1引言
已经证明，在功率电子学领域，对偶变换是一种有用的方法。用对偶性原理已研究产生了一些新的变换器拓扑结构，促进了人们对变换器电路之间关系的理解，还给出了一些磁路结构的电特性模型。
虽然对偶性应用中的这些优点在功率电子学领域已有清楚的认识，只是关于在什么地方和如何应用对偶性原理还存在一些不同的理解，例如，在一些报告中可以看到有关耦合电感器和开关不存在对偶的论点。
本文为人们论述了对偶性确实可以应用于包括开关、非线性电抗器和耦合电感器在内的功率电子电路；在电路中有这些元件时，不会增加对偶变换的难度和复杂性。功率变换器中使用的元件的对偶一旦被确定，即使是复杂的变换器电路也可以直接采用简单并常用的对偶性法则甚至更为简便的查表代入法进行转换。
文章中还简要讨论了对偶性的基本原理，也明白了此技术应用的限制。文章还以饱和电感器和电容器两者的对偶性给出了对偶性在非线性元件中的应用为例，讨论了单个电路单元对偶的存在和确认。在讨论开关电路对偶的问题时，列举了理想晶体管和整流器、二象限和四象限开关以及可控硅半导体整流器（SCR）的对偶性实例。
在考虑对偶变换时，对含有耦合磁性器件的电路要特别关注。文章第5节讨论了变压器和耦合电感器对偶的具体实施方法；第6节以实例说明了这些技术的应用性，并论述了对偶性在功率变换器中的更深刻的内涵，还实例说明了大大简化复杂电路变换的“分段式”方法。
2对偶性基础理论
对偶变换对二端单元电路或网络发生作用，从而产生单元数相同的另一网络。可见变换后的电路与原电路是相互对偶的，它们的性能在许多方面是密切关联的。这里简要叙述对偶变换及其局限性和一些实用的约定。
2.1网络和单元概念
对偶性概念不仅可用于电路网络，还可用于其它许多学科，包括电波的传播和磁路；本文的讨论仅限于集总参数电路。
在讨论中，对有确定电压和电流的二端体将以“单元”这个术语命名。集总参数电路总是可以用这些单元构成的网络表示，虽然电路中的具体元件事实上可能有多个端头，但是可以把“多端器件”看作是若干组二端单元，其电压与电流也以相关形式联系起来。
例如，图1(a)中的三端金属氧化物半导体场效应晶体管（MOSDEF）则可用图1(b)的两个二端单元表示。在器件有效区的简单模型中，第一个单元是一个电容器，第二个单元则是以电容电压控制的电流源。一些更复杂的模型则会是与两个以上单元的工作和频率相关的非线性模型。但是，以上两种情况的对偶变换都“不知道”两个单元是有关联的，在变换中因此把它们看作是“独立体”。
2.2约定
图1之例有一个简单但很重要的约定：每个单元应该有一个给定的方位，图中的进入端用箭头表示。正电流按箭头方向流动，电压则从箭头的尾部方向定义为正压。在进行对偶变换时，确信违反这个约定将会引起混淆。另一约定是使用“星号”来表示对偶电路量。例如在图2所示，具有电压V和电流i的单元E变换成具有电压Vx和电流ix的单元Ex。
图2还包括第三个通用约定：用双向箭头来表示对偶变换。这个双向箭头符号正确表达了其对称性，即对电路进行再次变换时，可以得到原电路。换言之，对偶量总是互相对偶的。
2.3单元对偶理论
对偶变换的过程分为两步，第一步仅涉及每一个独立电路单元的电压和电流波形；第二步是调整单元间连接的拓朴变换。可以把这两步称为单元对偶的形成和拓朴对偶或结构对偶的产生。
求单元对偶就是简单地把电压波形和电流波形互换，即把原单元两端电压V通过变换变成电流ix。同样，对偶单元两端的电压Vx在数值上（但不是在维度上）等于原电流i。
找出单元对偶的唯一难点是识别象某个类似电路元（例如电阻器、电感器）的新单元。一旦对偶被识别，无论在哪里看到原元件，都能采用对偶。单元对偶与电路状态无关——它们仅取决于单元的波形、即取决于其电压和电流间的确定关系。单元对偶的形成和识别将在后面详细讨论。
2.4结构对偶理论
在网络中，电压与电流自行互换则违反基希荷夫定律。对偶变换的第二步即结构对偶形式——变换网络的拓扑结构以使网络与节点互换。当与单元对偶（电压与电流互换）相结合时，这一拓朴步骤保证了对偶网络符合基希荷夫电压与电流定律。
求解结构对偶的计算方法基于网络理论，此不赘述。求出的新对偶网络的节点被设置在原网络的网格之中。每个单元按逆时针方向旋转，以便与设计在单元每个边上的网格节点相连接。这个简单过程最重要的问题是严格遵守有关单元电压和电流方向的约定。
网络未完成变换的部分可以通过谨慎地保持未连接部分的方向来变换（其一种方法是在断开部分连接假想单元来变换电路，然后取消假想单元）。图3给出了通用互连结构对偶的一些例子。
2.5平面性的要求
前面已论述，应用对偶性的前提是把电路分成二端单元。对偶变换的其它唯一约束条件与结构对偶现存的问题有关，如上所述的计算方法仅能应用于平面电路，即这些电路没有相互交叉和连接的“导线”。实际上的大多数电路是平面的。但是，多于3个绕组的磁性器件可能产生非平面磁性电路，而本文在以下讨论中都设定是平面性电路。
3单元对偶的形成和识别
前面所述的拓扑算法能处理网络的结构变换，故可以把讨论集中在对偶变换对个别单元的作用上，暂不考虑任何特殊电路。
3.1现有单元对偶
对偶性是简单地把单元的电压波形和电流波形进行互换。具有电压V和电流i的单元E，有与它相应的对偶单元Ex，其电压Vx=i，电流ix=U，如图2所示，由于电压波形和电流波形总是存在的，因此对偶单元也总是存在的。原单元可以是非线性的，随时间变化的和非可实现的。
3.2单元对偶的推论
应用对偶变换的决巧是把每个单元的对偶视为一个熟悉的单元或元件，因此整个电路的对偶可以理解为所熟悉元件的另一种网络。几种通用单元的对偶情况见图4所示。
以图4作为推导对偶的例子，我们来研究电容值为C的线性电容器。它是由关系式i=C  dv/dt决定的。电压与电流的互换产生了与对偶单元相对应的关系式Vx=C dix/dt。可以把这个关系式看作是电感为C的电感器方程式。因此可以称电容值为C的电容器的对偶为电感量Lx（数值等于C）的电感器。
这个例子还表示另一种对偶关系：在线性电容器中，电荷值q是由q=CV决定的，在对偶电感器中，磁通匝满足关系式nxφx=Lxix=CV=q。因此q和nxφx在数值上是相等的，并且电荷和磁通匝为对偶。
以下将脱离本例子的线性要求，说明对偶性在非线性元件的应用。研究图5（a）所示的饱和电容器，它满足关系式i=C（v）dv/dt，此式表示电容量为电压的函数如图5(b)所示，例如，整流器的反向偏置结电容似乎有点象饱和电容，其电荷(q)——电压(V)的关系式为q=∫C(V)dv，如图5(C)所示。对偶变换产生了如图5(e)所示的电感曲线和图5(f)所示的磁通匝数曲线。非线性电容器的对偶是饱和电感器，以图5(d)表示，其饱和特性与原电容器相同。
4开关对偶的形成与识别
关于对偶性用于功率变换器，曾提出过包含理想开关变换电路的两种方法：第一种方法关系分别变换由开关所在电路形成的每一个线性开关网络；然后把这些变换网络转化为具有多个开关的单个网络单独用于检查。第二种方法需要对具有控制电流和电压源的多个开关建模；所得到的网络容易变换，但需要对重新构成的具有多个理想开关的对偶变换器进行再次检查。
在功率变换中所需要的是一组能够直接代替各种开关的对偶元件，就象电感器在对偶情况下代替电容器一样，借助这些对偶，可以用与其它电路单元相同的方法来研究这些开关，这里提出了这样一组开关对偶。
对偶性可以成功地用于任何复杂的半导体开关模型，但在此文中只考虑理想开关。虽然理想开关的模型是简单的，但它适宜于对偶性的最广泛的应用，如新的拓扑研究，基本变换器性能研究，功率变换器拓扑结构之间关系的理解等。
4.1理想开关的对偶
图6汇集了一些理想开关及其对偶。图中第一列是每个理想开关的示意图。第二列是根据控制输入给出的确定的器件电压、电流波形；这些方程中电压与电流的互换得出对偶器件的定义方程表示在第三列中。第四列则是对偶器件的示意图，这是根据第三列的关系式验证得到的。
控制开关被认为是开（ON）或关（OFF）状态的二端单元，该状态由控制信号d(t)决定。当d=1时，开关处于开（ON）状态；当d=0时，开关处于关（OFF）状态。无论是从d=0或d=1的状态意义而言，该控制信号被认为同样是理想的。
4.2理想整流器的对偶
理想整流器没有提供正向电压（即V≤0），不容许有反向电流（即i≥0），也不容许产生瞬时功率（即iv=0）。因此，通过对偶互换电压和电流波形得到的对偶元件，同样决不容许有正向电流（即ix≤0），也不提供反向电压（即Vx≥0），在所有时间其电压或电流始终为零（即ixVx=0）。具有这种特性的元件也是另一理想整流器，只是其方向与原来的器件相反，见图6第一行所示。
4.3理想晶体管（一象限控制开关）对偶
理想的一象限控制开关如图6第二项所示，其符号代表双极型结点式晶体管。这种理想开关根据控制信号d(t)转向ON或者转向OFF。一象限限制意味着器件不应有反向电压和反向电流，如图6所示得到的对偶同样是一象限开关。它通过对偶变换产生的唯一变化是，对偶开关是由附加的控制信号驱动。原晶体管所处的状态为ON，其对偶则处于OFF，反之亦然。故在脉冲宽度调制变换器中，原电路的负载比D转换成互补的负载比1-D（或用D′表示）。由于对偶性在ON时间和OFF时间之间有另一结果；在恒定ON时间工作的变换器有恒定OFF时间工作的对偶，反之亦然。
4.4理想的二象限开关的对偶
图6中第三行是提供双向电压的二象限开关。该类开关的常见形式是一个晶体管与一个二极管串联，如图6所示，如一象限开关一样，该器件处于OFF状态没有电流。但是，二象限开关能够提供反向电压，不管控制信号的状态如何，反偏压时就中断电流。
这个器件的对偶也是二象限开关，而且是传输双向电流的开关。控制信号在对偶中也是相反的。图6中第三行的对偶是一个晶体管与一个反向二极管并联实现的。功率MOSFET与其内部的二极管同样是实现这一功能的可行方案。
4.5理想的四象限开关的对偶
理想四象限开关处理ON时，在每个方向上传输电流，处于OFF时，提供双向电压。图6第四行表示四象限开关这样一种开关是由四个理想的二极管和一个理想的象限开关（晶体管）实现的。这类开关有其自己的对偶。它的控制输入是相反的。
人们注意到了二象限开关和四象限开关的对偶可以通过转换图6第一行之示意图以简单的形式得到。替换图3中适合的结构对偶和图6中的晶体管和整流器的对偶，可直接得到对偶电路，如图6第三行所示。
4.6理想的可控半导体整流器（SCR）对偶
理想的SCR是一种提供双向电压的二象限开关，其附加限制是电流降为零时开关才断开。图6第五行给出了由理想晶体管和整流器组成的SCR模型，其增加的某些逻辑是用门限来控制信号的。这种对偶方式的实现，从等效电路中比从描述性方程的计算中更容易得到。图6可见，SCR的对偶包括一个一象限开关（双向电流），在控制电路中其逻辑阻止开关接通，直到其电压降为零时为止。
5对偶性与磁性器件
一般认为变压器和耦合电感器不能实现对偶，因为电容耦合（磁性耦合的对偶）是不容易实现的，这对于某些复杂的多绕组磁性结构而言是正确的，但对一般用于功率电路中的许多磁性器件来说则是可实现对偶的。
变压器和耦合电感器模型的范围从简单的理想的模型到非理想的模型（例如铁心的漏电感和漏电容，铁心的非线性以及高频邻近效应）。只要这些非理想元件可以用平面的集总等效电路建模，对偶性就能处理它们中的任何一种，但人们只限于建立有一定理想性的模型。
5.1理想变压器
图7(a)所示为一种理想变压器。根据对偶然性法则，电压和电流的互换得到反次级线圈和反匝数比的另一种理想变压器，如图7(b)所示。但在许多情况下，图7的变换会产生不可实现的电路，原因是尽管任一实际变压器的绕组能传输直流电流，但是每一绕组必须有零直流电压。在这种器件的对偶中，器件中的电压和电流已被互换，每一绕组的直流电流为零，但绕组两端的直流电压可能不是零。对于实际变压器来说，虽然理想变压器在原电路中的特性是极好的模型，但是，如果直流电压施加于其绕组，那么用作实现对偶的实际变压器将会饱和。解释这个问题只要说明“实际变压器”具有磁化电感，正是这种有限电感值要求每个绕组有零直流电压。
5.2“完美”的变压器
所谓“完美”变压器是指其具有有限的磁化电感而没有漏感。图8说明了实现这种变压器对偶的步骤。从图8(a)模型开始，磁化电感器被分成了两个，原边和副边各一个，见图8(b)。对偶变换把这两个电感器转换成两个电容器，如图8(c)所示。这两个电容保持直流电压，以与原变压器绕组中的直流电流相对应。这两个电容器也使得每个绕组中的直流电流为零，零直流电压的对偶给原变压器进行限制。
当图8(c)的电路具体实现对偶时，具有有限磁化电感和漏电感的实际变压器将作为近似的理想变压器。“足够大的”磁化电感和“足够小的”漏电感将保证这些不可避免的寄生分量不会严重地破坏对偶电路的静态特性。图8(c)中相当大容量的电容器将形成慢时常数，并且可能与实际变压器的磁化电感形成欠阻尼谐振，从而将可能影响瞬变特性。问题的关键是，虽然通过控制适当的寄生分量值可以实现图8(c)电路，但是图7(b)的简单模型则不可能采用电路中的任一磁化电感的有限值来建立，电路中绕组两端的直流电压不为零。
5.3耦合电感器
双绕组磁性器件（变压器或耦合电感器）的一般模型（T模型）如图9(a)所示。这种模型由图8(a)“完美”变压器组成，每个绕组串联一个电感器。其对偶电路如图9(b)所示，是由图8(c)“完美”变压器的对偶电路得来的，其电容器与每个绕组并联。
图9(b)中指出了耦合电感器对偶的某些特点是值得讨论的。它宁可使用电容器也不使用电感器来取得适当的电压和电流分配。耦合电感器容许无直流电压，对偶电路容许无直流电流。正如耦合电感器模型可以通过适当地改变匝数比进行调整，以消除掉一个漏电感器那样，可修改此对偶电路，以便只需要三个电容器而不是四个电容器。
5.4多绕组磁性器件
就用途而言，变压器的特点之一是容许对其简单地增加几个附加绕组即可在其分电路中共用电压波形。故可以预料，这种器件的对偶会强制几个分电路的电流相等或成比例。
图10叙述无漏感三绕组变压器对偶变换。图10(a)表示，该器件模型可以重新画成其初级绕组并联的一对变压器，图10(b)所示，把对偶变换用于图10(c)的电路中，得到图10(c)所示的对偶，它由两个串联变压器组成。正如双绕组变压器的状态，与每个绕组串联的电容器（根据磁化电感量由对偶性求解）消除直流电压，否则会使对偶变压器磁心中的磁通“泄漏”。
虽然图10(a)所示的原为多绕组的变压器可以设置在单个磁心上，但要实现图10(c)中的对偶元件，则需要两个独立的变压器。总之，几个绕组无漏感变压器的对偶将如一组n-1个双绕组变压器一样得以实现。当对偶性用于多输出变换器和多抽头变压器时，将会限制其实用性。
6对偶变换举例
图11所示为全桥并联谐振DC/DC变换器。对偶变换应用在这种变换器，总结了前述各图表中给出的几个单元对偶和结构对偶。本例还说明了完成这个变换的简化程序，并强调了某些一般性问题和对偶变换的特点。
使用“分解”法可以相对容易地看出图11的对偶。首先，把电路分成可认识的和可控制的电路单元，这些分电路常常参照前面的图表进行迅速变换；然后，把这些变换过的电路单元拼到一起（应注意保持正确的方向），即得到完整的对偶电路。
假设把图11所示的并联谐振变换器分解成图12(a)~(d)的四个电路单元：输入源和晶体管电桥，谐振回路及其负载，变压器次级线圈和输出整流器电桥，输出滤波器和负载。在图3中可看出四个分电路之每一个的结构对偶，而对每个分电路中各元件的单元对偶则来自图4（电压源，电感器和电容器）、图6（整流器和二象限开关）和图8（变压器）。每一个分电路的对偶如图12所示。由于并联谐振变换器的工作是对称的，变压器绕组不传输直流电流，因此不需要隔直流电容器（图8中的和）来截断对偶电路中的直流电压。
把已经变换过的电路单元以正确的方向重新连接起来是非常重要的。做这个工作的一个简单而有效的方法如图13所示。把每个电路都视为具有两端的单元，相邻单元有其两端，两者并联（如图13(a)左边图所示）或是反向并联（如图13(b)所示）。按照对偶变换原理，变换过的电路单元将是反方向的，如图13右边图所示。正是这种“颠倒”容易引起混淆。
图11的并联谐振变换器的完全对偶见图14。
6.2平面性
在进行对偶变换之前，必须以平面形式画出电路，即导线没有连接，也不能相交。这种要求，有时将迫使人们不能用常规方法绘制电路，如图11所示的例子。在该图中，变压器的每个绕组保持在电桥电路的网络内，而不是移到电桥的外侧，其初级绕组和次级绕组将彼此相邻。
必须说明的是，虽然“导线”在平面电路中不相交，但是连接变压器初级绕组和次级绕组的“连接线”可以与导线或其它连接线相交。正如“2.1”中指出的，对偶变换把变压器的每个绕组看作是独立的二端单元，而未把它们理解为磁连接的。
6.3电源
电源在对偶变换期间有可能出现混淆，其原因是，遵照“2.2”中关于电压和电流方向确定的约定时，电压或电流（非平均值）对电源来说将是负的。当应用对偶性时，必须抵制违反约定的举动，或者改变电源方向，如实地采用这些法则是避免错误或混淆的唯一办法。
对偶性把电压源变成电流源。实际上，电流源几乎总是由电压源和一个相对大的串联电感器来实现。虽然这种实现方式影响一些稳态特性，但它引入了一种新的状态即电感器电流，因此，电路的动态也必须设法控制。
6.4负载
与电源情况一样，负载常常要求对偶性法则作某些偏差的调整。许多应用要求有低输出阻抗的变换器，因此，大多数变换器在其输出端之间有一些电容器。对偶性把与负载并联的电容器转变成为与负载串联的电感器（如图12(d)所示），把低输出阻抗变成高输出阻抗。
在通过对偶性得到变换器的具体实现中，人们通过增加负载两端的电容器或者消除电感器的办法来降低输出阻抗。对并联谐振变换器来说，电感量Lf相对较大时则可完成大部分的过滤，可以消除原输出电容Cf而不影响变换器的稳态工作特性。因此，从对偶电路中消除对偶单元将不会影响工作。
当电感Lf被消除（短路）、电容被消除（开路）时并联谐振变换器的工作，会出现图14的对偶电路工作的相应模型。在此情况下，电感变得不可缺少，而且其值应相对较大。在对偶电路中，这种模型的具体实现多半包括负载两端降低输出阻抗的另一个电容器。
6.5谐振变换器的对偶性
谐振变换器对偶转换的特点是损失少，此损失是因半导体开关在零电压转换成零电流时的工作状况下产生的。例如图11所示的并联谐振变换器在1/2谐振频率上被激励时，每个晶体管的电压开始为零（或其反并联二极管正在导通）时接通，并且可以通过在晶体管两端附加电容器或增加电容量，在延迟断路时升高电压。因为是对偶性互换电压波形和电流波形，所以它交替地进行零电压和零电流的转换，因此，图14所示的变换器在其晶体管上有零电流开关，还可以增加一些小电感器与每个二象限开关串联，以不使转换遭受损失。
利用与真实器件有关的寄生参数（例如结电容、变压器的漏电感）常常可使谐振变换器的拓扑结构达到最佳化。当应用对偶时，所得到的拓扑结构可能不再与因其具体实现形式产生了寄生分量而很好匹配。例如，有漏电感的变压器所在的变换器将有分布电容的变压器对偶。用作实现对偶电路的变压器必然会有漏电感，不过，对偶电路可能不再能容那个寄生分量（从另一方面而言，为了仍然可以得到高性能的变换器，可以把变压器设计成高分布电容和低漏感的变压器）。
零电压和零电流转换之间的对偶性是改变寄生参数灵敏度的另一个例子。对于高的开关工作频率，零电压开关是最理想的开关，因为它的半导体开关的电容参数不敏感。零电流开关是其工作的对偶模型，它所受到的转换损失与半导体的电容放电有关。
6.6电桥电路的对偶性
半桥式电路（其中以两个大的电容器把电源电压分开）适宜采有电压馈电变压器。 这些电路的对偶可能不太实用，因为它们要用三个大的电感器：一个用于输入电流源，另两个是半桥式电容器所形成的。但事实上只需要两个电感器（因为三个电感器会形成一个割集）。在图11所示的并联谐振变换器中的全桥电路产生具有一个大电感器和四个开关的对偶变换器（见图14所示）。如果采用半桥式电路替代，其对偶就有两个开关和两上大的电感器。
7结论
对偶性已被证实是功率电子学有用的工具。但是，以前由于非线性元件、开关和多绕组磁性元件的存在，对偶性应用于功率变换器很复杂。
本文力求论述了有关对偶变换方面的某些不实之说，说明功率变换器能够相对容易地进行对偶变换。这种方法称对偶变换的两个部分为：对偶电路单元的推导和电路的拓朴结构重排。
第一步是推导用于功率电子学中某些元件的对偶，这些元件包括饱和电抗器、理想整流器和开关、变压器和耦合电感器。求导这些单元的对偶是比较简单的，只要在适用的图表中查出它们并进行替换。
对偶性的拓朴结构变化是用相同的方式进行研究的，通过先把电路分成“分电路”，这样，大的电路可以更容易地进行变换，如用图3所示的替换法求出每个分电路的对偶。然后采用简单的法则，以保证能用适当的方法把得到的分电路块重新连接起来。当涉及到大的或复杂的电路时，这种过程比通常的“强力”法可能大大加快。
总之，本文给出的这几种技术和关系式，使对偶性应用于功率变换器成为更快捷、更直接和更简单的过程。
参考文献(略)