.11 11.545 27.48 3.45
1δ (10mil) 
1 11.34 1.07 2.55 4.44
2 10.44 1.74 4.14 2.52
3 12.02 3.10 7.38 1.63
4 17.23 5.13 12.21 1.41
5 31.50 7.84 18.60 1.64
总计 82.50 18.88 44.94 1.84
3δ (30mil) 
1 8.93 1.00 2.38 3.75
2 11.09 5.36 12.76 0.86
3 18.44 14.07 33.50 0.55
4 29.69 27.13 64.50 0.45
5 54.82 44.60 105.10 0.52
总计 123 92.16 218.24 0.55


为了计算多层铜箔绕组的ac电阻值的附加增长,现在分析研究如图15所示的铜箔绕组多层结构。根据图示和有关单一导体的假设即电流是顺磁场流线流动的,因此,导体边缘附近的电流分布将受到各个附加层所有磁场累积和的影响。
为了计算由多层绕组结构2-D效应引起的ac电阻值变量,可以利用先前分析得出的校正系数。可以用下面的假设简化这种计算,即将每一层与所有各层合并,这样,多层结构就变成了一个具有合并层厚度的单层。然后,新的合并层的校正系数就可以用式(38)来计算。通过对所有各层取平均值校正系数,就可以求得1-D的总ac电阻值的总校正系数。
利用前面讨论过的单层绕组的校正系数,就可以近似地给出一个有关多层铜箔绕组的2-D ac电阻值的表达式:
Rac-t(2-D)=Rac-t(1-D)·CFt                                            (40)
式中,Rac-t(1-D)为图10所示的多层铜箔绕组的总ac电阻值,CFt为总校正系数,并定义为:
                            (41)
式中,an为归—化铜箔的厚度。而
                       (42)
CFxm为第m层的校正系数。当铜箔的厚度为K·δ时,α的值为2,其中K为整数,在其它情况时,α的值则是1。这里需要注意到,除了其镜像外,校正系数的纵横比是通过合并所有各层进行计算的。
这里还必须指出,本文的目的不是提出一个非常准确的方程式,而是为了提供一个估算多层铜箔绕组边缘效应的方法,这种方法就是用一个近似公式来估算,而不是用FEA法计算。
4 求解结论验证
为了验证式(40)~(42)的结果,我们采用FEA法,利用Maxwell 2D程序模拟一个宽1.5吋、厚5mil、10mill、30mill的5层结构铜箔电感器。在75kHz时,趋肤深度为10mill,此时的趋肤深度dc电阻值为2.38mΩ/m,所得到的电阻值列于表3。表3说明了预测的和计算的ac电阻值较接近,误差在10%范围,这个结果是完全可以接受的,而且与1-D分析的结果比较,它给出了一个与绕组实际的ac电阻值较相近的数值。
表 3  5层绕组结构求解结果验证
层 Rac-t(FEA)
mΩ/m R1-D
(归—化) CF R2-D
mΩ/m 误差
0.5δ (5mil) 95.11 27.48 3.54 97.25 2.2%
1δ (10mil) 82.50 43.42 1.824 79.20 -4.0%
1.5δ (15mil) 98.50 103.76 1.02 105.83 7.4%
3δ (30mil) 122.97 219.01 0.497 103.92 -11.4%

5 小结
文章提出了一种用于估算高频铜箔绕组损耗的方法。这个方法是建立在一维(1-D)分析法和简化的二维(2-D)分析结果基础上的。在此首次提出了自由空间单层铜箔绕组损耗的校正系数,该校正系数被计入自由空间的边缘效

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