1 引言
在开关电源变压器的设计中，初级电感量L1是个非常重要的参数。当磁心选定后，L1与初级绕组的匝数N1的平方成正比，另外还与磁心的磁导率μ成正比，当 被定下来以后，L1就决定于磁心的磁导率了。在初级电流从零开始上升的过程中，磁心材料的振幅磁导率μa和可逆磁导率μr都随着安匝数的升高而有较大的变化，这就造成L1的不稳定。为此，开关电源变压器磁心需开一定量的气隙来承受较大的安匝数。也就是说，磁心被开一定量的气隙后，在一定的安匝数范围内，磁心的有效可逆磁导率，增量磁导率和振幅磁导率都趋于起始磁导率了，不再随着初级电流的升高而变化。L1也稳定，初级电流的上升速度也就稳定了。另外，磁心开气隙后的有效磁导率μe比磁心材料的磁导率有所降低，气隙越大，有效磁导率越低。μe过低需要初级绕组匝数N1增大，造成线包体积增大。当L1、N1及磁心Ae和le定下来后，μe就是个定值，不可随意改变了。开气隙的直接要求就是要把磁心的有效磁导率μe降到设定的值。
到底气隙量该开多大可以得到设定的μe值呢？各种资料，众说纷纭，给出的有关气隙量的计算公式也是五花八门，使读者无所适从。本文对现已广为流传的众多计算气隙量的公式进行分析讨论，试图判断它们的正确与否。由于很多资料习惯于突然给出计算气隙量的公式，既没推导过程，又没注明来源，我们也就无法弄清最初是何人给出的，也只能根据公式本身分析它的正确与否。
2 关于诸资料给出的气隙量计算公式
  文献［1］给出两个计算公式：
 (1)
式中，le——磁心的有效磁路长度。
           μ——磁心材料的起始磁导率。
          μe——开气隙后要求的磁心有效磁导率。
     (cm) (2)
式中：L1——初级绕组的电感量（H）
            AL——磁心无气隙时的电感因数（nH/N2）
            Ae——磁心的有效截面积（cm2）
文献［2］收集有四个计算公式是：
 (3)
 (4)
 (5)
 (6)
式中单位为：B(Gs)，lg(cm)，Ip(A)，AL(nH/N2)，Lp(μH)，Ae(cm2)
文献［3］给出的计算公式为：
      (cm) (7)
式中单位：Se(cm2)，Lp1(H)，Ip1(A)，Bm(T)
文献［4］在331页给出：
 (8)
式中单位：lg(mm)，Ae(mm2)，μr(4π×10-7)，LP(mH)
在337页又给出一个公式为：
 (9)
式中单位：lg(mm)，Ae(cm2)，B(Gs)，Lp(H)，IPK(A)。
文献［5］给出的计算公式为：
    (cm) (10)
式中单位：Ae(cm2)，LP(H)。
以上公式中，Ae和Se为磁心的有效截面积，le和lc为有效磁路长度，LP和LP1为开关电源变压器的初级绕组电感量，IP、IP1和IPK都代表初级电流的峰值，Bm和ΔBm为磁心的工作磁通密度峰值，AL为磁心不开气隙时的电感因数，μ为磁心材料的磁导率，N1和NP为初级绕组匝数。
3 对气隙量计算公式的推导和分析
由于气隙量的计算公式繁多，我们不能武断的说出谁是谁非，只有通过理论推导，才能分辨出某个计算公式的正确与否。下面我们从磁路定律出发，推出气隙定律，从气隙定律导出气隙量的计算公式。
为了简便起见，在推导过程中所涉及到的各物理量的单位，除特殊说明外，均采用国际单位制中的基本单位。
根据闭合磁路的磁路定律：
 (11)
式中，φ为磁心截面上的磁通量。
磁通势     N为匝数，I为电流
磁阻   (12)
在(12)式中，如果磁心各段都是由一种材料组成的，μ即为该材料的磁导率。如果磁心各段是由两种或两种以上磁导率不同的材料组成，μ就由磁心的有效磁导率μe取代。磁心开气隙后，把气隙看成是相对磁导率等于1的特殊磁性材料，所以把磁心开气隙后的磁导率也称为有效磁导率 μe。
另外需强调指出，具有闭合磁路的磁心常数C1、C2及其有效磁路参数Ae、le和Ve，它们是由磁心的大小和形状决定的结构参数，与磁心的材料参数μ或Bm等无关。所以磁心开个小气隙后只能使磁路的磁阻增加。而不会使磁心的有效磁路长度变化。
设磁心是由磁导率为μ的同一种材料组成，磁心的有效磁路长度为le，有效截面积为Ae，开的气隙量为lg，开气隙后磁心剩余部分的磁路长度为lc，磁心开气隙处的截面积为AB。于是根据磁路定律可以写出开气隙后磁路的总磁阻rm：
 (13)
(11)式可写成
 (14)
设AB=KAe，并把lc=le-lg代入(13)式可得：
 (15)
把(15)式代入(14)式得到
 (16)
设开气隙后磁心的有效磁导率为μe，磁路定律写成：
 (17)
由(17)式与(16)式相比较可导出：
 (18)
(18)式表示出磁心开气隙后的有效磁导率μe与磁心材料的磁导率μ之间的关系。如果磁导率μ-K，开气隙处的磁心截面积AB又非常接近磁心的有效截面积Ae，使K≈1，(18)式可写成：
 (19)
(19)式即为经常使用的气隙定律
在实际应用中，一般情况下μ-K这个条件是能满足的，所以(18)式中的(μ-K)用μ取代，再解出lg：
 (20)
(20)式适用于各段磁路横截面积差别比较大的磁心气隙量计算。如果磁路各段截面积非常接近，K可当作1处理，于是从（19）式解出：
 (21)
(21)式既为(1)式。
根据磁导率的计算公式
        L为开气隙之前的电感量
      Le为开气隙后的电感量
把μ和μe代入(21)式，并把Ae的单位化为cm2，le的单位用cm，Le的单位用H，电感因数的单位用nH/N2，整理后就得到
 (22)
(22)式就是(2)式，(22)式中的Le单位若改为μH，(22)式就应改写成(5)式。
在le的单位用cm，Ae单位用cm2，电感单位用nH的条件下磁导率的计算公式为

所以 (23)
(22)式中的Le若改用nH，则(22)式可写成：
 (24)
把(23)式代入(24)式得
 (25)
若上式中的Le改用
 (26)
由(26)式与(4)式相比较，(4)式中的 若代表有效磁路长度，它实际上就是(26)式。
文献［2］在解释（4）式时，引入了一个磁心开气隙后磁路有效长度le的计算公式：
 (27)
式中：lc是磁心磁路长度。
            μr是相对磁导率。
原作者从（27）式出发，最后证明说（4）式与（5）式是一致的。关于（27）式，文献［3］也给出一个同样的公式，并指出：如果在磁心通路中开一个气隙，将建立起一个有气隙的磁路，它会改变磁路的有效长度。因为空气隙的磁导率为1，所以磁路长度Le为：
 (28)
式中，li——磁性材料的磁路长度
    lg——空气隙的磁路长度
           μi——磁性材料的磁导率
原作者对（28）式的解释使人看不懂。有效磁路长度le原本是磁路的结构参数，它与磁路本身的材料参数无关，在（28）式中le与材料的磁导率μi的关系非常之大，这使人非常难以理解。
关于（28）式或（27）式的最初来历，我们无法考证。既然有不少人在引用它，推广它，这就引起了我们对（27）式进行考察的兴趣，我们试图从理论上来否定它。
我们根据磁路定律推出了开气隙后磁路的总磁阻rm如（13）式所示。在（13）式中，如果气隙的截面积与磁心的有效截面积Ae相等，则（13）式变成：
 (29)
不开气隙时的磁阻应为：
 (30)
比较(29)式和(30)式得出
 (31)
通过以上推导，好像证明了(27)式的正确性。其实不然，只是推演一下（27）式的来源。在（31）式的推导过程中犯了一个错误，即把开气隙前后的磁阻都用rm代表，所以就由（29）式与（30）式相等得出（31）式。实际上开气隙前后的磁阻是绝对不会相等的，所以（29）式和（30）式也就不能相等，得出的（31）式是绝对错了的。文献［2］能用（27）式推出（4）来，其推导过程中是出了错误的。
现在考察(8)式的来历。对于(1)式，当μ-μe时可用μ代替(μ-μe)，于是(1)式就可写成：
 (32)
根据μe的计算公式
 (33)
把(33)式代入(32)式得到
 (34)
(34)式是使用国际单位制的基础单位推导出来的。但是如果同时把式中lg的单位换成mm，Ae换成mm2，Le换成mH，(34)式仍成立，即变成了(8)式。
现在对(9)式进行考证。众所周知，电感L通上电流I后，电感器的储存能量为：
 (35)
磁介质被电流的磁场H磁化后，磁介质中的磁能密度为1/2BH，若均匀磁化，磁介质的体积为V，则电流I在磁介质中的总储能为
 (36)
对于闭合磁心，内圈与外圈部分之磁路长度是不一样长的，考虑到这一误差，磁心的尺寸使用有效参数，磁场H也使用有效尺寸计算值。（36）式可写成：
 (37)
对于变压器磁心来说，初级电流从0升到IP，B同时从0升到Bm时，在初级绕组电感LP中储存的能量也就是磁心中储存的能量，比较（35）与（37）式可得：
 (38)
式中Ve也可能由两种磁导率不同的材料构成，空气隙也可以看成一种相对磁导率等于1的磁性材料。He是由磁化电流IP产生的磁化场。He与Bm的关系是：
 (39)
式中：μ0＝4π×10-7   H/m
            μe是开气隙后磁心的有效磁导率。
把（39）式代入（38）式得：
 (40)
如前所述，在μ-μe的条件下(32)式成立，把(320式代入(40)式得
 (41)
由(41)式可导出：
 (42)
如果（42）式中，LP单位仍用H，IP单位仍用A，lg的单位换为cm，Bm换用Gs，Ae换用cm2，(42)式可改写成
 (43)
(43)式就是(9)式。可见(9) 式仍来源于(1)式近似的结果。
文献［4］推导（9）式时从气隙储能开始，认为磁心开气隙后能量是储存在气隙中。于是认为气隙中的磁能密度乘以气隙的体积就等于初级电感LP储存的能量。我们认为，说能量储存在气隙中是不正确的，能量仍然应储存在包括气隙在内的整个磁心中，气隙中的磁能密度仍然与磁性材料中的磁能密度相等，应为，而不是因为气隙中的磁场H它由两部分组成，一部分是由安匝数NI直接产生的磁场He，另一部分仍然是磁心的磁化强度M所引起的散磁场H′。H′是B的组成部分，而不是电流I直接产生的磁场，所有气隙中的磁能密度只能是，而不是。从（41）式的推导过程中可以看到，le与le约掉后才得到（41）式右端，虽然（41）式右端含有Aele因子恰好代表气隙体积，但不代表气隙中的磁能密度，另外，如果真的代表气隙中的磁能密度，那么(41)式就不是近似公式，是个准确公式，由(41)式导出的(42)式也应是个准确公式。事实上(42)式是在μ-μe的条件下近似得来，用它计算气隙与μ无关了。如果（42）式是绝对成立的，我们就可以得出气隙量与磁心材料磁导率μ绝对无关的错误结论。这就反证了磁心开气隙后能量储存在气隙中的结论是不正确的。
关于式（7），与（9）式没有本质的差别，只是Bm的单位用T而不是Gs。
把(9)式中的LP单位改用μH，(9)式就变成(6)式。
(3)式与(6)式相比较，明显的错误是少了个102因子，而且把ΔBm2写成了ΔBm。
把μ0＝4π×10-7代入(34)式，就可得到(10)式。(10)式和(8)式可看作同一个公式。
在实际应用中，有时线圈都已绕好密封，匝数N也不知，只指定用的磁心材料和型号，要求开气隙，把初级绕组的电感量降到指定值。这时可用下式计算气隙量：
 (44)
式中：le为磁心的有效磁路长度。
            Le为开气隙后要求的电感量。
           L为气隙量为零时的电感量。
          μ为磁心材料的磁导率。
值得注意的一点是，使用(2)、(5)和(44)式时，式中的AL和L应是无气隙时的电感因数和电感量，当磁心是由两部分对在一起组成时，测出的AL或L值都比绝对无气隙时降低30％左右。如果计算lg使用的是由两部分组成的磁心没开气隙时的AL或L，其计算值要比真正需要的lg值偏小一些。
4 结论
(1)磁心气隙量计算公式的理论根据是磁路定律，而不是气隙中储能的理论。
(2)当气隙的截面积AB与磁心有效截面积Ae有明显差异时应使用(20)式计算气隙量。
(3)当开气隙处的磁心截面积AB与磁心的有效截面积近似相等时，可使用(1)、(2)、(4)、(5)或(44)式计算气隙量。
(4)当磁心磁导率μ远大于开气隙后要求的有效磁导率μe时，才可使用(7)、(8)、(9)、(10)和(32)式计算气隙量。
5 实例计算比较
文献［4］在333页“计算变压器的另一种方法”中举一反激式变压器的设计实例。例中算出初级电流峰值IPK=1.44(A)，初级电感LP=2.25(mH)，磁心材料的工作磁通密度Bm设定为1950Gs，变压器磁心选定为EE42，其Ae=1.82cm，le=9.7cm。原作者用(9)式计算磁心气隙量：

根据      可导出

由计算可知，该例中，若保持工作Bm为0.195T，必须把初级绕组匝数定为91.3Ts。
根据匝数和初级电感可计算出开气隙后的有效磁导率μe:

式中：电感LP的单位用nH，有效磁路长度用cm，有效截面积Ae用cm2。
通过对μe的计算可知，磁心材料的磁导率μ必须大于114.5才行，否则，不开气隙LP也达不到要求的2.25mH。
假定磁心材料的磁导率μ=400，磁路截面积是均匀的，即AB=Ae。则可用(1)式计算气隙量：

如果材料的磁导率μ=2500，再把μ代入(1)式计算气隙量lg：

通过以上计算lg的值，验证了公式(9)就是公式(1)的近似结果。

参考文献
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