变压器和耦合电感的模型及设计分析
Modeling and design analysis of Transformers and Coupled Inductors

摘 要：本文从基本电磁定律出发，对不同情况下变压器和耦合电感的磁路和电路进行了建模，分析了它们在开关电源中工作原理、作用
及匝比设计的不同。同时分析了漏电感对它们的输出电流、电压的不同影响，提出了减小输出纹波的方法，最后对常用开关变换器中变压器和
耦合电感的设计方法进行了分析。
关键词：变压器 耦合电感 模型 设计

Abstract:Starting with the review of the basic theory of electromagnetism， then the magnetic and electric circuit
of transformers and coupled inductors are modeled. Their
different principles and functions in SMPS are analyzed.
The effects of leakage flux on output current and voltage
are discussed and measures to decrease ripple are put
forward; Some issues about design are conclude in the end.
Keywords: transformer coupled inductor modeling design

1 引言
变压器和耦合电感都是开关电源中很重要的元件。从外形上看，它们极其相似，都是在一个磁心上有一些绕组，但是它们在工作原理、在开关
电源中所起的作用等方面有很大不同。变压器主要用来进行能量传递；耦合电感主要用来储能。变压器可以变压、变流、DC隔离，在反激变换器中
变压器也起储能的作用，由一个变压器还能获得多路输出。耦合电感用一个磁心代替两个或多个磁心，从而能够减小变换器的体积，提高多输出变
换器的稳定性，减小纹波电流。本文从基本的电磁定律出发，对它们进行深入分析。
2 变压器和耦合电感的模型
2.1 基本电磁定律及其磁场模型
2.1.1 基本电磁定律
主要用于磁场分析的有法拉第定律、安培定律、高斯定律等。
（1）法拉第电磁感应定律
它的常用形式是：
（1）
如图1，这个公式说明导体的感应电动势与穿过磁心（横截面积为Ac ）的磁通φ=BAc 的变化率成比例，N是导体（此处是线圈）的匝数。

图1 法拉第电磁感应定律例图
（2）安培环路定律
其数学表达形式为：
（2）
此公式中，H是磁场强度，dl是闭合路径长度的增量，J是电流密度， ∑I表示所有流过表面S的电流之和。在图2(b)中，磁心上的绕组穿过面积S共N次，所以穿过面积S的总电流是NI 。
安培定律说明对任何一个闭合回路，磁压降的总和等于磁势的总和。磁压降定义为一段磁路的磁场强度与其平均磁路长度的乘积。磁势定义为线圈电流与其匝数的乘积。
（3）高斯磁场定律
其数学表达式为：
（3）
高斯定律说明穿过一个具有面积 SG的闭合曲面的磁通为零，如图3（a）所示。
2.1.2 磁路模型
为了得到磁路模型，我们假定磁场强度H在一个给定的区域内是常量，并沿着一定的方向排列，则安培定律（如式（2）所示）将简化为：
（4）
应用公式（4）及定义φ=BAc，此处Ac是磁路的横截面积，如图2（b）所示，可将（4）式化为： 即： （5）
其中， 是磁阻，其定义为为磁路长度，单位为m(米)，Ni是磁势。在图2(c)中，磁势Ni、磁通φ、磁阻分别对应于欧姆定律中的电压源、电流、电阻。
如图3（b）所示，在磁路模型中对一个给定的节点，假设磁通进入节点的方向为正方向，则该节点处全部磁通量的代数和为零。即，同样与基尔霍夫电流定律相类似。
可以将磁路模型转换为电路模型，以便利用电路分析的技巧。例如，对于图2磁心的磁路模型图2（c），进行如下变换：，代入法拉第定律式（1），得： （6）
此处是与绕组和磁心的物理特性有关的电感参数。则得到电路模型如图2（d）所示。

图2 安培环路定律例图

图3 高斯磁场定律例图
2.2 变压器和耦和电感的工作原理分析
在这里用基本电磁定律分析变压器和耦和电感的工作原理。基于它们的物理结构可以得到磁路模型，然后由磁路模型推出它们的电路模型。
2.2.1 理想情况下的分析
（1）理想变压器的工作原理
图4（a）是两个绕组的变压器的物理结构，4（b）是其磁路模型。磁路模型中两个磁势分别对应图（a）的两个绕组，用阻抗模拟磁心的特性。
当电压V1加在变压器原边后，磁心中必然有磁通Φ1（如图4（a））。按照法拉第定律，这个增大的磁通量Φ1将在副边产生感应电压V2，输出端电阻将有感生电流i2流过，按照安培定律，此电流将产生磁场H2，并由愣次定律可知H2产生的磁通量Φ2与Φ1反向。因而在图4（b）变压器磁路模型中，N2i2与N1i1极性相反。所以磁心中总磁通量Φ=Φ1-Φ2，由式（1）可知有原边成立，因为两式中相同，则有，即理想变压器原副边电压关系为：
（7）
由图4（b）磁路模型得原副边电流关系为：，对理想变压器，磁心磁导率μ可看作无穷大，因此 近似为零。则理想变压器原副边电流关系为：
（8）
电路模型如图4（c）所示。理想变压器原副边电压、电流的变比都决定于变压器匝比n。从以上公式还可将副边阻抗 反射到原边：

在图4（c）理想变压器中，电流流入原边绕组，从副边绕组的同名端流出，所以能量流动的方向是从原边到副边，变压器起传递能量的作用。
（2）理想耦合电感的工作原理
如图5（a）所示，耦合电感由绕在同一磁心上的两个电感构成，图中的磁心有气隙。两电感都由电压源驱动，电流方向都是流入电感器。用磁阻来模拟气隙，其中为气隙的宽度，Ac为铁心的横截面积。
在图5（a）中，电压源在磁心中产生磁通Φ1，同理，电压源 也在磁心中产生同方向的磁通Φ2，所以磁心中的总磁通Φ=Φ1+Φ2，对应5（b）磁路模型中，两个磁势的极性相同。用前面分析变压器的方法分析耦合电感可知，其两个绕组间的电压变比关系应与变压器相同，即公式（7）同样适用于耦合电感。而依据安培定律，由图5（b）可得，同样假设磁心的磁导率μ是无穷大，则得i1与i2的关系
（9）
不同于理想变压器，耦合电感中i1与i2的关系决定于外部电路，且可以根据外部电路的需要调节存储在电感中的能量。耦合电感是储能元件，瞬时出入的电能不相等。

图5 耦合电感及其磁模型
2.2.2 非理想情况的分析
（1）变压器
前面在讨论理想变压器时，假设磁心的磁导率μ是无穷大，从而得出原副边电流比仅与匝比有关系。若计及磁心的磁导率μ，则阻抗非零，由图4(b)变压器的磁路模型得： ，得磁通：则原边电压，式中分别定义为变压器的磁化电感和磁化电流，其位置和方向如图6（a）变压器的电路模型所示，磁化电流im用来模拟磁化磁心的能量，它体现出为了产生主磁通而需要一定的磁化电流的事实。原副边电压变比仍成立，但电流变比不再满足这样的形式。

图4 变压器及其磁模型
（2）耦合电感
μ取非无穷大值时，为了获得耦合电感的电路模型，我们同样从它的磁路模型5（b）开始分析。根据环路上磁压降的关系式可得磁心中磁通：，由法拉第定律得原边电压 ，则耦合电感中磁化电感磁化电流，其位置和方向分别如图6（b）模型中所示。通常情况下，μ比μo 大很多，因此也大很多，所以上式中Lm可近似为：
（10）
可见，耦合电感中磁化电感和磁化电流都与变压器模型中的不同。在变压器模型中，磁化电感Lm模拟存储在磁心中的能量，而在耦合电感模型中，Lm模拟存储在气隙中的能量。

图6 具有固定磁芯磁导率的电路模型
3 储能分析
前面分别得出了变压器和耦合电感的磁化电感Lm和磁化电流im，通过计算变压器和耦合电感的磁化电感储能，就可对变压器和耦合电感的储能情况进行分析。设磁心横截面积为Ac、长度为、体积为Vc、磁导率为μ、磁阻为、磁通为φ、磁感应强度为B，则存储在变压器的磁化电感中的能量为：并利用前面有关公式进行变换，可得：
（11）
对于耦合电感，磁心有一段长度为、体积为Vg、磁导率为μo的气隙，用同样的计算方法可得总的储能为:
，
因为μ>>μo，所以可以忽略磁心储能，而只考虑气隙储能 ，所以耦合电感总的储能近似为：
(12)
上两式说明，变压器和耦合电感中储能与绕组的匝数无关，有气隙时，由于等效磁导率下降，储能上升，大部分能量存储于气隙中。另一方面，要得到相同的B ，有气隙时需要更大的激磁安匝数Ni，这样也增大了绕组的铜损。
4 漏电感分析
如果部分磁通进入了空气，则就有漏感产生，电路模型中，漏感可以用与磁势串联的磁阻表示。在如图7（a）、（b）所示的电路模型中，用Le1、Le2表示变压器和耦合电感原副边的漏电感。
4.1 漏电感对变压器电压的影响
如图7（a）变压器电路模型中，副边绕组R两端的电压为
因为输出端接电阻而非电压源，所以漏电感通常影响输出电压的波形。
4.2 漏电感对耦合电感电流的影响
由图7（b）耦合电感的电路模型可得输出电压V2与原副边电流i1、i2的关系为：
（13）
其中 为副边绕组两端的电压。由式（21）可得电感电流i2在一个周期内的变化量为
，（14）
可知，漏感越小，电路之间的影响越大，越有利于改善电路的动态性能。

图7 含漏电感电路模型
要使输出纹波为零，即i2＝0，（15）时，满足零纹波的条件。这种零压降和零纹波情况，在实际情况下，一般不可能出现，漏电感上还是有一定的压降和纹波电流。
由（13）式可得，输出纹波
（16）
可见，磁化电感越大，输出纹波越小；磁化电感不变，漏电感越大，输出电流纹波越小。所以，减小纹波的方法有①增大磁化电感，选用更大的磁心，或同时增大原副边绕组匝数，但这都会使体积和成本增大。②增加漏感，可以在耦合电感的原边或副边串联一附加小电感，也可以通过改变耦合电感的绕制方法，使绕组之间较为分散，都可以达到增大漏感的目的。
5 高频变压器和耦合电感的设计方法分析
5.1 变压器的设计方法
在开关电源中变压器的作用是高效迅速地从电源输入端向负载传递能量。通过改变原副边匝数比、改变副边绕组数，能够调节输出电压大小及获得多组输出。如前所述.理想变压器不存储能量，但实际上，由于漏电感的存在，在变压器中一般都有储能。
一般变换器的电路拓扑结构不同，变压器的设计方法也不同。反激式变换器（如图8）因为电路简单、使用元件少、成本低等优点在0～150瓦小功率电源变换器中较常使用。正激变换器主要在50～500瓦，半桥变换器在100～1000瓦，全桥变换器通常在大于500瓦功率范围内使用。单端反激式与全桥、半桥的区别在于它的变压器磁心只工作在磁滞回线的第一象限，在开关管导通期间只存储能量，在截止期间才向负载传递能量。既起变压器的作用，又起储能电感的作用，在它的铁氧体磁心中，一般要加进气隙，使其能承受较大的励磁安匝数，防止磁芯出现饱和，并能通过调节气隙来得到所需的电感量。

图8 反激变换器电路图
通常设计变压器的方法很多，一般应选择较合理、简单易用的设计方法。先用诸如Intusoft公司的"Magnetic Designer"等软件进行初步设计，然后再用一些设计方法所提供的计算公式等进行验证和调整是一个省时省力的好办法。
单端正激变换器（如图9）中的高频变压器磁心也是工作在磁滞回线的第一象限，应遵循磁通复位的原则。其变压器不像单端反激式变换器的变压器那样有储能的作用，因此设计方法与反激式不同，其变压器设计中最重要的是应满足开关管在导通期间磁心不会饱和。

图9 正激变换器电路图
变压器原副边的漏电感是开关电源变压器的一个实际问题。在单端变换器，例如反激和正激变换器中，当开关管关闭时，变压器的开关管一侧将承受两倍直流输入电压。漏电感也将增大反激电压的尖峰波，如果漏电感很大，尖峰的幅度也将很大，若超过开关管的承受能力，将导致开关管损坏。因此需要设计缓冲电路，来存储并消耗尖峰波的能量。但这样会降低变换器的效率并增大温升。解决这个问题的较好办法是尽量减少变压器的漏感。原副边绕组耦合较差是造成漏感较大的主要原因，为了增大耦合，应当选用具有较大绕线窗口的磁心，这样绕组的层数较少，就可以增加耦合，减小漏感。同时较大的窗口还有利用降低温升。选好磁心、定好匝数后，采用分层绕法。即先绕一半匝数的原边线圈，再绕全部匝数的副边线圈，最后再绕剩余的一半原边线圈， 三部分之间用绝缘胶带隔离。采用这种绕线方法就可以减少很大一部分漏感。
5.2 耦合电感的设计方法
一般将电源多组输出储能电感设计为在单个磁心上的多个绕组，如图10所示，这就形成了耦合电感。相对于单个电感，耦合电感的好处在于第一、动态交互稳压率好。第二、可减小输出电容值。第三、可减小所需的最小负载值。第四、可比使用单个电感降低体积和成本。

图10 耦合电感
设计耦合电感时应注意以下几点。第一、应使耦合电感的匝数比与副边对应绕组匝数比相同。各组输出二极管的压降，应尽量相同。否则，两耦合电感上的压降不匹配，会引起很大的纹波电流，流向两个输出端，也会造成纹波电压上升。第二、从前面4.2节的分析可知，实际设计耦合电感时，希望有一定的漏电感使输出纹波电流和噪声最小化，所以耦合电感的各绕组不能很紧密，要使两个线圈的耦合系数差一些。但是漏电感也不能太大，否则会使交互稳压率变差。第三、变压器副边侧有PWM线路时，不能用耦合电感当储能电感使用。因为输出变压器和耦合电感间的波形、相位必须完全相同，否则会引起很大的尖峰电流。
考虑耦合电感的漏感时，其电路如图11所示。用Lm表示其互感，此两组线圈不能完全耦合，必定存在漏电感和线电感，分别用Le1和Le2表示，因为Lm远大于和，所以总的输出纹波电流决定于Lm的大小，而由Le1和Le2来进行比例分配。

图11 耦合电感的互感和漏感
6 结束语
本文对变压器和耦合电感的磁路、电路模型进行了对比分析，并据此分析了它们在储能和漏电感方面的不同，最后，对它们的设计方法进行了分析和比较。变压器和耦合电感都是开关电源中的重要部件，它们虽然在结构上相似，但工作原理和磁路、电路模型都有不同，在开关变换器中所起作用也不同，对它们进行深入的分析，对实际设计有重要指导意义。■

参考文献
[1] Arthur F. Witulski. Introduction to Modeling of Transformers and Coupled Inductors.
IEEE Transactions on Power Electronics. Vol. 10.No.3 MAY， 1995， 349～357.
[2] 陈乾宏等，多路输出电源中耦合电感的模型及分析，电工技术学报，2001，10
[3] 蔡宣三，龚绍文. 高频功率电子学. 科学出版社，1993.
[4] 张占松，蔡宣三. 开关电源的原理与设计，电子工业出版社，1998.