方波电压激励的铁氧体铁芯损耗分析
Calculating Core Losses in Ferrite Cores for Square-waveform Voltage

摘 要：由铁氧体铁芯构成的高频磁性元件是高频功率电子的重要组成部分，其激磁电压波形往往是非正弦的情况。确定方波电压激磁的铁氧体铁芯的损耗，对高频磁件的设计很有意义，本文采用谐波分析、等效正弦频率和铁损分离等方法对双极性方波电压激磁的铁氧体铁心损耗进行了数值分析和计算
叙 词： 方波电压 高频磁件 铁氧体 铁芯损耗

1 概 述
高频磁性元件（变压器、耦合电感和电感等）是功率电子设备的重要组成部分。它对整机的成本、体积、重量和效率起着决定性的作用。小型化的要求使开关频率向更高方向发展。众所周知：工频下的磁性元件设计以铁心饱和为限，而高频下热效应的设计受损耗大小的限制。磁件的损耗主要有两大部分：铜损和铁损。高频下，铁损不能再被忽略。铁芯生产商提供了正弦激励的铁芯损耗数据，而实际上在高频功率变换器中，激励源很少是纯正弦的，往往是方波或准谐振矩形波激励源。所以说一个能够预算磁件在任意激磁波形下的铁芯损耗的实用、有效的模型对设计者是非常必要的。根据计算正弦信号激磁的铁损公式一Steinmetz经验公式，凭直觉我们可能会认为由于铁损与频率呈现指数增长的关系，所以具有高次谐波的激励源的铁损要比纯正弦激励的损耗更大，但是文〔1〕〔2〕〔3〕的试验测试结果却表明:具有相同半波平均电压的对称方波电压与正弦电压相比，方波电压产生的铁耗较低！Severns〔4〕通过将激磁电压波形进行谐波分析，对对称的占空比可调的矩形波电压激励下的铁损进行了一些近似的定量，Albach〔5〕对任意激磁电流波形的变压器铁损做了很有价值的研究。
我们知道：即使是在正弦激励的情况，当铁芯趋近于饱和的时候，磁密也不再是正弦变化的。但是在高频的情况（>100kHz)，磁通变化量的大小受铁芯损耗的限制，而不再是饱和的限制。铁芯中的峰值磁密一般只能在材料饱和磁密的30％以下，远低于饱和。在这个范围内，B-H曲线还基本上是线性的，因此磁密波形变形的可能性大大降低。在这种情况下，将激磁电压波形进行谐波分析，再将各次谐波的损耗相加，就可得到铁损的近似值，这种方法用来分析谐波对总损耗的影响程度比较有效。
由于功率铁氧体在功率电子中大量应用，所以本文就对工作状态远低于饱和的铁氧体铁芯，采用谐波分析、等效频率和损耗分离等方法，来分析对称方波电压激励下的铁芯损耗，最后再加以试验验证。

2 双极性对称方波电压的谐波分析

方波电压波开如图1所示。将它进行谐波分析，方波电压可以表示为:

其中，n=1，3，5……，谐波的峰值电压为。正弦对称激励的铁芯损耗功率，可以由Steinmetz经验公式表示:

其中：为单位体积的损耗功率；f是正弦激励源的频率；为最大工作磁密；c，p，q是决定于频率、磁密及材料的参数。
一般地，铁芯生产商都会提供材料在正弦激励下与频率和磁密相对应的多种数据（包括C，p，q等参数）。我们知道正弦电压激励下，铁芯中的最大工作磁密可以表示为：

其中是正弦电压的有效值；f是电源频率；N是铁芯绕组匝数；是铁芯有效截面。将（3）式代入（2）式中，可得到由电压有效值和频率f表示的铁芯损耗功率：

由（1）式可知：组成方波的各次谐波电压有效值为，另外由于方波电压的有效值和幅值电压相等，即，代入（4）式，就可以得到方波的损耗功率为:

如果方波电压和正弦电压具有相同的有效值和工作周期，则根据（4）式、（5）式就可以得到它们损耗比为:

如果是幅值电压相同的正弦电压和方波电压激励源，由于，代入（4）式有：

由（5）式和（7）可得：

一种可用作宽频带变压器铁芯的铁氧体，当f>20kHz时，p=2.32，q=2.62，的单位是kG，f的单位是kHz。当分别加有效值相同和幅值相同的方波和正弦电压激励时，各次谐波与损耗比的关系如图2、图3所示。
从图2和图3可以看出：方波中对损耗起决定作用的是基波分量，高次谐波损耗占总损耗的比例很小。由于随着谐波次数n的增大，谐波产生的损耗迅速下降，所以高次谐波的损耗总和也不大。但是对于占空比不等于0.5的矩形激励源的情况，高次谐波的损耗可能会增大，因而会对总损耗有很大的影响。本文对此不进行深入研究。

通过对动态磁滞型的研究表明:决定材料动态损耗的物理根源是磁化速率，即，而不是磁化频率f。〔5〕根据Steinmetz公式可以得到单位周期、单位体积的损耗密度为：

如果要得到损耗，需要将Pv乘上铁芯体积。随着频率的升高，由B-H回线包围的面积增大，这个效应在（9）中通过p>1表现出来。正弦电压激励，产生正弦变化的磁密，平均磁密变化率与磁化频率有着固定的关系。对于B=sin(ωt)，平均磁密变化率为：

由（10）式可以看出正弦的平均磁密变化率与频率成正比关系，因此正弦信号激励的损耗密度与磁密变化率的关系是用一个周期中的平均磁密变化率来表示。对于任意波形的激磁电流，可以通过利用一个加权的磁密变化率，将Steinmetz公式扩展到任意波形的情况。令 表示加权磁密的变化率，如果B是周期变化的，则：

其中，将正弦变化的磁密B=sinωt，代入（11）式得：
方波电压的磁密变化呈现三角波，在周期内是恒定的，代入（11）式得：

如果保证磁密变化量相同，就可以将（12）式与（13）式等价，得出等效的正弦频率代入（9）式，再除以方波的周期，就得到了方波激励的损耗功率。由（12）式和（13）式等价，可得：

众所周知：方波电压产生的磁密幅值为，而正弦电压产生的磁密幅值 。如果使方波和正弦电压产生的磁密变化量ax-in相同，需要使.squ=.sin，将（14）式代入上式，就可以得到，组成方波的谐波的幅值为
，谐波的有效值就是 ，
将它代入（4）式，可得

所以对于，的方波和正弦电压的损耗比为：

因为方波的电压的损耗主要决定于其基波的损耗，所以上式近似为1，和等效频率得出的结论一致。

铁损基本上可以分为磁滞和涡流两大部分。铁损建模的主要在于磁滞损耗的建模，虽然目前磁滞模型已有不少，但是由于绝大多数模型很复杂、需要的参数多且不容易确定，因而限制了它们的应用。对于对称的周期激励源，文〔6〕给出了一个简单的磁滞模型，这个模型只需要输入四个参数，即Hc，Br，Bs和Hs。模型中，极化磁滞回线由两条双曲线来表示。上半部分曲线可以表示为：

根据磁滞回线的对称性，可得到下半部分的曲线:
B=-F(-H) (18)
其中的参数a1，b1，b2可以由输入的四个参数来确定。
H=f(B’) (19)
其中，

f是F的反函数。对于局部回环，可能根据(19)式和（20）式由Bo来确定Ho，再根据对称性可知（-Bo，-Ho)，这样就可以以得到一个闭合的局部回环。回环的面积与频率的乘积就是损耗功率。这里假设磁滞回环的形状不随频率和激磁波形变化，磁滞损耗仅决定于最大磁密的大小。对于不同波形的电压激励，只要它们产生相同的，磁滞损耗就是相同的，即磁滞损耗只与有关，而与具体的激磁电压波形无关。
在高频下，涡流损耗占铁损很大的比例。单位体积的涡流损耗计算表达式为〔6〕:

其中，，A是铁芯截面积，ρ是铁芯的电阻率。（21）式也可以以电压的形式表示：

其中，对于正弦波电压，由（22）式可以得到它的涡流损耗为:

而对于双极性方波电压产生的涡流损耗为:

方波和正弦电压产生的涡流损耗的比值为:


5 实验验证
采用环型铁氧体铁芯，其有效截面积是0.25，有效磁路长度是5.42cm，分别是0.42T，0.08T，150e，0.040e。当f单位是kHz，B单位是kG时，损耗功率的单位是 Kw/，Steinmetz方程的参数为c=0.135，p=1.62，q=2.15。测试频率为50kHz的方波电压激励的损耗。测试线路图如图4所示：

被测铁芯上绕有两个10匝的线圈和，是低感电阻（5.26Ω），将和的电压输入到数字存储示波器中数字化，然后通过RS-232接口中与计算机连接，利用计算机进行损耗计算。计算公式如下所示：


测试的损耗通过上述三种方法计算的损耗如图5所示。其中系列1是利用谐波分析计算出的损耗数据。系列2是利用等效频率计算出的损耗数据，系列3是利用损耗分离的方法计算的损耗数据，系列4是实测数据，系列5是频率为50kHz的正弦电压的损耗数据。
由图5可以看出，利用谐波分析计算的损耗数值最低，损耗分离方法计算的损耗数据次之，而利用等效频率法计算的数据与实测数据非常接近，以至3和4很难区分开，有效值相同的50kHz的正弦电压比50kHz的方波产生损耗大。

6 结论
相同幅值的双极性方波电压与正弦电压激励的铁氧体铁芯，方波产生的损耗比正弦电压产生的损耗大；而具有相同磁密变化的方波和正弦电压产生的损耗比近似是。
计算铁芯损耗的方法虽然有几种，但它们精度和适用范围有一定的差别。谐波分析的方法计算的损耗精度低、适用范围小，不过可以用来较精略地定量分析谐波与损耗的关系，尤其占空比可调的方波情况，可以看出谐波对总损耗的影响关系。损耗分离的方法使用起来并不方便，精度也不高，尤其是分析更高频率的情况，会产生更大的误差。等效正弦频率的方法计算精度高，且方法简单易，而且可以利用厂家提供的数据，工程上应用简洁方便。■
参考文献（略）。