方程(1)可以改写成：

             (2)

同时，根据电磁感应定理，加在两个绕组上的电压V1 和 V2 可以由以下方程组表示：

                                  (3)

由 (2) 和 (3) 式，磁集成的自感和互感可由 (4) 式计算：

                             (4)

其中
；
μ 为磁心的初始磁导率，l 对应磁心柱长度，A 为对应磁心柱截而积。
从以上推导可以看出，磁集成最大问题是互感 M 的存在，它将使两相磁路磁链耦合，从而使 VRM 控制困难，工作特性相互影响。
2.2 脉冲函数模型
图 l 变换器拓扑在连续电流模式下工作时，每个开关周期有三个稳定工作模态，它们分别是：
(1)第一相上端开关管 Q1a 开通，下端开关 Q1b 关断，工作于储能状态；第二相上端开关管 Q2a 关断，下端开关管 Q2b 开通，工作于续流状态；
(2)第一、二相上端开关管 Q1a 和 Q2a 同时关断，下端开关管 Q1b 和 Q2b 同时导通，两相同时续流；
(3)第一相上端开关管 Q1a 关断，下端开关管 Qlb 导通，工作于续流状态；第二相上端开关管 Q2a 导通，下端开关管 Q2b 关断，工作于储能状态。
由上面分析可知，磁集成 VRM 在三个非线性系统间周期性的切换，为了建立变换器统一的建模，引入脉冲波形分段积分法。该建模方法特点是利用周期性脉冲函数将变换器在一个状态周期中的各个子拓扑统一成一个拓扑。因为研究对象是两输人系统，需要引入两个非连续的周期性互补的状态脉冲函数 f1(t) 和 f2(t)，如图 4 所示。

    图 4  变换器开关脉冲模型

根据上图，脉冲模型可以表示为：
             (5)
这里，nts≤t≤(n+1)ts，n=1，2，3，n…，Δt 为两相交错导通的延迟时间。此两个脉冲波形的取值在 0 和 1 之间交错跳变，代表实际 VRM 对应各相上端开关管的关断和开通，它们各自持续时间长短反映了各相的占空比大小，即反馈控制系统通过调节各相占空比 D 对 VRM 进行控制。
根据以上工作模态分析及脉冲波形函数，可以列出以下统一状态方程：

                     (6)

这里，取集成电感电流 i1、i2 和电容电压 UC 为系统的状态变量，Vin 是实际输入直流电压，它不具有可控性，自感 L1=L2=L；互感为 M。互感 M 的影响反映在式(6)中。
3 磁集成 VRM 微分几何非线性解耦控制
3.1 两输入两输出仿射非线性系统标准型
针对式(6)，选定目标输出方程为y1(t) 和 y2(t)，其中 y1(t) 为实际输出电压与设定目标电压的偏差，它表示通过反馈控制设计，使实际输出电压动态响应达到设定目标输出电压，用于反映 VRM 的动态和稳态特性；y2(t) 为两相电路的电感电流差值，它表示两相电流均流的目标函数，用于反映 VRM 输出均流特性。由此可将(6)写成一般的仿射非线性系统的标准形式如式(7)，式(7)中的状态方程和输出方程关于输入 ui(i=1， 2) 是线性的，而对状态 X 却是非线性的。

                    (7)

这里：

；

状态变量 X=[x1，x2，x3]T =[i1，i2，UC]T；控制变量 u1=fl(t)，u2=f2(t)，f(x) 和 gi(x)为三维函数向量；hi(x)为第 i 个输出函数向量；输入电压Vin=K。
3.2 坐标变换以及微分同胚验证
为了实现系统(7)状态反馈精确线性化的非线性解耦，首先必须验证该系统是否满足精确线性化的条件。先设定第一个坐标为：
Zi=y1(t)=h1(x)=x3-vREF                            (8)
选择第二坐标为：

          (9)

根据李导数的计算公式可以算出：
Lg1h1(x)=(0， 0， 1)·g1(x)=0                       (10)
Lg2h2(x)=(0， 0， 1)·g2(x)=0                       (11)
所以第二坐标可以写为：
                (12)
进一步选择第三个坐标是：
Z3=h2(X)=x1-x2                                                   (13)
因此可以设定坐标变换为：Z=Φ(x)=[Z1，Z2，Z3]T 现在验证 Φ(x) 是否在 X0 领域内为一个局部微分同胚，即 Φ(x) 是否是一个合格的坐标变换，能否利用该坐标变换实现非线性系统状态反馈精确线性化。下面将对坐标变换合格性和精确线性化条件进行验证：
已选择的坐标变换雅可比（Jacobi）矩阵为：

                  (14)

因为 JΦ 的行列式值为： ，行列式值不为零，即 JΦ 是非奇异的。因此根据局部微分同胚的命题[5]，Z=Φ(x)=[Z1，Z2，Z3]T为该 VRM 系统的一组合格坐标变换。坐标变换矩阵为：

     (15)

为了验证精确线性化条件，对所需李导数求解：
      (16)
Lfh2(x)=(1， -1， 0)f(x)=0                          (17)
             (18)
             (19)
根据 (16) 到 (19) 的结果和关系度的定义可知，系统关系度 r=r1+r2=n=1+2=3。同时：

  (20)

矩阵 B 在 x0 领域处是非奇异的，根据精确线性化的两个充分必要条件判据[6]，该磁集成 VRM 可以通过坐标映射实现非线性系统解耦和状态反馈精确线性化。下面将求解精确线性化后的状态规律。
3.3 仿射非线性第一标准型及控制规律的求解
以上证明了仿射非线性系统(7)的关系度 r 等于系统状态变量 X 的维数 n，即 r=n=3。非线性系统可通过坐标变换 Z=Φ(x)[Z1，Z2，Z3]T 变换为布鲁诺夫斯基（Brunovsky）第一标准型：
Z=AZ+Bv                                    (21)
现求解第一标准型的具体形式，系统(7)经过(15)坐标变换可变换为以下形式：
Z1=Z2

若令新的控制变量 v1 和 v2 为：

                     (22)
因此系统(7)坐标变化为布鲁诺夫斯基（Bnmovsky）第一标准型：

(23)
输出方程：
                                (24)
由(22)式可以得到状态控制规律表达式为：

           (25)

式(25)即为非线性系统(7)的控制规律表达式，它的数值反映了各相上端开关管的占空比的大小。只要求得布鲁诺夫斯基标准型线性系统(23)中的控制规律 v，即可确定原非线性系统的状态反馈控制规律 u，实现非线性系统精确线性化。对于线性系统的控制变量 v 的求解，完全可以利用现代线性系统控制理论得到。最为合理的途径是运用具有二次型性能指标的线性最优控制设计方法来得到。由线性最优控制理论，系统(23)的最优控制规律应为：

                                    (26)
式中，k1、k2 和 k3 是最优反馈增益系数。选择二次性能指标中的权矩阵 Q 为单位矩阵及权系数 Z=l 时，最优状态反馈表达式可写为：
                             (27)
其中P﹡为黎卡梯（Riccati）矩阵方程
ATP+PA-PBZ-1BTP+Q=0                       (28)
的解。可以求解最优控制规律为：
k1=1；k2=；k3=1                              (29)
因此，线性系统最优控制规律为：

                                     (30)
综合(15)、(25)和(30)的结果，可以对该磁集成 VRM 系统进行状态反馈精确线性化非线性解耦控制。
4 控制结果分析和实验
分析及实验磁集成 VRM 的主要参数为：输入电压 Vin=12V，输出电 V0=1.5V，输出满载电流 I0=40A，每相开关工作频率 f(s)=200kHz，自感 Ll=L2=0.80μH，互感M=0.11μH，输出滤波电容 C=470μF，实验控制器采用数字处理芯片（DSP）TMS320LF2812。
4.1 负载瞬态响应特性
设定了负载从满载（R=0.0375Ω）跳变至轻载（R=0.15Ω），再经过 20 毫秒负载又从轻载跳回到满载。图 5(a) 是 PI 控制策略下磁集成 VRM 的负载瞬态响应曲线；(b) 为非线性控制策略下磁集成 VRM 的负载瞬态响应曲线。
由图 5 结果可知，当负载发生突变时，非线性控制策略比 PI 调节器控制取得的瞬态特性具有更小的超调量，更快的响应速度，更小的调节时间。
图 6 是在非线性控制策略下，负载由轻载到满载的瞬态响应曲线。由于非线性控制对系统动态品质的优化，输出电压在负载大扰动条件下，能保持输出电压、电流在一两个周期后回到稳定状态，同时，保持较小的超调量和输出电压瞬态跌落。
图 7 和图 8 比较了基于两种控制策略下的输出电压动态实验波形。其中，图 7 为负载电流由满载 40A 阶跃突变到轻载 5A 的输出电压动态波形，图 8 为负载电流由轻载 5A 阶跃突变至满载 40A 的输出电压动态波形。可知实验结果与仿真结果一致，即非线性控制策略可以有效改善变换器动态性能。
4.2 稳态特性
图 9 所示为磁集成 VRM 在非线性控制下的稳态波形。图 10 给出了非线性控制下磁集成 VRM 一相上端开关管的电压和电感纹波电流实验波形。稳态实验结果表明，非线性控制磁集 VRM 具有良好的稳定特性，并实现各相均流控制。
5 结语
本文有以下研究结果：
(1)将微分几何非线性控制理论用于 VRM 中磁集成的磁路解耦控制中，得到很好的控制效果；
(2) 将微分几何非线性控制理论在 DC-DC 变换器中的应用推广到两输入两输出系统；
(3) 分析和实验验证微分几何非线性控制理论在 VRM 中应用可行性和良好前景。
由此通过微分几何理论的引入，将现代非线性控制理论应用于实际电力电子控制系统中，为电压调整模块的控制设计提供了一种新的发展思路。