（5）
            （6）
                             （7）
由于，直流输出电压，则将式（4）~（7）代入式（1）即得到PWM整流器的EL模型
                          （8）
式中θ=[ia， ib， ic， v0]T，Q(e)=[ea  eb  ec  0]T，

，，

  。
在本文以下的论述中，δk代表各对应的连续的占空比函数，θ为系统平均状态向量。
1.2.2 整流器在二相同步坐标系(d-q)的EL模型
将式（8）进行Park变换得到PWM整流器在二相同步坐标系（d-q）中的EL模型的表达式
                      （9）
式中x=[x1， x2， x3]T=[id， iq， v0]T，

，，

，。
占空比函数u=[ud， uq]T为控制输入向量，其中包含了δk（k=a， b， c）。
同样由系统（9）得到系统在二相同步坐标系（d-q）下的等效电路图，如图2所示。
不难分析，三相电压型PWM整流器系统为非最小相系统，则在设计系统控制器时需要考虑控制算法的可行性。

图2  d-q坐标系下三相电压型PWM整流器
2 整流器控制系统的无源控制策略
2.1 无源控制
无源控制通过调整能量函数和耗散函数使系统闭环无源并且其能量函数在期望工作点最小，从而达到使系统稳定的目的。整流器总能量即为系统能量函数HT+v=(1/2)·xTMx，系统期望的能量增量函数为
                      （10）
式中x-xd，向量xd为坐标向量x的期望值。由此可以得到系统的误差动态方程
              （11）
式中Ψ为扰动量，Rd=R+R1，矩阵R1(>0)即为加入的阻尼矩阵。则期望的耗散增量函数
            。
当扰动量Ψ为零时，可以得到系统在无扰动时的误差动态方程
                 （12）
根据式（12）对系统期望的能量增量函数求导
          
式中amin(rij)/max(mkp)，rij∈Rd，mkp∈M， i， j， k， p=1， …， n。由此，式（12）为指数收敛稳定，即当时，系统指数渐进稳定。
又由式（3）、（11）得到Ψ的表达式
ΨKe-[M+J(u)xd+Rxd-R1]            （13）
所以使系统渐进稳定需有如下表达式
M+J(u)xd+Rxd-R1=Ke                 （14）
所以求解（14）得到系统PWM占空比函数u的表达式即为系统的无源算法控制律。
可以看出无源控制算法最大的优点是，它能保证闭环系统的渐进稳定，并且设计过程中省去了寻找Lyapunov函数的过程，系统本身已经提供了该函数，从而简化了控制器的设计过程。
2.2 系统控制的约束条件
由系统（9）可以看出，实现单位功率因数和直流输出电压的控制即为：
1）x1（id）趋近一个能计算出来的定常数x1d（Id）；
2）使x2（iq）为零（x2d）（因为在三相平衡输入的条件下，q轴的输入电压eq为零）；
3）x3(v0)跟踪直流给定输入vd(x3d)，即使x3(v0)的直流分量等于Vd(x3d)。
假设系统输入的有功能量与系统的输出能量是守恒的，则由图2可得，在系统稳态情况下，即id(x1)=Id(x1d)，iq(x2)=0(x2d)，v0(x3)=Vd(x3d)有
IPpower=(EmId-R)                      （15）
OPpower=/RL                                           （16）
式中IPpower为系统输入的有功功率，OPpower为系统输出功率。
令IPpower=OPpower即可得到
                      （17）
求解式（17）得
    （18）
式（18）说明，对于系统如式（9），要使系统达到可控稳态：id(x1)=Id(x1d)，iq(x2)=0(x2d)，v0(x3)=Vd(x3d)，系统的增益必须满足的条件为
                            （19）
2.3 无源控制器的设计
根据d-q坐标系中的EL模型，单位功率因数和直流输出电压的控制是一个设定点控制问题[3]。系统（9）定义了一个能量方程为的无源映射：。定义系统闭环能量增量方程
              （20）
式中xi-xid，i=1，2，3。
定义一个加入了阻尼的辅助设计系统

（21）
式中R1，R2，为加入的阻尼参数，将式（9）减去式（21）~（23）得到系统误差动态方程

      （22）
将能量增量方程（20）对时间求导，由连接矩阵斜对称性可得

            （23）
将式（23）化简得

式中，a2min{R+R1，R+R2，+}/max{L，C}，则误差动态方程（22）都为渐进指数收敛→0，即x指数收敛到xd。
由此，求解式（21）得到占空比函数ud，uq解得表达式即为使系统渐进稳定的无源控制律，如图3所示。

图3  三相电压型PWM整流器的无源控制器
显然，从式（21）中可以得到两种无源控制算法，如式（24）、（25）。从实际系统能够实现的角度出发选择适当的无源控制算法。
2.3.1 直接控制算法

            （24）
2.3.2 间接控制算法

        （25）
式中
   （26）
由式（24）、（25）分别得到的零动态方程
           （27）
                 （28）
式（27）得到的两个平衡点中只有数值较小的平衡点是有物理意义（另一个电流平衡点由于数值太大，实际系统一般不会在该点长时间工作），但系统在该点是不稳定的。而式（28）的解x3d=Vd是系统有物理意义的稳定点，所以只有间接控制算法（25）是系统可行的无源控制算法。一般假设x3d(t)≥ε＞0，ε＞0。
理论上可以证明无源控制算法可以实现输出电压的零稳态误差。
由式（25）中第三式可得

     （29）
设，由式（17），上式或写成如下形式

            （30）
由于x1，x2分别指数收敛到Id和x3d，系数R1Id，是有界，为常数，所以，式（30）的解是有界的。
设，式（30）可写成

               （31）
同理，由于x1，x3分别指数收敛到Id和x3d，式（31）等式右边后面两项指数衰减，稳态时得到指数稳定的方程
                                （32）
所以稳态时，即，系统稳态直流输出电压零误差。
由式（32）得，理论上直流输出电压在x1d→Id，x2d→0的情况下能够零稳态误差的跟踪期望直流电压Vd。但是在实际系统中，式（25）的控制算法有以下的问题：
1）由于实际电路中的分布寄生参数以及测量器件的误差，使得式（25）的期望值Id会出现不可预测的偏差；
2）输出电压的跟踪速度是由直流侧的平波电容和直流负载决定的。在系统轻载时，输出电压收敛时间常数会很大，跟踪速度就会很慢；
3）对输出电压的控制是建立在d、q轴电流的理想的无差跟踪和直流侧负载已知的基础上，而这些条件在实际整流器系统中一般是比较难以同时实现的。
鉴于上述原因，需要设计一种强鲁棒性并输出电压跟踪速度可控的控制算法，参照文[10]，本文选择一个合适的PI控制器与无源控制器串联使用，即在d轴上串联一个PI控制器，输出电压x3与期望电压Vd的偏差作PI控制器的输入，d轴的期望电流x1d为输出，如图4所示。

图4  改进的无源控制策略
其中PI控制算法为
                    （33）
改进的无源算法增强了系统的鲁棒性并使输出电压跟踪速度可控，在文[10]还具体给出加入PI控制器后的系统稳定性和鲁棒性分析。
3 仿真实验
3.1 实验设计
利用Matlab中的电力电子工具箱对利用如下的控制算法的三相电压型PWM整流器系统进行仿真比较实验：
（1）双闭环电流解耦PI控制器，具体的控制算法与系统结构请参考文献[8]；
（2）一般型无源控制器，如图3；
（3）改进型无源控制器，如图4。
由图1，设定仿真参数为：R=0.1Ω，C=1μF，ea， b， c=100cos(ωt+2kπ/3)，k=0， 1， 2， L=1mH，直流电压期望值Vd=288V。
本文从三方面对以上的算法作仿真比较：系统的跟随特性、负载突变的抗扰性以及系统的功率因数。在实验中，电压给定由288V阶跃变为200V再回到288V，负载电阻由100Ω变为36Ω。
3.2 实验结果及分析
本文在上述的实验参数与设计的基础上做了三组仿真实验，结果见图5~7。

（a）稳态时a相的电流电压波形

（b）负载突变时输出响应
（c）给定突变时输出响应
图5  双闭环电流解耦PI控制系统动态响应
综合图5（a）、图6（a）、图7（a）看出系统a相电流与电压同相位，电流可近似为正弦波，系统功率因数接近1，但改进的无源控制器得到电流谐波成分相对于其他两种算法的电流谐波有明显减少。
比较三种算法的负载突变输出响应，由于无源算法中的输出的电压是不可控的，其收敛速度仅由系统固有时间常数决定，所以负载时输出电压的恢复时间明显比其它两种算法长。另外，两种无源算法的输出电压谐波成分明显比双闭环解耦PI算法要小，尤其是在负载变小的时间。三种算法对给定电压突变的抗扰性都比较好。相对来讲，利用改进的无源算法系统输出电压超调最小。
4 结论
本文讨论了利用无源控制理论解决三相电压型PWM整流器的单位功率因数和直流侧输出电压的控制问题。文章给出了整流器系统EL模型的一般动力学描述和无源算法的设计过程。在a-b-c坐标系下建立了物理意义明确的整流器EL模型，推导出d-q坐标系下的整流器EL模型。讨论了系统控制的约束条件并利用无源理论设计无源控制器，得到可行的动态控制器，理论上证明了加入控制器的闭环系统为输出零静态误差。通过用PI控制器与无源控制器串联使用，对直流输出电压进行动态控制，增加了对系统的鲁棒性，解耦了电流，保证了零稳态误差。仿真结果表明，改进的无源算法具有快速跟随、干扰性强、功率因数高等良好特性。

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