1引言
传统的线圈都是用带绝缘的细导线绕制而成，有限的散热面积使它无法承受大电流。与此不同，箔式线圈的有效散热面大，散热性能好；同时其制作工艺简单，适于小型化，在电力电子等大电流、大功率的环境下具有一定的应用前景。因而，早在20世纪的70-80年代箔式电抗器曾引起了学术界广泛兴趣。
然而，箔式线圈代替线绕线圈带来了一些技术问题。例如，对于一个圆筒形的空心箔式电抗器，由于径向磁场的存在，铜箔或铝箔中产生涡流，从而引起箔中电流分布不均匀。在箔的宽度方向上，流过箔端部的电流较大，而流过中间部分的电流较小。电感的计算与电流分布有关，计算比较复杂。然而，电感的计算在设计箔式电抗器时是一个重要的问题。因此，有必要研究空心箔箔式电抗器的电感计算。
本文提出了一种新的等效耦合电路模型。基于该模型，推导了空心箔式电抗器的电感计算公式，从而为空心箔式电抗器设计计算提供了理论依据。
2等效耦合电路模型
当频率为100kHz时铝（ρ=0.34596×10-7Ω·m）的集肤深度为0.296mm，铜（ρ=0.217×10-7Ω·m）的集肤深度为0.234mm。通常用于高频箔的厚度为0.033-0.073mm，小于铜的集肤深度的1/3。因此，在电力电子常用的频率范围内（20~100kHz），可以认为电流在箔的厚度方向上是均匀分布的。
一个N匝的箔式线圈，可以近似认为在同一匝中电流分布情况是不变化的，并按线圈中间平面对称分布。根据电流分布的对称性，将每一匝沿轴向上下对称地剖分为若干个同轴的、并联小线圈。只要轴向剖分足够小，可认为每个小线圈中的电流是均匀分布的。这些小线圈在每匝始端和末端分别短接，并与相邻匝串联。构成箔式电抗器的物理模型如图1所示。
由于每匝上下对称的两个小线圈(n和n′)中的电流相同，它们产生的磁场也沿中间平面对称，在等效耦合电路中可以用一个等效子线圈来代替。
基于以上物理模型，可以给出空心箔式电抗器的等效耦合电路。假定电抗器一共有N匝，每匝沿轴向剖分成2L个小线圈，则每匝等效子线圈为L个，其等效电路如图2所示。
需要注意的是，上图中各子线圈之间是相互耦合的。描述上述等效电路的电压方程是：

上式中，n=N×L，M1q代表第一个子线圈和第q个子线圈间的互感，L11代表第一个子线圈的自感，R1是第一个子线圈的电阻。
若用矩阵来描述上述电路的电压方程，则有如下形式：
U=ZI (2)
方程(2)是一个（N×L）的矩阵。由于每层电压和每个支路电流都是未知的，所以上述方程组中一共含有（N×L+N）个未知量。
3张量法求解电路
高频下由于集肤效应和邻近效应等交流效应的作用使得箔式线圈中电流分布很不均匀。为了满足上述假设条件，一般需要把箔剖分成几百甚至上千个子线圈，这样导致上述电压方程组（2）的维数特别大，需要寻求一种比较好的求解方法。本文用张量法求解了方程组。
采用张量法的符号标记，方程（2）可以改写为：
UL=ZLKIK (3)
引入网络的独立回路电流IK为辅助未知量。对于上述电路，独立回路数为(N·(L-1)+1)。很容易求解出电路的关联矩阵，从而可以给支路电流和回路电流之间的关系式：
 (4)
根据张量、相应的变性，可得如下的关系式：
 (5)
 (6)
其中，是的转置矩阵。
根据张量特性不随坐标空间变化而变化的原理，可以得到：
 (7)
由方程(7)和(4)可以求解出电流Ik。求出电流IK后，很容易计算出线圈的总电流，假定加在线圈上的总电压，则整个线圈的阻抗可以表示为：
 (8)
而 (9)
其中，R0为线圈的交流电阻；
 f为电源的频率；
 L0为线圈的电感。
根据式(9)可计算出线圈的电感，同时还可计算出线圈的有效电阻以及损耗等重要参数。由上述分析可知，求解箔式电抗器的电感或者损耗等参数的关键是计算箔中电流分布。
为了进一步阐明上述方法，这里给出一个简单的例子。对应的电路拓扑结构如图3所示。
电路中各支路的电流方向和回路的参考正方向如图3所示。该电路对应的关联矩阵为：
 (10)
根据方程，可以得到：
 (11)
由方程(11)可以看出一个很有意思的现象：求解等效电路并不需要知道每匝电压的具体值，而只需知道加在整个绕组上的总电压U。
4方法的校核
为了校核方法的有效性，本文对文献[4]的样机B进行了分析。由于参考文献只提供了交流有效电阻和直流电阻之比（以下简称为交、直流电阻之比）的实验值，故表1中仅列出了三种频率下样机的交、直流电阻之比的对比数据。样机的具体数据如下：匝数为10，箔宽为30mm，箔的厚度为0.073mm，绕组内直径为29.7mm，外直径为32.08mm。
由以上比较可以看出，本方法和实验的结果能较好的吻合，精度更高。
5结论
本文基于所提出的耦合电路模型推导了空心箔式电抗器的电感计算公式；采用张量法成功求解了大规模方程组。通过样机的对比分析，证明了本方法的有效性，为箔式电抗器的设计计算提供了理论依据。

参考文献
[1]Murgatroyd， P.N.， and Walker， N.J.， Frequency-dependent inductance and resistance of foil conductor loops， Proc. IEE， 1997，124，(5)，PP.493-496.
[2]EI-Missiry，M.M.， Calculations of current distribution and optimum dimension of foil-wound air-cored reactors， Proc. IEEE，1997，124，(11)，PP.1073-1077.
[3]Reeves，R.， Air-cored foil-wound inductors，Proc.IEEE，1978，125(5)，pp460-463.
[4]P.D. Evans， High-frequency losses in multiturn foil-wound air-cored inductors， proc.IEE，1987，134，Pt.A.No.1，January，PP.31-36.
[5]安德列.安戈，《电工电信工程师数学》(上册)，人民邮电出版社，1979，7。