?(2)
其中，在公式(1)中α表示软磁层或者硬磁层Eα、Aα(>0)、kα、1α与Nα（Ns或Nh）分别表示相应软磁层或者硬磁层的能量、交换耦合常数、各向异性常数、起始剖分单元与剖分个数。Et、Es、Eh与Esh_ex分别表示总能量、软磁层的能量 、硬磁层的能量以及层间交换能，Aexchange表示层间交换耦合常数，Heff(i)、Han(i)、Hex(i)与H分别表示第i层的有效场、各向异性场与交换场以及所加外场，Ai，i+1(>0)是第i层与i+1层间的交换耦合常数（若i，i+1层属于软层，则Ai，i+1是软层的交换耦合常数；若i，i+1层属于硬层，则Ai，i+1是硬磁层的交换耦合常数；若i，i+1层属于不同层，则Ai，i+1是层间交换耦合常数），θi是第i层的磁化强度矢量与硬磁层易轴方向的夹角，θhi是外场与硬磁层易轴()方向的夹角，d是剖分长度，MS(i)与k(i)分别是第i层的饱和磁化强度与向异性常数。M (i)是第i层的磁化强度。假定每个剖分层内磁矩分布是均匀的，在固定外场下，首先给定一初始的磁化结构，计算有效场，然后使一层的磁化强度矢量转到该层的有效场方向，计算此时的有效场；然后对磁体内每层重复，直至扫描完整个磁体，计算总自由能；当第j+1次和第j次扫描后的自由能差满足控制精度，则扫描结束。此时认为系统已经达到平衡状态，计算系统的平均磁化强度并记录外场值，计算过程选择了自由边界条件。（注意：由于本文忽略了退磁能，因此膜的法线方向(Z)轴没有磁化强度分量。硬磁层易轴沿x轴方向，外场方向在X-Y面内，只考虑最近邻相互作用）
2.2三维动态模型
在微磁学理论中，自由能的表达式为：
?(3)
式中Eex是交换作用能，Ek是磁晶各向异性能，EH是静磁能，Edemag是退磁能；其中Eex由软硬磁层间交换能、软磁层内交换能与硬磁层内交换能三部分组成。磁矩从一个稳定状态到另一个稳定状态的变化过程遵循Landau-Lifshitz-Gilbert(LLG)动态方程：

?(4)
其中M是磁化强度矢量，ω是旋磁比，α是阻尼系数，有效场Heff定义为自由能的变分，它提供作用在磁化强度矢量上的实际力矩。模拟基于有限差分的思想，把材料进行适当的网格划分，假定每个网格内磁矩分布是均匀的，给定一初始的磁矩分布，计算每个网格内的有效场并求解Gilbert方程，得到磁化强度矢量的动力学变化过程，从而获得磁体的微磁结构分布[14]。其中第（i，j，k）个原胞的有效场为：

上式右边各项分别是：第(i，j，k)个原胞的各向异性场、交换场、退磁场以及所加外场。

?

令

为退磁因子，N为剖分个数；Ms(i，j，k)与M(i，j，k)分别是第(i，j，k)个原胞和饱和磁化强度与磁化强度矢量，而；k(i，j，k)与(i，j，k)分别是第(i，j，k)个原胞的各向异性强度与各向异性方向；A是原胞间的交换耦合常数。
基于以上思想，则LLG方程的离散形式为：

?(6)

?

由于M·ΔM=0，因此

ξ是一3×3矩阵，它表示原细胞与被观察细胞之间的交换与静磁耦合常数；N、Nx、Ny与Nz分别表示总剖分个数与x、y、z方向的剖分个数。
注意：在此模型中硬磁层易轴沿x轴方向，外场方向在下x方向，且只考虑最近邻相互作用，计算过程选择了自由边界条件。
3模拟结果及讨论
采用上面的一维准静态模型及三维动力学模型研究了FCB的硬磁层厚度不变时，软磁层厚度改变对体系内禀矫顽力以及最大磁能积的影响；模拟过程中所采用的样品是Sm-Co/Fe双层膜[6]，其硬磁层的交换耦合常数、各向异性常数与饱和磁化强度分别是Ah=1.2×10-11(J/m)、Kh=5×106(J/m3)、Mh=5.5×106(A/m)；软磁层的交换耦合常数、各向异性常数与饱和磁化强度分别是AS=2.8×10-11(J/m)、KS=102(J/m3)、MS=1.7×106(A/m)；层间交换耦合系数(Ahs)取1.8×10-11(J/m)（在软、硬磁各向异性常数之间）。本文取硬磁层厚度(nh)为20nm。
本文模拟过程中，一维准静态模型剖分厚度为2nm。微磁三维模型中，体系的长宽均为500nm，每一剖分单元的长、宽和高分别为20nm、20nm与2nm。保持其它参数不变的情况下，通过改变软磁相的厚度(ns)来观察内禀矫顽力及最大磁能积的变化情况。（模拟中，软、硬磁层初始磁化强度矢量方向都沿硬磁层的易轴）
由图2可知当采用一维模型时，内禀矫顽力随软磁层厚度增加呈递减趋势，然而在三维模型中，体系的内禀矫顽力不再单调变化，而是在大约2.5nm处出现一峰值，且当ns≥20nm时，两曲线基本重合。
在一维模型中，内禀矫顽力随软磁层厚度增加而递减，这说明体系剩磁增加是以牺牲磁相的内禀矫顽力的前提下来实现的。据文献[12]知，在一维情况下，当软磁相厚度在临界尺寸（硬磁相与软磁相严格耦合时，大约为5nm）内时，其形核场大致满足以下方程：
?(7)
(Keff、Meff与KS分别是体系有效各向异性常数、有效饱和磁化强度与软磁相各向异性常数)。
当硬磁相与软磁相严格耦合时，磁滞回线是矩形，形核场近似等于内禀矫顽力场，因此内禀矫顽力也近似满足上述方程。因此当软磁相厚度在临界尺寸内时，内禀矫顽力随软磁相厚度的增加必然呈现递减的趋势。
另外，由于软磁相与硬磁相之间的交换场近似满足：
?(8)
(Hex与Ahs分别是层间交换场与层间交换耦合常数)
因此，当软磁相厚度超过临界尺寸时，若继续增加软磁相厚度，层间交换耦合减弱，软、硬磁层不再同时反转，由此出现随软磁相厚度增加体系的内禀矫顽力减小的现象。
众所周知内禀矫顽力场Bc(=μ0Hci)对应磁化发生反转时的外场值H，当系统处于内禀矫顽力场时，阻碍磁化反转的能垒消失，整个系统就变得不稳定[8]；如图3在FCB系统中，有以下几种控制体系磁化强度矢量反转的能垒：EB_S能垒阻碍软磁层的反转，EB_h能垒阻碍硬磁层的反转，EB_Sh能垒阻碍软、硬磁层同时反转。当在反转方向的外场(B)增加时，平衡位置的能量(E)将增加。B等于软磁层的内禀矫顽力场(BSC)时，能垒EB_S将消失（阻碍软、硬磁层同时反转的能垒EB_Sh存在），软磁层的MS反转到相反的方向。随着外场在反转方向继续增加，B等于Bhc时，能垒EB_h消失，硬磁层的MS反转到相反的方向。这种反转过程是两步反转，其磁滞回线将会显示一台阶(kink)（图4b，图4c），其物理机制说明软磁层的磁化强度矢量并不完全耦合与硬磁层的磁化强度矢量。随着层间耦合的增加，BSC增加而Bhc将减小[13]。当耦合强度增加到一临界值时，能垒EB_S与EB_h在一定外场下将同时消失，软、硬磁层的磁化强度矢量同时发生反转，这种反转过程是一步反转，其磁滞回线并没台阶（图4a）。
在三维模型下，软磁层厚度为1.25nm时，软、硬磁层同时反转，这时硬磁层的内禀矫顽力场(Bhc)等于软磁层的内禀矫顽力场(Bsc)也等于Bc(如图4a)；当软磁层的厚度增加到2.5nm时，这时软、硬磁层则不再同时反转，Bhc将增大，而Bsc将会减小但由图3可知EB_h≥EB_S(Bc=Bhc)，进而导致内禀矫顽力场增大（如图4c）；若继续软磁层的厚度，则由于EB_h≤EB_S(Bc=Bsc)进而导致内禀矫顽力场减小（如图4b）。并由图3可知，在三维模型下，当软磁层厚ns≥20时，体系就已显示出很强的软磁性；另外，由公式(9)可知当软磁层厚ns≥20时，Hex已很小，这说明在一维模型下，此时体系也已显示出很强的软磁性；因此，在图1中会出现当ns≥20时，两曲线基本重合的现象。
而且，由上面的分析可知，三维模型下体系的临界尺寸小于一维模型下体系的临界尺寸，这可解释为三维模型下体系有更复杂的边界且考虑了退磁能的影响，致使体系提前行核，进而导致临界尺寸减小。
另外，由于本文中一维模型下软磁相的临界尺寸（≈5nm）比较大，进而导致随磁层厚度的变化，在磁化反转过程中软磁层反转体系的能量大于硬磁层反转时体系的能量，即体系的内禀矫顽力场永远等于软磁层的内禀矫顽力场，因此一维模型下，内禀矫顽力随软磁层厚度增加呈递减趋势。
以上分析说明：软磁相的临界尺寸在磁化反转过程中起非常重要的作用。
最大磁能积（(BH)max）是表征永磁材料性能好坏的物理量，由于BH=μ0(H+M)H，因此(BH)max决定于d(BH)/dH=0。由图5可知随软磁相厚度增加最大磁能积先增加后减小（当软磁相厚度大约在10nm时，理论上有最大的磁能积，而实验上大约是5nm[12]）。另外由图可知无论在理论上还是在实验上随软磁相厚度的增加，最大磁能积均先增大后减小。只是当软磁层厚度小于2.5nm时，三种情况下的最大磁能积非常接近；而当软磁层厚度大于2.5nm时，实验值却远低于理论；这主要是由于实验中的硬磁/软磁双层膜体系有更复杂的表面与界面效应的结果。
4结论
该文利用微磁学理论采用一维准静态模型及三维动力学 模型对交换耦合硬磁/软磁双层膜体系进行了模拟，并研究了当保持硬磁层的厚度不变，改变软磁层的厚度对体系内禀矫顽力以及最大磁能积的影响。模拟结果表明：当硬磁相厚度一定，软磁相厚度比较小时，三维模型与一维模型有很大差别，即在三维模型下体系的内禀矫顽力不再随软磁相厚度的增加而单调减小，而是会有一个峰值，而且三维模型中软磁相临界尺寸小于一维模型中软磁相临界尺寸，这可解释为三维模型考虑了退磁能的结果，并且发现软磁相的临界尺寸在磁化反转过程中起非常重要的作用。

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