1引言
磁导率μ是软磁磁性材料的一个至关重要的材料特性参数，在变压器设计中也常用到它。一般文献都是用公式引入这个参数，但是对μ的物理概念很少阐述。本文讨论磁导率μ的物理意义。
在起始磁导率μi的测量过程中会因为仪器，测试人员或测量程序等诸多因素不同而导致测试结果差异。本文试分析造成测试结果不同的诸多原因，以便正确的测出材料的真正μi值。
为了简便，为了贴近实际应用状况，本文采用混合单位制：除电学量使用国际单位制的基本单位外，其他物理量均使用电磁单位制中的基本单位。涉及到的所有公式，除特意指明外，公式中的所有物理量单位都采用上述原则。例如，计算环形螺线管轴心上磁场强度的公式应写成：H=0.4πnI，n为单位磁路长度上的匝数。
2磁导率的概念
2.1 量方程和数值方程
物理量之间的关系是常用等式表示的，而物理量的量值又是数值乘以单位构成的。例如，电流强度I=2A，“2A”是电流强度I这个物理量的量值，“2”是数值，“A”是单位。
量方程是用于表示物理量之间的定量关系式。量方程中的物理量符号代表量值。数值方程是各物理量的单位被特定后，表示他们的数值之间的关系。
一个客观存在的物理量的量值，人们可以采用不同的名称，不同的单位和数值表示，但是其量值不应变化。例如，在真空中某点有一静磁场存在，该点的磁场强度H为1A/m。另外，也可以说该点的磁通密度B为4π×10-7T，也可以说该点的B为4π×10-3Gs。但是其量值都是相等的。
2.2 磁导率μ的引出
均匀的磁性材料被磁化场均匀磁化而没有退磁场产生时，材料本身产生一个附加场，这个附加磁场叫做材料的磁化强度M。铁磁性物质产生的磁化强度矢量M的方向与磁化场H的方向一致，磁化场H与磁化强度M叠加在一起的矢量和就称为材料中的磁通密度B。所以，磁化场、磁化强度和磁通密度三个矢量的关系为：
(1)
上式应该是一个量方程，它表示三个物理量之间的关系，与使用什么单位无关。
如果使用国际单位制，也就意味着把磁通密度B的单位特定为T，H和M的单位特定为A/m。T与A/m两个单位的换算关系为：1A/m=4π×10-7T，这个常数我们先称它为μ0。很显然，把（1）式转换为数值方程为：
(2)
(2)式表示磁通密度、磁场强度和磁化强度的单位特定后，三者之间的数值关系，B、H和M只分别代表三者的数值。即在国际单位制中，H与M的数值之和乘以μ0，就等于B的数值。而不是把H与M的物理量之和扩大μ0倍就等于B这个物理量。
在电磁单位制中，B的单位是Gs，H的单位是Oe，M的单位可称为[emu]M ，因为1[emu]M=4πGs[1]。所以，在电磁单位制中把（1）式转化为数值方程，由下式表示：
(3)
同理，（3）式中的B 、H、M也只代表数值。即，H的数值加上M数值的4π倍，就等于B的数值。
经过推导得出结论[2]，在国际单位制中：
(4)
在电磁单位制中：
(5)
(4)式表明，磁场强度矢量加上磁化强度矢量之和的μ0倍，就等于磁通密度矢量。而按照(5)式的理解，就是说把磁化强度矢量扩大4π倍，再加上磁场强度矢量，就等于磁通密度矢量。客观存在的的某个物理量，其量值是不会因为人们使用单位的不同而改变。物理量的量值之间的关系也不会随着人们使用的单位制不同而变化。由此可知，(4)式与(5)式是相互矛盾的，也是错误的。
我们把磁通密度的量值与磁化强度的量值之比，称为材料的相对磁导率μ。它就代表磁通密度是磁场强度的μ倍。μ既然是量值之比，它必然等于B和H单位化成相同时的数值之比。由(2)式可知，在国际单位制中应有：
(6)
式中B的特定单位为T，μ0H的单位也已转化为T，所以B的数值与μ0H这个数值之比就等于B和H的量值之比。
由（3）式可知，在电磁单位制中，相对磁导率μ的表达式应为：
(7)
上式中，因为B的特定单位Gs与H的特定单位Oe相等，所以B与H的数值之比就是相对磁导率μ。因为μ代表的是B与H之间的量值关系，所以它的大小与采用的单位制无关。即，不管采用什么单位制，得到的μ值都相等。
有关资料[3]给出了绝对磁导率的定义为：单位磁场强度在物质中所感生的磁通密度，即：
(8)
由(8)式可知，绝对磁导率就等于磁通密度与磁化强度的数值之比。因为表示同一物理量时，如果使用的单位大小不同，其数值也必然不同。所以同一材料的绝对磁导率在不同单位制中有不同的值。
由(6)式可知，国际单位制中有：
(9)
由(7)式可知，在电磁单位制中有：
(10)
如果把真空当作一种特殊的磁性材料，在磁场作用下不产生磁化强度M，所以（2）式可写成
(11)
由上式不难看出：
(12)
所以，把μ0称为国际单位制中的真空绝对磁导率，它的单位是H/m。
由(9)式可写出：
(13)
所以文献[3]把相对磁导率μ定义为物质的绝对磁导率与真空绝对磁导率之比。
一般所说的磁导率均指相对磁导率，在电磁单位制中μ0=1，μ绝=μ，所以用不着区分绝对磁导率和相对磁导率。
文献[3]在第90页又给绝对磁导率这样下定义：“磁感应强度与磁场强度之比，称为磁导率，也称绝对磁导率或磁导系数。”
我们认为这个定义有问题。因为矢量包含数值、单位和方向，两个同方向矢量之比也应是它们的量值之比。而B与H的量值之比正好是相对磁导率，而非绝对磁导率。
另外，文献[4]在国际单位制中强调指出：“相对磁导率μ不等于B～H曲线的斜率，而是曲线上某点与原点的连线的斜率。”我们认为这种说法不够准确。应该说相对磁导率μ等于B～H曲线上某点与原点的连线的斜率除以μ0。如果不除以μ0，恰恰就是等于绝对磁导率而不是相对磁导率。
开始处于磁中性化状态的磁性材料，如果在正弦磁场H作用下均匀磁化，产生的磁通密度B随时间也作正弦变化。那么B就落后于H一个相角δ。磁滞回线成为一个椭圆，H和B可表示为：
(14)
(15)
磁导率也成为一个复数：
(16)
式中，它等于磁通密度与磁场强度同相位的分量与磁场强度矢量的幅值之比，可以称其为弹性磁导率。，它等于磁通密度落后于磁场强度π/2的分量与磁场强度的幅值之比，可称它为粘滞磁导率。，可称为幅度磁导率。、和的关系为：
(17)
本文不引入复数电感的概念，提到电感均指的是纯电感。对L的贡献是，软磁材料的磁导率，如果不加特殊说明，均指的是交流起始磁导率的。实际上软磁铁氧体在它的应用频率范围内，它们运行时的磁滞回线绝大部分是可以按椭圆处理的。
2.3计算磁导率的有关公式
测量软磁材料的磁导率μ，多是把材料做成截面积为矩形的圆环，在其上均匀绕上测试线圈，用电感测量仪器测出其电感量L，用L计算出材料的磁导率μ。样环如图1所示，一般要求其内径为外径的0.6倍，高为内径的0.5倍。
根据环形螺线管在轴线上产生的磁场为H=0.4πnI，当环形磁芯绕上线圈通上磁化电流I时产生的磁通密度B应为H 的μ倍，即
(18)
线圈的总磁通量为
(19)
式中，N为匝数，n为单位长度上的匝数。
线圈的电感量为L，
(20)
把代入上式得：
(21)
式中，为磁路长度，A为磁心的截面积。
根据(21)式得到
(22)
式中如果采用平均磁路长度，A采用环的几何截面积计算出的磁导率称为环磁导率，它近似等于材料的磁导率，内、外径之比越趋近于1，越接近材料的磁导率。环磁导率的计算公式可改写为：
(23)
或 (24)
(24)式等同于(23)式。有时量磁芯内径d不方便，可量壁厚a用(24)式计算。两式计算值都略偏高于材料磁导率。
在实际测量时，测试线圈虽然可以均匀绕在环形样品上，但是在环的内壁线匝分布最密，沿着半径向外延伸，匝数就越来越稀。这就是说，环的内层n值大，H强，外层n小，H要弱些，μ值不变也造成环的内层B要高于外层B，也就是说磁化是不均匀的。为了消除这种磁化不均匀的影响，可把样环设想为是由许多高为h壁厚为dr的薄壁环套在一起而构成的。根据（21）式写出壁厚为dr的薄壁环所产生的电感量为：
(25)
用(25)式从内半径到外半径对r进行积分，就得到整个样环使线圈产生的电感量为：
(26)
式中，R为环的外半径，r为内半径；D为外直径，d为内直径。
由(26)式得到：
(27)
把上式的自然对数换为常用对数得：
(28)
如果在测量时，所加的磁化场H的不均匀性还不足以破坏样环内部的各点磁导率的一致性，那么，（27）和（28）式就是计算磁导率的精确公式。
对于磁路闭合的非环形测试样品，可用下式计算磁导率：
(29)
式中：和Ae分别为闭路磁心的有效磁路长度和有效面积。
3起始磁导率测量中常碰到的一些问题
3.1 测试条件
材料磁导率μ随磁化场H的增加而变化，μ-H曲线如图2所示。在H很低时，μ随H的增大几乎不变，这时的磁导率称为起始磁导率μi，随着H的继续增大μ很快上升，达到峰值μm后，又开始随着H的增加而下降。为了叙述方便，我们把起始区之外的磁导率也称为振幅磁导率。
由图2可知，在起始部分，H的大小有点不同时，测的都是起始磁导率μi；在非起始区，不同的H就测得不同的μ值。所以，测起始磁导率必须把测试磁场限制在很小的范围内。一般来说，把H限制在1mOe左右，即能测得起始磁导率μi。但是调节测试磁场H很不方便，一般测试仪器都是控制测试电压方便，所以有关标准规定测起始磁导率时要把材料的磁通密度峰值控制在Bm≤2.5GS。
如前所述，在测试过程中，样环的磁化是不均匀的。为此。人们设想了一个理想的环，这个环在磁化时能均匀磁化，磁环各点的磁化场和磁通密度都相等，而且在这个理想环上的磁通量，在安匝数相同时与待测样环上的磁通量是相等的。这个理想环应具有的磁路长度称为样环的有效磁路长度，该理想环应具有的截面积称为有效截面积。理想环应具有的体积叫有效体积。对于截面为矩形的环形磁芯，其有效磁路长度用下式计算：
(30)
其有效截面积为：
(31)
在正弦形测试信号的条件下，待测样环上测试线圈两端的施加电压可用下式计算：
(32)
式中，f为测试频率，N为测试线圈匝数，Ae为磁芯的有效截面积，Bm为试样的有效磁通密度峰值，测起始磁导率时Bm限取2.5Gs或更低值。
3.2 不同的测试仪器可造成测试结果悬殊
测试电感的仪器众多，如果把样环绕好在不同仪器上测出电感L，用（28）式算出磁导率μ，其结果相差可达50%以上。表1是作者在φ18×8×5的一个高μ环上绕20匝，用不同仪器在室温测得的磁环μ值实验结果。
样环的实际尺寸为φ17.92×7.56×4.88。用(30)式算得其=3.546cm，Ae=0.2377cm2。按有效磁通密度规定Bm=2.5Gs，绕20匝在10kHz测量时应加电压U=5.28mV。从表一中的测试结果看，样环的起始磁导率μi应为14000多，用4225，401和2810电桥却测出磁导率在两万以上。这是因为它们的测试电压太高，都在250mV以上，而无法把磁通密度控制在2.5Gs左右，所以测得的磁导率都非起始磁导率。在10kHz和10mV测量时，磁通密度就很接近2.5Gs了。例如，4284A开路测试电压为10mV时，样环测试线圈两端的电压实为6.46mV。按5.28mV产生2.5Gs的磁通密度计算，6.46mV产生的磁通密度为3.06Gs。所以用ZL5、1061和4284A在10kHz和10mV测出的结果可以算是起始磁导率μi，结果都是14000多。
由表1测试结果看，用低频LCR电桥很难测出材料起始磁导率μi。根据（32）式可知，如果想用低频电桥测试起始磁导率，只有增大NfAe之乘积，使需要的测试电压尽量接近电桥的测试电压。有时对于同一种材料，做成的样环尺寸大小不同，或同一个样环绕不同的匝数用低频电桥测试磁导率μ，则其结果相差很远的现象是很容易理解的。因为匝数N越大，有效截面积Ae越大，测试的μ值就越低，越靠近起始磁导率μi。从理论上讲，用增加匝数N的办法总可以测出起始磁导率μi。但是，匝数过多可能会产生较大的分布电容，这又会给测量带来新的问题，后文将讨论这一问题。
3.3 减落现象和磁性冲击对μi的影响
软磁铁氧体材料烧成产品降温到居里温度以下就具有了软磁特性，而磁导率μ是其主要磁参数。出炉后，磁芯的磁导率μ随时间增加而从快速到慢速下降，直至趋于稳定，这称为老化（时效）现象。老化现象是不可逆的。为了使磁芯μ稳定，将其放一段时间再用即可。另外，经长期放置后，μ趋于稳定的软磁材料，经交流磁场退磁后，μ值立刻有较大的升高，而后又随时间作指数规律下降，漫漫趋于稳定，这是减落现象。减落现象是材料的本性，无法消除，并且可逆。一般认为，MnZn铁氧体材料的减落现象是因为材料中有Fe2+和阳离子空位并存造成的。对于减落，从表面看，是描述μ随时间而下降这种不稳定性的一个参数。但是其本质应反过来理解，减落是软磁材料经交流退磁过程后，其磁导率会临时升高的现象。实验表明，不单是交流退磁可使μ冲高又下降，材料受一定强度的交流或直流磁场冲击后，其μ值也可能发生极大的变化。表2列出对3只不同成分的MnZn铁氧体磁环进行磁场冲击实验结果。样环尺寸基本为φ25×15×7.5。测试仪器为Agilent 4284A，测试条件为10kHz和10mV，测试线圈为20匝，温度为25℃。
由表2中的实验结果可以看出直流冲击对起始磁导率的测量影响，对不同材料影响程度差别很大。对某种材料，经直流冲击后μ值略有升高，对另外一种材料，就大幅度降低。软磁材料被单向磁化到饱和，去掉磁化场后应处于剩磁状态，这时测起始磁导率实际上磁通密度B不是以“0”点为基础，而是在Br的基础上随测试磁场变化。所以经直流冲击后实际上测得的是剩余磁导率。剩余磁导率理应低于起始磁导率。但当其Br很小时，剩余磁导率就显示不出来，冲击反而会使μ升高。
由表2还可以看出，软磁铁氧体材料经交流磁场冲击后，起始磁导率会有不同程度的暂时升高，而减落因数越大的材料受交流冲击后，磁导率升高的幅度越大。在对功率铁氧体材料检测时，先测磁导率μi，再测功耗Pcv，测完Pcv再测μi时，测得的μi比开始测得的μi值就会大幅度提高。这就是因为测Pcv时材料受到较强的交流冲击造成的。当然，开始先测的μi才是功率材料的起始磁导率。
3.4 恒压测量和恒流测量
如果要测量材料的振幅磁导率，应标明测试频率及被测试样品的有效磁通密度Bm或测试用的有效磁场强度峰值Hm。一般电桥测磁导率只能在很低的两个或三个固定频率测量，测量用的电压也无法调整，所以一般测得的都是振幅磁导率，测试磁场和磁通密度也无法确定。这就需要说明使用的是什么仪器和测试频率。如果是使用可提供B≤2.5Gs测试条件的仪器所测的起始磁导率，就只说明测试频率就行了。
Agilent 4284A精密LCR测量仪是目前比较高档的仪器，用它测量电感时，频率、电流或电压都可以根据需要而设定，其中电压设定可分为开路电压设定或测试时待测件两端施加电压的设定。一般测电感的电桥是无法保证测量时待测件两端所施加电压的。用好的测量仪器，并不能保证测出的磁导率就一定是起始磁导率。特别是测μ～f曲线时，在频率很低时测得的μ值很可能是非起始磁导率。如果要求严格按规定的频率和磁通密度测量μ值，就应该对各频率测试点加电压进行计算，测量时把待测件两端的电压Um设定在计算出的测试电压值上。如果只是测起始磁导率，Bm在2.5Gs以下就行，那只要把开路电压设为计算值就行了，因为待测件两端的电压总是或多或少的低于开路端电压。
如果想严格测量磁导率μi随频率的变化，最好使用恒流测量，即把待测件的磁化电流设定不变，磁化场强度就不随频率而变。这样测得的磁谱曲线才能真实的代表μ随f的变化实况。表3是我们的实验数据。样品用φ24.72×14.94×8.1的宽频高μ磁环。使用仪器为Agilent 4284A。
该样环的Ae用（31）式算得为0.3878cm2，用（30）式算得为5.974cm。表3中待测元件上的测试电流有效值设定为100μA时，其峰值Im=141.4μA，测试线圈N为6Ts，算得测试磁场峰值Hm=0.4πNIm/=1.785×10-4Oe。在100kHz测得的μ值为最高（11995），测试时样品的磁通密度峰值应为1.785×10-4×11995=2.14Gs。由此可知，用100μA恒流测得的μ值可算是起始磁导率了。使待测元件两端电压Um恒定为10mV测量时，N为20Ts，在10kHz测量时推算出样品的有效磁通密度峰值是2.9Gs，已经很接近2.5Gs，也基本算是测的起始磁导率。当频率降到0.1kHz测量时Bm值为290Gs，这时测得的是非起始磁导率，所以明显μ值偏高，达13200。当开路电压设定为10mV，N为20Ts在10kHz测量时，样品两端的电压Um实为4.29mV，推算出Bm为1.245Gs，所以测得的μ值也是起始磁导率，与恒流测得的值相符。由以上数据可知，在待测元件两端电压恒定的条件下，测μ～f是不准确的，用恒流法才能测出μ值随f的真实变化规律。
3.5分布电容的影响
用绕线测电感算磁导率时，当绕线匝数过多，引线过长或测试频率太高时，线匝之间或引线之间的分布电容对测试结果的影响是非常大的。分布电容的影响相当于给电感线圈并联一个电容器C0，其等效电路如图3所示。
图中Ls和Rs分别为待测线圈的串联等效电感和电阻。我们设图3电路的等效阻抗为，则有：

令感抗，容抗
则 (33)
由(33)式得到：
(34)
由上式可知，用仪器测得的等效感抗χe为：
(35)
测得等效电感
(36)
把（36）式的分子分母同时除以χc2，再令χc→∞，就得到频率趋于0时的Le值：
(37)
(37)式意味着在频率很低时测出的Le可看成是待测电感器的串联等效电感值Ls。
由(36)式可知，当Rs→0时得
(38)
上式告诉我们，随着频率的升高，χc从大变小，χL从小变大（在材料的μ值未陡降之前），当χL=χc时，Le趋于无穷大；χc＜χL后，Le变为负值，电路阻抗变为容性。
当Rs的影响不可忽略时，由（36）式分析，低频时Rs很小，Le随着（XL-XC）的差值减小而上升，当频率升高到一定范围时，Rs增大使得分母以Rs2为主，而（XL-XC）2起的作用越来越小。而分子上的Rs2也随着频率的升高而迅速增大，所以会造成Le随着频率的升高又下降。
当χLχc（χc-χL）=Rs2χc时，Le降为0。
当χLχc（χc-χL）＜Rs2χc时，Le又变为负值。
由于Rs不可能为0，所以Le随着频率的变化不可能趋于无穷大，不是从正无穷大突然跳到负无穷大。实际上是在由正变负之前出现一个与Rs有密切关系的极大值。表3中用1.5m引线把样环接在4284A上设定磁化电流Im=100μA时，测得的数据证明上述理论的正确性。
表4列出一个真实电感器的测试数据，客户要求用PC40材料作成EC42磁心，绕线100Ts，加开路电压1V，测L-f曲线，测试数据见表4。
在表4的测量数据中，频率低时测试样品的磁通密度较高，有1300多Gs，所以电感L也比较高。随着测试频率的升高，测试磁通密度减小，磁导率降低，所以L随着频率升高而降低。当测试频率升高到60kHZ以上时，分布电容的影响起了巨大的作用，在83.3kHz时L达到极大值，在96kHz时变为负电感。这个变化规律与（36）式指明的规律完全符合。这就告诉我们，绕制匝数比较多的电感器，它的电感或阻抗不完全决定于磁芯材料的性能。在高频时，绕组的分布电容起了决定性的作用。此时用测得的L值来计算材料磁导率是无任何意义的。如表4中，在83.3kHz测得的μe值达22483是绝对不能代表材料的磁导率的。
4结论
数值方程只表示各有关物理量的单位特定后，它们之间的数值关系。绝对磁导率只表示在某种单位制中磁通密度与磁化强度的数值之比。相对磁导率实质上表示磁通密度与磁化强度的量值之比，它与使用什么单位制无关。
用绕线法测磁导率μ时，如果使用仪器、绕组匝数、