1引言
电子设备中使用的磁性器件，在制造之前能够估算其电感值是重要的。但是并没有一种精确的方法可以预测电感值。判定磁性器件性能的主要方法是制作一种器件并实测其特性，然后逐步进行修正，直至达到所需要的性能。以前研究此问题时，大多数集中于解决平面磁性器件设计中的实际问题，以测试来检验这种器件的工作指标。在参考文献[1]中，Soohoo论述了采用高磁导率铁心的磁性薄膜电感器设计，并介绍了制作这种电感器的详细情况。在文献[2]中，Kawabe等人介绍了3种平面电感器，并给出了环型和回曲型电感器的测量结果。文献所给出的数据表明，螺旋型电感器具有最大电感量，文章同时列出了电感量计算的近似表达式。在文献[3]中，Oshiro等作者论述了具有两上螺旋线圈的平面电感器的情况，其电感器随线圈的连接方式（正或负）的不同而变化，也给出了在两种情况下的电感量和电容量的计算表面达式。文献[4]描述了微型变压器的结构和工作情况，同时论述了这种变压器在新开发之电路中的应用情况。文献[5]论述了平面变压器的详细结构布局。除了电气性能以外，文章还讨论与变压器工作过程中有关的机械结构问题。
然而，有关总电感值的理论计算表达式在这些文献中不易导出，而且，也没有预测形成螺旋线圈后导体内的电流分布产生的影响。因此，为了比较螺旋线圈的理论计算性能和实测性能，本文研究了一种计算含有磁心的平面矩形螺旋印制电路电感器的方法，它将有助于印制电路电感器和变压器的设计。该电感器的内电感很小，可忽略不计，所以它不包含在总电感值中。图1所示为磁性器件样品的几种几何图形。图1(a)由一个3匝2层的螺旋印制电路构成并被封装在磁心之中；图(1)b和图1(c)示出了另外两种几何结构，它们分别由2匝和1匝螺旋线构成，这两种线圈结构的螺旋线的外径保持恒定。图1(c)为设计成1匝1层螺旋结构的、在外形上类似于1匝2层的螺旋结构，而3匝1层的电感器类似于图1(a)的结构。在比较复杂的总体结构设计之前，首先确定在没有磁心的情况下，采用螺旋结构是有益的，然后再引入磁心，研究其对电感器的影响，完成电感器的整体结构设计。
这种类似于图1(a)所示结构的第一种近似计算法，其对于总电感值的计算可以通过假设全部电流在螺旋线导体的正中央很窄的范围内集中流动进行，故本文称此法为窄带法。在此情况下，总电感值计算的精确表达式是可以成立的。但只有在铜箔的宽度远小于矩形绕圈最内层一匝的短边长度时，其计算结果才是精确的。
第二种计算方法被称为宽带法。当铜箔的宽度相对较宽时（如图1c所示），必须用这种方法。用宽带法时，总电感值的计算是以假定电流在铜箔宽度的全部范围内均匀分布为前提的，故这是第二种实用的近似方法。由于使用宽带法没有得到精确的电感值计算表达式，故其电感值需采用数值法计算。
以上两种方法都适用于铜箔厚度小于或等于所应用频率范围的集肤深度的情况。在试样电感器的制作中用了28.35g（1盎司）铜箔，其厚度为0.036cm（0.0014英寸）。在1MHz频率时，铜材的集肤深度为0.0066cm，对于大多数螺旋绕组而言，只要绕组层间的间隔距离远小于任何一层中的最内层一匝的内边长度，并且任何一层中的每一匝之间以很小的等距离间隔，那么，由于铜箔中的电流与铜箔平面层垂直的磁场分量的影响可以忽略不计。在所有各层的匝数相等而在不同层次的匝数相互叠加的情况下，这里的分析是正确的。
在宽带法使用的方程式推导中，同时讨论了包括磁心材料的影响问题，为了简化总电感值的计算过程，可编拟一种CAD程序。在没有使用磁心和使用了磁心的情况下，把用这两种方法计算的电感值与在实验室对各种测试样品所测得的量值进行比较，结果证明，这两种方法是正确的。
2窄带计算法
当长度尺寸为2a的细直导体载有电流i（如图2所示）时，根据比奥——萨伐尔定律[6]，导体之任意点（x、y）的磁感应强度的表达式为：
 (1)
式中的y轴为沿导体方向，x轴为垂直于导体方向；当x=0，y=0时，其点在导体长度的中间（即1a处）和导体圆心处。由于平面载流导体的宽度W远小于长度，所以上述表达式(1)也可用来估算外导体上任意一点（x、y）处的磁感应强度的有效近似值表达式。在这里，是假定所有电流都是沿着导体的中心流动的。
由图3所示，如果以宽度为W的导体形成一匝边长分别为2a和2b的矩形线圈，从2a边导体中心到对边导体中心进行磁场测量，则因为电流在长为2a的一边流动，在矩形区域内的磁通判定式为：
 (2)
式中，B(x，y)由式(1)给出，通过积分得出：

 (3)
式中： (4)
 (5)
 (6)
式(2)的积分域已考虑了导体的有限宽度，所以，实际上只计算由导体总长度包围的矩形区域范围内磁通。由于电流在长度为2b的一边流动时，在相同的矩形区域内的磁通可以通过互换式(1)、(2)中的a和b，以及互换式(3)中的F和G来获得。由于电流在矩形线圈的四边流动，故其总磁通中为：
 (7)
尺寸为2a×2b的单匝矩形线圈的电感值是从一边导体的中心到另一边导体的中心进行测量的，可根据一般电感量表达式L=φ/i得出。对于W<<4a和W<<4b的特殊情况，矩形单匝线圈的电感值的表达式可以简化为：

 (8)
当线圈为正方形，即a=b时，根据式(8)得到简化的特殊表达式为：
 (9)
多匝螺旋线圈电感器的总电感量为每匝的自感和匝间互感的总和。在如图4所示的螺旋线圈结构中，如果最外层一匝的长度为2a，而相邻共平面内侧的每匝之间都具有相同的中心间距C，那么螺旋结构可以用同心线圈方式取近似值。这些同心线圈都具有如前所述的相同的中心间距C，如图5所示。第j匝的各边的中心间距长度为2[a-(j-1)c]，j匝数从外到内递增，而每个同心匝载有与原螺旋结构相同的电流i。
由于在第j匝中载有电流，第j匝的自感值Ljj可以根据通过第j匝的磁通计算，而互感Ljk则是根据通过第K匝的磁通求出。在此，根据每匝编号的安排，第j匝在第k匝的外面，即j<K。因相互关系，由电流在第K匝流动而引起的铰连到第j匝的磁通等于由相同电流在第j匝流动而引起的铰连到第K匝的磁通，即Lkj=Ljk。
可以对计算自感量和互感量的一般表达式求导。为方便起见，假定源匝（电流所在匝）的系数为P+1，目标匝（由电流在源匝中流动引起、经磁通铰连的那些匝）的系数为q+1，且P和q均为正整数。由于在坐标系中的源点位于最外层导体的中间点，因此上述系数对修正目标环路导体和源环路导体的长度以及相应地移动坐标原点都是必要的。所以，第（P+1）匝和第（q+1）匝之间的互感为：

 (10)
式中：F1=F-（p+q）c (11)
  G1=G-（p+q）c (12)
  K1=K-（p-q）c (13)
而其中的F、G、K分别由式(4)、(5)、(6)给出。
当p=q时，式(10)被用作计算各线匝的自感值。若p=q=0，式(10)给出的是最外层一匝线圈的自感L11。同例，当p≠q时，式(10)被用作计算(p+1)和(q+1)匝之间的互感值。譬如，在3匝的螺旋线圈中，第2匝和第3匝之间的互感L23可以通过把p=1和q=2代入式(10)、(11)、(12)、(13)来求解：
 (14)
 (15)
 (16)
对于一个层次中的N匝，作为自感值和互感值之和的总电感量，可用符号表示为：
 (17)
式中第二项求和的2倍是由于任意两匝j与K之间互感的互换性所得。
在功率电子设备中，螺旋结构线圈很少局限于单层。因此，当知道螺旋结构线圈为多于一层时，计算其电感值变得很重要。每一层有N匝的M层电感器的总电感量为M层的N匝线圈中的各个自感量和它们之间的互感量的总和。每个电感值的分量可以写为表达形式，它表示在第层中的第j匝与第M层中的第K匝之间的互感值。于是，第层中的第j匝的自感量表示为；第层的第j匝和第K匝之间的互感量表示为，因此，总电感量可以写成为：
 (18)
当不同层次的两匝具有相同尺寸时，它们的自感量是相等的。同样，如果层与层之间的距离远小于任何一匝的内侧长度，那么，其相互叠加的两匝之间的互感量可以取等于任一匝的自感量。同理，如果层与层之间的距离小于c，则不同层的不是相互叠加的两匝之间的互感量可以近似等于第一匝和在相当于同一层中类似于第二匝之间的互感值，其可概括为如下数学表达式：
 (19)
 (20)
 (21)
为标志的方便简化，式(19)、(20)、(21)中的和可分别用Ljj和Ljk来替代，将它们代入式(18)，则每层有N匝的M层螺旋结构电感器的总电感量LT可以表述为：
 (22)
例如，若N=3，M=2，那么
 (23)
此外，如果这些线匝间非常紧密，以致：
L11≈L22≈L33≈L12≈L13≈L23   则
LT≈4［qL11］=36L11 (24)
这个电感值为具有6匝的短螺旋线管的电感值，即LT＝62L11＝36L11，其中L11为单匝电感量。
3宽带计算法
以上计算矩形线圈电感量的方法是假设电流只沿导体中心流动，而且只有在导体的宽度与长度比较小到可以忽略不计时才有效；如果其不能忽略不计时，则必须考虑沿导体宽度方向的电流分布。
通用的磁感应强度表达式将在下面推导。假设穿过导体宽度方向的电流分布是均匀的，由于总电流i在长度上为2a，宽度为W的直线导体中流动，在导体外侧的任意点（x、y）的总磁感应强度B的表达式为：
 (25)
在所关心的区域可对式(25)进行积分，以获得由电流i在该区域产生的总磁通值，如式(2)。然而，为了获得严密的φ的理论表达式，在对式(25)的B(x、y)进行积分的方法未求出之前，可以用数字计算积分，现概述如下：
把线圈围绕的区域A分成几个较小的区域ΔAK。ΔA＝ΔxΔy，如图6所示。
在这个区域的每个ΔAK中，选择具有1≤K＜n的点（xk，yk）——比如中心点，且总Sn的方程式为：
 (26)
式中，B(xK、yK)是在每点(xK、yK)时由式(25)计算得到。由于网格细小到以致n→（通过把ΔxK和ΔyK的尺寸接近于0，在线圈中使ΔAK的区域之尺寸接近于0），根据二重积分的定义，总的Sn近似于极限：
 (27)
使用上述积分数值估算，那么其自感值按在线圈中流动的电流所引起的由线圈围起来的磁通率来计算，如在“窄带计算法”中所述。互感值则通过计算因外匝电流流动产生的连接到内匝的磁通量来求出。由于其对称性，内匝的电流等于外匝的电流，故连接外匝的磁通量等于连接内匝的磁通量。
应用这些理论公式，可以编写一种简单的计算矩形螺旋线圈电感量的计算机辅助设计程序，并把线圈外匝的尺寸，各连续线匝之间的距离，每匝导体的宽度、线圈的总匝数以及线圈结构的层数等作为程序的输入数据。
为使读者更好的理解式(25)，现将通用的磁感应强度表达式推导如下：
如图7所示，假设导体的宽度为W，长度为2a，载有电流i并沿着导体宽度的方向均匀分布。图中y轴为导体长度方向，x轴垂直于导体轴；而坐标原点x=0、y=0位于导体长度方向的正中心和宽度方向的中点。由于带状导体具有厚度h，长度2a，宽度dx′并载有电流di，那么，利用式(1)，求点(x、y)的磁感应强度为：
 (28)
电流i与电流密度j有关，如i=jhw，因此，
 (29)
在式(32)中，假设x-x′=u，则dx′=-du。在式(33)中，，把这些关系式代入式(28)，则式(28)可改写为：
 (30)
根据积分表[8]，式(30)可以简化为：

 (31)
利用对数一反双曲线函数关系式，式(31)即可改写成为式(25)的表达形式。
4存在磁性材料磁心的平面螺旋电感器
在不考虑点(x，y)处存在特殊μ值的情况下，式(1)和式(25)是准确的。当对式(2)进行积分时，B(x，y)表达式中的μ值要根据该区域内所用磁性材料进行修正。因为当该区域内存在的磁心材料时，其磁感应强度将增加，同时电感值也随之增加。
宽带计算法中总磁通量是通过对载流导体包围起来的区域At的磁感应强度表达式进行积分计算的，如果Bo(x，y)是空间点(x，y)(μ0=μ)的磁感应强度B，μr为占有面积Ac(是At的一部分)的磁心材料的相对磁导率。同时，由载流导体包围起来的面积（而不是磁心材料所占有的面积）为Anc=At-Ao，那么，总磁通量φ的计算式为：
 (32)
   (33)
   (34)
   (35)
在进行积分时［见式(34)］，当点（x，y）是在磁心材料占有的面积之内时，积分被乘以磁心材料的μr值，否则乘以1。对整个面积At上的磁通量求和，即可得到总磁通量φ。
当磁心材料的磁导率已知时，上述方法可以用来计算在磁心材料占有全部At或部分At时的平面螺旋电感线圈的电感值。证明电感器中存在着磁心的另一种方法是求出电感器周围介质的有效磁导率之平均值，且该平均值应当是磁心材料的磁导率和空气的磁导率的加权平均值。为此，应该对无磁心情况下计算得到的电感值（也即用宽带计算法所得值）乘以介质的有效磁导率的这一加权平均值，从而得出在存在磁心材料时的电感值。
5结果与比较
在实验室中制作了8种印制电路平均螺旋线圈型电感器样品，并测量了它们的电感值。在没有任何磁心材料的情况下，这种样品的计算和测量的电感值见表1中的比较，同时还给出了测量的所有8种螺旋结构线圈的匝数、层数，a、c、w的尺寸和总的电感值L1（引线的电感值除外）。同时还给出了根据窄带计算法和宽带计算法计算出的电感值LN和LW。
以上所有印制电路平面螺旋线圈电感器都是在环氧玻璃介质上用厚度为0.0036cm（0.0014英寸）的铜箔制造的。这些样品线圈都是正方形结构即a=b，其外形尺寸范围从1.524~7.11cm（0.6~2.8英寸），导体宽度范围是从0.089cm~0.605cm（0.035~0.238英寸）。其中有4个螺旋线圈结构的样品是在一层上有3匝，但它们导体宽度各不相同；有3个螺旋线圈结构样品有两个相同的层数，但每层上为1、2或3匝，有1个螺旋线圈结构样品只有一层且在该层上只有1匝。
表中所有的测量电感值都是在100KHz频率时用HP4192A阻抗分析仪测出的。100KHz是高频率，对所研究的样品足以使感抗达到一定的精确值，但当引入磁性材料作线圈磁心时，它又低得足以能够避免电路中的电感和电容分量之间产生的谐振作用。在所得表中，对引线电感进行了补偿，即从HP4192仪表上测得的总电感值中减去了等于样品引线的电感值。
样品1#的线圈结构最简单，只有1层1匝。由于此时的4a/w之比率也是最小的，故该电感器的设计值之误差最大。样品1#到样品4#的数据比较后表明，当4a/w从5增大至27时，由窄带（或宽带法）计算给出的EN(EW)从62.5(51.0)%下降到13.6(5.8)%。样品5#到样品8#都有一个常数a，因此，当W从0.356cm（0.14英寸）减小到0.089cm（0.035英寸）时，系数4a/w从40变到160。于是，根据窄带法（或宽带法）计算出的电感值的误差EN(EW)从26.2(17.9)%降低到10.4(5.3)%。
在引入了磁性材料作线圈磁心的情况下，测量与计算得出的电感值概括地列于表2和表3。
在表2中，具有磁心的电感量计算值乘以表1中的有效磁导率值的平均计算值（LW），其结果分别作为具有相应磁心和没有磁心时的电感量测量值的比率；表2中给出的μeff=322.85为算术平均值；相应磁心的电感量计算值在表2中的符号L4下的纵行中给出，同时也给出了计算值的误差百分比率E4，这个误差百分比率随导体宽度的减小而降低。
对于供研究用的样品磁心，其磁性材料的相对磁导率是未知数。而使用最多MnZn铁氧体材料的平均相对磁导率μr=2000。利用μr值，可藉宽带计算法计算在有磁心情况下之样品线圈的电感值。电感量的计算值在表3的LW符号中给出。至于μr值，计算值与测量值是一致的（见表中L2项中给出）。
6结论
文章论述了两种用于计算平面螺旋结构线圈电感器的电感值的方法：窄带法得出了一个严密的电感值计算方程式，而且便于应用；宽带法适用于较宽的导体范围，这种方法要求计算机辅助设计。两种方法都可以用作计算存在磁心的平面螺旋电感器的电感值。这两种方法的正确性是通过计算结果与实测值的比较得以验证的。这两种方法有助于设计师省去许多在印制板电路电感器计算中经常遇到的反复试验过程。这些简单方法为在制造之前估算平面螺旋线圈电感器的电感量提供了有效手段，也将可用于印制电路平面变压器的模型制造中。

参考文献
[1]R.F.Soohoo，“Magnetif Thin Film Indutors for Integrated Circuit Applications，”IEEE Transactions on Magnetics，Vol.MAG-15，No.6，pp1803，November 1979.
[2]K.Kawabe，H.Koyama，K.Shirae，“Planar Inductor，”IEEE Transactions on Magnetics， Vol.MAG-20，NO.5，PP1804-1806， September 1984.
[3]O.Oshiro，H.Tsujimoto，K.Shirae，“A Novel Miniature Planar Inductor，”IEEE Transactions on Magnetics，Vol.Mag-23.No.5，PP3759-3761，September 1987.
[4]K.Yamasawa.K.Maruyama.I.Hirohama，P.P.Biringer，“High-Frequency Operation of a Planar-Type Mirottansformer and Its Application to Multilayered Switching Regulators，”IEEE Transactions on Magnetics，Vol.26， No.3，pp-1204-1209，1990.
[5]D.van der Linde，C.A.M.Boon，J.B.Klaassens，“Design of a High-Frequency Planar Power Transformer in Multilayer Technology，”IEEE Transactions on Industrial Electronics， Vol.38， No.2， pp135-141.April 1991.
[6]D.T.Paris and F.K.Hurd.Bassic Elctromagnetic Theory，McGraw-Hill，1969，p211.
[7]M.A.Plonus，Applied Electromagnetics，McGraw-Hill，1978，p355.
[8]W.H.Beyer.ed.，CRC Standard Mathematical Tables，CRC Press，27th editon，1984.