1引言
在众多的关于高频变压器设计的资料中，涉及到选择磁心的方法时，几乎是千篇一律地抛出一个关于计算变压器结构参数Ap的公式来，再解释一下公式中各字母符号的物理量是什么，其取值范围是多少，就算完成任务。有些资料说，选用磁心的方法是按磁心的有效截面积Ae与其窗口面积Wa的乘积略大于计算出来的Ap值就行了。有资料计算出Ap值为0.355cm4，而EI33磁心的AeWa值为1.47 cm4，相差4倍还多，也说选用EI33较合适，这就让读者很难理解了。实际上，不但要考虑结构尺寸，还应该考虑磁心的有效体积要求。
高频变压器设计中不可避免的要使用一些公式。给定一个公式，它不是个量方程，就是个数值方程。所谓数值方程，也就是说各物理量的单位是规定好了的，公式中各物理量的字母符号只代表该物理量的数值，公式只表示各物理量之间的数值关系。很显然，数值方程中出现的系数与规定的各物理量单位大小有密切的关系。本文使用混合单位制，即所涉及到的电学量一律使用国际单位制中的基本单位，例如电流强度单位用安培，电压用伏特，功率用瓦特，电感用享利等;涉及到的其他物理量都使用电磁单位制中的基本单位，例如磁场强度用奥斯特(Oe)，磁通密度用高斯(Gs)，时间用秒(s)，长度用厘米(cm)。为什么要这样使用混合单位制的原因是：
（1）电学量的国际单位大家最常用，最熟悉，其他单位鲜为人知。所以使用国际单位制。
（2）电磁单位制中磁场H和磁通密度B使用的单位相等（Oe=Gs），真空绝对磁导率μ0=1，磁介质的绝对磁导率和相对磁导率相等，磁场H、磁通密度B与磁导率μ之间的关系简单明了，即μ=B/H。而国际单位制中μ0=4π×10-7H/m，公式中往往出现这个令人讨厌的μ0而不能省去，给计算造成不必要的麻烦。所以本文愿意使用磁学量的电磁单位。
（3）电磁单位制的长度基本单位是厘米，用厘米来计量高频电子变压器的尺寸比较适当，用厘米计量其所用磁心的尺寸也适当。再说，磁心的有效磁路参数和磁心常数通常也是以厘米为单位算出来的，电流密度通常也是使用安每平方厘米（A/cm2）。这都意味着使用混合单位制会带来很多方便。
由于本文使用混合单位制，给出的有关公式与其他资料上给出的同一公式可能系数有所不同，望读者注意。
2 单端反激变换器的工作原理。
单端反激变换器的工作原理电路如图1所示。当开关管BG1被PWM脉冲激励而导通时，输入电压E便施加在高频变压器B1的原边绕组N1上，由于B1副边整流二极管D1反接，N2上产生的感应电动势不能使D1导通，N2上也无电流通过。当BG1关断时，磁心中的磁通密度由增大转变为降低的过程，N2中的磁通量φ由增加转变为减少的过程，N2两端形成的电动势方向颠倒，D1被正偏，B1磁心中储存的能量便通过D1向负载释放。
3 单端反激变换器的工作状态。
单端反激变换器有三种工作状态：
(1)当BG1截止时，N2中形成的电流i2从最大值i2P开始线性下降，i2降为零时BG1还没导通，过一会才导通。这种状态称为电流不连续工作模式。
(2)在i2还没降到0时BG1就又导通了，i1又开始上升。这种状态称为电流连续工作模式。这种模式是否可行，准备另文讨论。
(3)在i2恰恰降到0的时刻GB1正好导通了，这种状态是两种模式的临界状态。
由以上介绍可知，单端反激变换器如果在不连续模式下工作，变压器工作就是个储存能量和释放能量的过程，不会有返还能量的现象发生，次级回路只要有能力把储存的能量吸收掉，次级回路对初级回路就无影响，问题就变简单了。现在我们讨论不连续模式工作的单端反激变换器的有关基本关系式。
设绕组N1的电感量为L1，N2的电感量为L2，N1和N2之间的耦合系数为1，BG1导通期间N1上施加的电压值为E（略去了BG1的饱和压降），流经N1的电流为i1。只要使L1为常数，根据法拉第电磁感应定律导出下式：
 (1)
由上式很容易得出下式：
 (2)
若BG1的导通时间为Ton，导通终了时i1的幅值iIP为：
 (3)
当BG1截止开始时在副边绕组N2中形成的电流幅值为i2P。则BG1截止期间N2中的电流i2应为：
 (4)
式中V2为N2两端的电压，如果不考虑D1的饱和压降和次级回路的线路损耗，V2可用输出电压V0代替。
4 选择磁心的方法
一般资料上介绍选用高频变压器磁心的方法，是自己给定一个磁通密度峰值Bm代入公式求出结构参数Ap值，根据Ap值就选定磁心。然后就要求磁心材料具有高的饱和磁通密度Bs，磁心的功耗Pcv越小越好。Bs高、Pcv小，到底与所选磁心的尺寸之间有没有明确的定量关系，却很少有人涉及。本文试图探讨它们之间的定量关系。
4.1 初级绕组电感L1的计算。
我们把高频变压器B1看作一个储能电感器，它通过电流i1每周期存入的能量为：
 (5)
每秒存入的能量就是输入功率Pi。因此可知：
 (6)
式中f为开关频率。
将（3）式代入（6）式，解出L1为：
 (7)
上式是根据输入功率的需要，算出一个临界电感值L1，也就是说初级N1的电感值最大为L1，大于L1时输入功率Pi就达不到功率的要求。这个L1与磁心无关，而是要求变压器B1初级绕组N1的电感量应符合（7）式计算出的L1。
4.2 磁心体积的计算
根据磁场的磁能密度Wm
 (8)
变压器磁心中每次导通存入的能量为：

由于闭合磁路的内圈和外圈之H、B值有点差别，所以涉及到闭合磁心的磁路长度、截面积和体积时都用其有效磁路长度Le，有效截面积Ae和它的有效体积来替代。上式中的Ve是磁心的有效体积，而不是几何体积。
由上式很容易写出输入功率Pi：
 (9)
式中出现10-7因子，是因为把Pi算为电学量，要把尔格/秒化成瓦特。μe为磁心开气隙后的有效磁导率。
由（9）式得到磁心的有效体积Ve:
 (10)
由（10）式很清楚看出，Pi给定后，开关频率f提高可以使磁心体积减小。f给定后，使用的Bm大，可以使体积减小。但是因其他原因，Bm的使用要受到限制。还可以看出，使用的有效磁导率μe降低，可以使磁心体积减小。但是，使用的μe太低就意味着N1匝数增大或N1中的电流增大，这又会使绕组的铜损增大，影响变压器的效率。另外，μe太低漏感就很大。
4. 3 磁心有效截面积Ae的计算
上面（10）式是用来计算磁心的有效体积，另外还要计算出需要磁心具有的有效截面积。根据法拉第电磁感应定律可以很容易得出下式：
 (11)
磁心开气隙后的剩余磁通密度Br可略而不计，上式中的，于是（11）式可写为：
 (12)
由（12）式可得到磁心有效截面积的计算公式：
 (13)
式中D为占空比，Bm为磁心的工作磁通密度峰值。
4.4 磁心窗口面积Wa的计算
 若初级绕组的输入电流有效值为I1，匝数为N1，次级绕组的电流 有效值为I2，匝数为N2，变压器效率按100%计算，应有：
 (14)
设初、次级绕组通过的电流密度都为J，初、次级绕组对磁心窗口的总铜占因子为K ，则应有下式成立：
 (15)
式中I1为初级电流有效值，可按下式计算：
 (16)
次级电流的有效值I2按下式计算：
 (17)
式中T0为i2从i2p降到0时所用的时间，T0≤Toff
由（14）、（15）、（16）、（17）式可得出窗口面积Wa的表达式：
 (18)
4.5  结构参数Ap的计算
（13）式和（18）式中都含有N1，而选用磁心时N1是不知道的，为了消去N1，引入一个变压器结构参数Ap，它等于磁心的有效截面积Ae与窗口面积Wa的乘积。由（13）式与（18）式相乘，再将（3）式和（7）式代入，便得到变压器结构参数Ap：
 (19)
式中，铜占因子K一般取0.3~0.4，电流密度J取250~300。
4.6 磁心磁通密度B的选定
由以上诸多公式的计算可以看出，Bm是个不可缺少的关键参数。对于这个很关键的参数，一般有关高频变压器设计的资料上几乎都是简单的一笔带过，似乎Bm的值在1100Gs至2500Gs之间随便给定一个值就行了。其实，Bm的选定是应当综合考虑的，一般原则是在保证效率、保证变压器温升在一定限制范围内，保证变压器能稳定工作的前提下，尽量使用高的Bm，这样可以使变压器体积尽可能的小。
Bm的使用中，首先受到材料功耗Pcv的限制。磁心要工作，本身就要消耗能量，消耗的能量转化为热能，使磁心的温度上升。根据E.C.Snelling的报导，MnZn功率铁氧体材料被使用的频率f不超过100kHz时，其本身的功率损耗密度Pcv可用下式表达：
 (20)
对于某一具体牌号的材料，若已知：

根据（20）式可计算出系数Km，
 (21)
式中，就是某牌号的功率铁氧体材料在测试频率为f′，工作磁通密度为时的功率损耗密度。各生产厂家都会给出自己材料的这几个参数。
例如，TDK公司的PC40材料，查出在60℃的条件下，磁心工作在100kHz和2000Gs的磁通密度时，其功耗为450×10-3，将这些参数代入（21）式：

 (22)
上式表明PC40材料在60℃时，它的损耗系数Km为7.955×10-16。对于单端工作的磁心，它的工作磁滞回线面积比双端工作要少一半还多，所以它的Km值可取双端工作的一半，PC40材料的Km可取：
 (23)
关于磁心开气隙后使用，在同样条件下其功耗是应该增大还是应该减小这个问题，因测试方法不同可得出相反的结果。目前我们还没看到有关的严格证明到底应增大或该减小。我们现在认为磁心开气隙后，在同样条件下工作时其功耗不应当变化。根据是当一闭路磁心绕上一定匝数N，在N两端加一定电压测其等效并联电阻Rp，然后再给磁心加一小气隙，在同一条件下测并联等效电阻Rp，发现两种情况下测得的Rp值基本不变。Rp相等，两端电压相等，这就说明开气隙与不开气隙时的功耗基本不变。
根据文献[3]的报导，一般散热条件下小型磁心的功率损耗密度Pcv为0.144时，可导致40℃的温升。反过来说，当温升限制为40℃时，功率Pcv不应超过0.144。把允许的最大功耗Pcv值定为0.144时，若使用PC40材料，磁心工作在60℃以下，Km为4×10-16。由（20）式可导出计算Bm的公式：
 (24)
按Pcv=0.144，Km=4×10-16，f=100kHz，代入上式得：

上式计算结果表明，采用PC40材料的磁心，按工作在60℃，温升限定40℃，其工作磁通密度的峰值Bm可用到1669Gs。
由（24）式表明，工作磁通密度受到了材料的功耗系数Km的限制。另外，还要受到材料直流叠加特性的限制。由前面的分析推导过程可以看出，高频变压器的一个重要参数是初级绕组N1的电感L1，在变压器运行过程中L1应恒定。开关管导通期间，N1中的电流i1线性上升是由L1不变来保证的。L1恒定是由使用的磁导率不变来保证的。我们知道材料的磁导率μ，一般都是指的起始磁导率μi。当开关管BG1导通后，N1中的直流电流应线性上升，这相当于在给磁心加偏置场Hdc，要使N1中的磁化电流i1线性上升，必须保证L1是个恒定值，这个L1应当是由磁化过程中磁心的可逆磁导率μr决定的电感量。由实验可知，闭合磁路开一适当的气隙后，其起始磁导率和振幅磁导率及可逆磁导率和增量磁导率在一定磁通密度范围内，四者可当作相等。在这个范围内，磁通密度与外磁场应为线性关系。磁化曲线是一段直线。我们把磁心开气隙后的磁导率称为有效磁导率μe，不再区分起始、振幅、可逆或增量磁导率。
图2是用KP4功率铁氧体材料制成的EC28A磁心开不同气隙后，有效磁导率μe随偏场Hdc的变化曲线。曲线1是不开气隙时，μe随直流偏场Hdc的变化。很明显，不开气隙时μe随着Hdc的增加，稍微上升后就很快急剧下降。μe实质上是可逆磁导率，它急剧下降会导致L1的值下降，无法应用。μe恒定的区域才好应用，如果开一个0.06mm的小气隙， μe约降为500，Hdc约增加到2.7Oe时μe开始下降，这意味着Bm可用到500×2.7=1350Gs。当气隙增大到0.76mm，μe约降到100，Hdc增大到约17Oe时μe又开始下降，这意味着Bm可工作到1700Gs。由以上实验曲线可知，Bm值可使用的大小与磁心所开气隙的大小有密切关系。气隙开的大点，Bm就可以使用的高些。另外，在磁心尺寸相同气隙也相同的条件下，磁心材料的直流叠加特性不同μe~Hdc曲线不同。直流叠加特性越好的材料μe~Hdc曲线的直线区越宽，也就是说μe~Hdc曲线在更高的Hdc作用下才开始下降。这就意味着在同样磁心同样气隙的条件下，直流叠加特性好的材料可以使用较高的Bm。
由以上分析可知，当有效磁导率μe设定后，根据μe~Hdc曲线，就可以查出磁心可用的Bm值。当直流叠加特性所限定的Bm值与材料功耗Pcv所限定的Bm值不相等时，只可选用二者中低的一个Bm值。
4.7  磁心的选定
关键参数Bm确定后，把Bm值代入（19）式，计算出变压器结构参数Ap值。再把选定的Bm值和自己设定的有效磁导率μe值代入（10）式计算出磁心的有效体积Ve值。然后选用磁心时要使磁心的Ap值大于计算出的Ap值，使磁心的有效体积接近计算出的Ve值。由于磁心的有效体积Ve其生产厂家都是给出了的，所以根据Ve选磁心很容易。另外，根据Ve选定的磁心，其Ap值往往比计算出的Ap值大很多，所以不用耽心绕组绕不下的问题。
4.8磁心气隙的计算
磁心的有效磁导率μe与气隙的大小有很大关系，另外与材料本身的磁导率也有关系。现在导出小气隙与有效磁导率μe及材料磁导率μ的关系式。
设磁心的有效截面积为Ae，有效磁路长度为材料磁导率为μ，可以写出磁心磁路的磁阻为。当开一小气隙后，磁路有效磁导率为μe，这时磁路的磁阻。这个磁阻是由两部分磁阻串联之和。开气隙的长度为因气隙是小气隙，气隙部分的磁路截面积可认为等于磁路原来的有效截面积，开小气隙后，磁心部分的有效截面积可看作不变，仍为。于是，气隙部分的磁阻，磁心部分的磁阻，由于总磁阻rm应为两部分磁阻的和，所以可得出下式：
 (25)
由上式解得：
 (26)
当μ＞＞1时(26)式可近似写成：
 (27)
式中μe为开气隙后磁心的有效磁导率。μ为材料的磁导率。如果把不开气隙时磁心的有效磁导率（不开气隙实际上由两部分对接在一起还是有两个可以忽略的微气隙）当作材料的磁导率，利用下面两个公式：
 (28)
 (29)
可把（27）式改写为：
 (30)
式中，AL为磁心不开气隙时的电感系数，其单位仍保持为nH/N2。
用材料的磁导率μ或磁心的电感系数AL都可以计算出需要的气隙长度，但是，μ和AL都是在一定范围内变化，所以计算出的气隙也是作为参考，到底气隙开多大合适，还需要在计算值的基础上微调。
5实际举例
单端反激电路，磁心在电流不连续模式下工作。输入最小直流电压为230V，输出电压为12V，额定输出功率P0=34W，占空比D=0.25，频率f=68kHz，T=14.706×10-6 s，变压器效率η=0.8，电流密度J=400A/cm2，铜占因子K=0.4，Ton=3.676×10-6s。
把磁心储存能量的功率看成是输入功率，输入功率
Pi=34÷0.8=42.5
(1) 假定选用变压器磁心用PC40材料，按工作在60℃，可以查到该材料在60℃时，100kHz、2000Gs条件下的比功耗Pcv为0.45W/cm3，把这些数据代入（21）式算出Km：
 (31)
(2) 按温升40℃，功耗Pcv为0.144W/cm3，因磁心为单端工作，Km可取上式计算值的一半，Km取为4×10-16利用（24）式计算可使用的最大Bm：
 (32)
(3) 根据PC40材料制成的中等大小的闭路磁心，当气隙开到μe约为100时，μe~Hdc曲线在Hdc增大到17Oe时才开始下降，可知Bm可用到1700Gs，为留有余地，按μe取100，Bm取1600Gs选取磁心，不会因电感L1不稳而影响变压器稳定性。根据（32）式计算结果判断，磁心也不会过热而改变磁特性。
(4) 用（19）式计算Ap
 (33)
(5) 用(10)式计算Ve
 (34)
(6)根据Ap和Ve的计算值，选用PC40EER28L-Z磁心对Ve和Ap的要求都可满足。PC40EER28L-Z磁心的参数为：Ae=0.814，=7.55，Ve=6.143，AL=2520，AP=1.153，Wa=1.416。
(7) 用(7)式计算初级电感量L1：
 (35)
(8) 初级电流的峰值i1P用(3)式计算：

(9) 用(12)式求得初级匝数N1

可取N1=65匝
(10)为使变压器在单端不连续模式下工作，匝比n用下式计算：
 (36)
(11)次级匝数计算
 (37)
(12)N1取65匝，用（12）式验算实用Bm值：
 (38)
(13) 用下式计算实际的有效磁导率μe值：
 (39)