1 引言
参数振荡的现象，在物理系统中是经常发生的，并早已被人们认知。Faraday，Melde和Lord Rayleigh等人发表了他们的观察结果并对有关原理作了计算。不久，参数振荡的现象被用一种简单的实验所证实，在该实验中，把一根细绳子的一端固定在一个笨重的调谐音叉的振动叉股上，调谐音叉引起该细绳子的拉力（张力）按一定的频率作周期性地变化，在这种情况下，该绳子会逐渐地稳定下来作持久的横向振荡，其振荡频率是音叉振动频率的一半。
类似地，在由电阻，电感和电容所组成的电路里，如果用某种方式使电感或电容以两倍该电路的自然频率作周期性的变化，则参数振荡就会发生直到建立起来。在没有限制组件或机构的情况下，该电路中电压和电流两者的幅值会持续地增加，直到电路中某个组件损坏为止。这类振荡一般可用二阶线性微分方程来描述。
方程的系数是Hills或Mathieu's型的周期性时变系数。实际系统中存在着某些非线性因素，可能使该振荡稳定在有限的稳定幅度上。在这种稳定状态，描述它的微分方程就变为非线性的并且包含着一项或好几项非线性因子。
对这类振荡现象采用（Parametric）这个述语，是为了强调这样的事实：它是由于电路参数的周期性的变化所引起的，并且，不同于亚谐波振荡——它需要外部以两倍频率来直接激励。
自二十世纪开始以来，参数激励的原理已在无线电频率通讯领域，后来在微波范围获得了广泛的应用。调制器，放大器和倍频器都是采用非线性电感制作出来了，而随着变容二极管的出现，参数激励的原理应用，已扩展到微波频率。
但是， 在电力频率范围，参数激励这个现象很少被用来制造有用的产品，实际电路参数的二倍频变化可以通过机械运动来实现，那么，最终的器件就是电机参数发生器。由Mandelstam和Papalex研制的多参数发生器，是由若干个位于固定底盘周围的线圈组成。这些线圈的电感是由旋转盘子的齿牙或槽缝周期性地通过来改变的。
用一个可饱和电感器来稳定振荡器的幅度，其输出大约是4kW 1000Hz。用电感变化来获得所需的二倍频的一种不同的方法，就是通过两个静态的磁芯电路之间的磁场发生相互作用。最后作成的器件则取名为“参数变压器”，因为它能通过参数激励把电能从一个电路变换到另一个电路里。Wanlass等人在文章里，介绍的参数变压器是用两个C型铁芯，彼此错开90°构成的；在文章中，他们根据这种参数变压器的独有特性，提出了一些可能的应用场合。本文就来论述该参数变压器的工作原理。
2 参数变压器
图1为参数功率变压器的铁芯和绕组布局图。两个铁芯在空间上彼此相对90°放置。两个绕组也是这样布局。因此，两个电路之间的互感实际上为零。一个电容跨接在次级绕组两引出端子。
在完全对称的情况下，在次级回路中，没有初级电流I1产生的磁通所耦合的磁链，但是，因为磁回路中的两个磁芯有公共部分，磁通Φ1就可能引起磁阻产生变化，从而，次级回路的电感就会发生变化。例如：如果初级电流增加，磁通Φ1就驱使磁芯的公共部分进入饱和，引起次级回路电感减少，反之亦然。因此，初级磁通以频率ω1作正弦周期变化，就可能在次级，以2ω1产生电感周期性地变化，这点，可参看图2就更容易理解了。
在图2中表示一条线性化的互感曲线和一条正弦变化的初级磁通。从图2看出，次级电感的相应变化——一个二倍频率的电感分量，叠加在平均电感Lo上。换句话说，初级磁通以二倍频率调制着次级电感。因此，次级电感在时间上的变化，可以写成下式：
L2(t)=Lo+L'cos2ω1t                                (1)
或者：
L2(t)=Lo(1+mcos2ω1t)                          (2)
这里：m为调制系数
m= L' / Lo                                       (3)
这是设计参数变压器的主要参数之一，也是该器件工作的主要参数之一。
1.1 原理
作为提出参数变压器工作原理的出发点，让我们先来研究图3的简单电路，这是由可变电感和调谐电容组成的，省去了电阻负载，用它来代表参数变压器的次级电路。
次级线圈中的磁通链定义为：
λ2=L2i2，电压方程是：
                            (4)
对此，按时间微分
                                (5)
现在对（L2(t)由方程(2)给出）作二项式展开，并假定：0<m<1，上述电路的电压方程可以写为：
                    (6)
式中　　
令：ω1t=Z，方程(6)可简化为：

这是标准的线性Mathieu's方程。方程中的系数a和q定义为：
                              (8)
关于方程(7)的可能解的完整讨论以及获得这些解的各种方法，超出了本文的范围，并且，也容易在别处找到。但是，关于这个方程解的稳定性，对现在的工作是很重要的。
在系数a和q的某些组合中，方程(7)对λ2的解是无边界增长的，因此是不稳定的，而在，a同q的其它组合中，方程解是稳定的并且保持着余量，图4的曲线图，对该方程的解作了最好的归纳，并且也更容易理解。这个曲线图说明，在a-q平面里，Mathieu's方程稳定和不稳定区域之间的界线。另外，在图中还画了三根线，分别代表三种不同的调制系数m。
从图中看出在a=12，22，32——的q（或m值）值，存在不稳定区域。而在大多数基于参数激励现象的应用场合，均采用其中的一个稳定区域。参数变压器仅仅在当它被在Mathieu's方程的一个不稳定区域里驱动时，才起作用。
因此为了正常工作，当参数变压器输出频率和输入频率一样时，次级必须这样来调谐，使得ωo=ω1，或者a=1，而m必须作得大于零。
采用变参数法取a=1，0<q<1，可得出方程7的一个近似解。
                        (9)
(9)式表明，次级磁芯中的磁通链幅值在无边界地增长。当然，会使次级电压和电流也增加，但是，由于次级磁芯的饱和，次级电感会被改变，那么，该振荡的幅值就会稳定在一个有限的稳态值上。 这点，下节进一步解释。
a. 饱和的影响
次级磁通对次级电感的影响，可以通过研究铁芯材料的磁化曲线来说明，次级电流i2可写成级数形式：
                (10)
只取前两项，并令，可得：

式中，并假定K≤1。是未饱和电感。采用二项展开法并略去较高次项，L2可写成：
                            (12)
显然，次级电感是λ1和λ2两者的函数，其最后的表达方式可通过把方程(2)和(12)联立起来解出：
               (13)
现在，如果我们采用上面L2的表达式，代入方程(5)中并略去包含mk的项（因为它们两者太小了）则得：
               (14)
式中：
方程(14)是非线性Mathieu's方程，因为它含有非线性项。解方程(14)可得到磁通链。相对应的次级电流可以采用方程(10)所描述的磁材的磁化曲线(λ2-i2)来求得。正如实验结果所显示的那样，几乎是正弦的，因而在次级输出端上得到的是正弦电压。即使初级电压波形有较大的畸变，输出电压仍是正弦的。因此，次级电流中的谐波成份，取决于次级磁芯的饱和程度。
b. 参数激励的条件
上述已提及，为使参数变压器起振，它必须被驱动到不稳定区域，这样，参数振荡就可能建立起来，然后该参数变压器就按参数功率振荡器来工作。为了建立这种参数激励要求，现在，必须在图(3)的电路中加一个小电阻R，这个电阻就代表参数变压器次级侧的损耗。电压方程是：
                    (15)
对(15)式微分，可得：
                 (16)
注意：λ2和L2都是时变量。对于L2采用方程(2)的表达式，可得：  

在附录1中已表明：要使磁通链成为不稳定的，其要求条件是：
                                   (18)
  这里，，这是次级回路的品质因子。
c. 能量传输机理
到现在为止，我们只考虑研究参数变压器次级回路，已表明，如果把次级回路电路做得按2倍自然频率（电路被调谐到此频率）变化，方程(18)提供的条件就得到满足。参数振荡就会建立起来，幅度开始增加直到被磁芯饱和造成的非线性区域限制住为止。
还曾经提到，所需的电感按2倍频率变化是由初级磁通所产生的。因此，次级侧本身构成了一个参数功率振荡器，该振荡器被以2倍输出频率被“泵入”能量。次级回路中所消耗的能量包括自身损耗和供给负载一定的功率。必须通过“泵入”能量来供给。但是，因为次级激励并未直接接到外电源，初级侧就不得不承担起“泵”的作用。
初级不断地从电网汲取能量，并间接地通过次级参数电感的变化程度，把所汲取的能量传到次级。
d. 初级侧
为了理解参数变压器初级侧的工作，就必须认知初级电感也受次级磁通影响而变化。这很容易从图1看出。图中表明：磁回路的公共区域也是初级磁路的一部分。当次级反馈时观察初级电感的这种变化是有益的。象下面要说明的，这种变化在初级和次级之间能量传输过程中起着重要的作用。
因此，由此得出的结论是：初级构成一个电感随时间发生周期性变化的回路，电感这种周期性变化，是由图5所示的正弦供电电压所驱动的。
该电路的电压方程是：
                           (19)
注意：L1和i1两者都是随时间变化的。对19式完成微分得：

乘以i1，则瞬时功率为：

不过
因此，
               (20)
等式右边第一项代表奥姆损耗，第二项是场能量的变化率，第三项是“泵”给次级所得的功率P12。
由此，
                               (21)
现在求初级电流的基波和第二次谐波，写出：
i1=I1sin(ω1t-θ)+I3sin(3ω1t-θ3)                   (22)
而初级电感为：
L1=Lo1(1+m1cos2ω1t)                         (23)
式中，Lo1是初级电感的平均值
     m1是初级电感的调制系数
“泵”入次级的平均功率是

把方程22及23所表示的i1及L1代入，并完成三角变换，P12可写成：
     (24)
由次级所产生的平均参数功率可用类似的表示式用次级电感和次级电流来表示：

e. 参数变压器带负载
把一个负载连在初级端子上，对次级振荡回路有阻尼效果，引起失谐，并使次级回路的品质因子Q值下降。
为简单起见，我们来研究电阻负载，由电阻R代表，如图6所示，接在次级端子上。
图中R和C并联，其等效串联电阻：

而等效串联电容：

失谐频率可写成：
                    (25)
失谐系数定义为：
                    (26)
由此可看出：参数变压器带上负载会引起Mathieu's方程系数“a”下降。这会使稳定性曲线上的工作点向着稳定区域的边界处移动。
回路阻尼后的品质因子Qod值：
         (27)

此式表明带负载后的影响是把回路的Q值降低了，其降低倍数就是方括号内的系数。
f. 最大电阻负载
为了计算参数变压器所能承受的最大负载，我们利用方程(18)给出的参数激励条件。对于最大的负载或R我们把方程(18)改为：
m=2/Qod
把方程27代入并对R求解可得：
                  (28)          
式中K=m/2-1/Qo，
如果负载电阻R小于方程(28)给出的两个数值中较小的一个，则参数变压器不能“接通”
g. 一般方程
在上面的分析中为了揭示现象的本质，曾作了各种简化处理。例如：方程中，受初级磁通调制的次级电感，只取cos2ω1t，一般说来，还包含cos4ω1t，cos6ω1t，……等高次项：
于是可以写成：
                      (29)
还有，在研究饱和的影响时，只取了方程式(10)磁化曲线中的头两项。为了更精确地表示实际的曲线，我们必须考虑高次项直至第九次方。方程11可写成更一般的形式：
                       (30)

把上述方程29和30结合起来，可得次级电感的一般表示式：
        (31)
把上述方程代入方程16中，(方程16一般说是正确的)就可得到非线性的Hill'方程，(Mathieu's方程是一个特例)这个方程得不到精确分析的解，即使可能，也得采用模拟计算器积分或采用数字计算器进行数值积分。最后的解，给出磁链。
参数方式所产生的次级电压是：
                                 (32)
次级端电压是：
V2=e2-i2R2                                 (33)
次级电流i2可通过把λ(t)代入磁化曲线方程10来获得，次级所产生的参数平均功率是：
                (34)
现在来研究参数变压器初级侧，第一步就是采用次级磁链和类似图2的转换电感曲线（Trans-induclance）来获得初级。这里要提到，两个转换电感曲线（L2/λ1和L1/λ2）的形状将决定于磁路设计及初级和次级铁芯的物理构形。两曲线的斜率（和）的形状，代表两个磁回路的调制系数，在这里就是磁回路的调制的有效度。它们也直接对该变压器的功率输出能力产生不良影响。因为它正比于调制系数。如果把所产生的参数功率表达式（方程34）再写成(35)式的形式，这一点就可更清楚地看出来。
                  (35)
注：上式Δ'表示偏导数。
偏导数就是转换电感曲线的斜率。 
初级铁芯饱和对初级本身电感的影响也被以类似于次级中所用的方式考虑到了。因此，初级电感的总表达式可写作：
        (36)
初级电流i1则可以通过把上面L1的表达式代入初级电压方程19，并求解以得到i1的表达式。
3实验研究
用图1所示的二个C型铁芯作的60VA参数变压器进行了试验。初级绕组是额定电压115V/60Hz，有400匝，2奥姆电阻。次级绕组有1900匝，16.5奥姆电阻。用3.75μF电容调谐。在把此电容断开时，加在初级绕组上的电压为115V/60Hz，而在次级的两端只有7.5V电压。当把电容接到次级后，参数变压器“接通”，此时，次级电压跳升到515V。
3.1 转换电感曲线
次级电感L2随着初级磁通链λ1的变化，在次级磁芯的两种不同的磁通状态下进行测量。首先，把次级开路，（电容断开）用阻抗桥来测电感L2。初级供给dc电压，用一个检测线圈和磁通表来测量λ1，图7的曲线(a)就是在此条件下，（次级磁通链是零λ1=0）L2随着λ1的变化曲线。
但是，在正常工作条件下，在次级端子上有515V/60Hz电压产生。而次级铁芯由于其绕组和调谐电容之间的环流而饱和。为了测量在这些条件下的次级电压，就把515V/60Hz电压接到次级端上。并保持恒定不变。而初级绕组则和前边一样，加上DC电压，用一个检测线圈和一个磁通表来测量λ1。对于初级电流的每个值，通过对应次级电流分压的方法来测量次级阻抗。
从这个阻抗值就可计算出电感值L2，并描绘L2-λ1曲线，其结果示于图7(b)曲线。而曲线(b)给出的L2值比曲线(a)更真实。但仍然不能同时严格地代表初级及次级铁芯的磁通状态。在正常工作状态下，接上电容，变压器在“接通”状态。初级用115V/60Hz供电，次级电压是515V，也是60Hz，不过同初级电压发生了90°的相位移。因此，两铁芯中的磁通彼此也相移90°。
为了测得这些状态下的“转换电感”曲线，接上电容，则同时在两个绕组上加了60Hz的额定电压并在相位上有90°的相移。L2也和前边一样，通过测次级阻抗来测量。而λ1的峰值则通过测量初级绕组上的一个检测线圈中的感值电压来测得的。同步地减少初级电压，保持次级电压不变，直到整个曲线全部得到为止。
其结果如图7的曲线(c)所示。在这个测试中，也记录了初级和次级的电流波形，并且发现这和实际工作状态下的波形是相同的。
3.2 次级电感的动态测量
L随时间的变化在实际工作状态下测量。把电容连接在次级端上，参数变压器就“接通”了。采用简单的仿真电路，从次级电压方程来求得（L2i2），在次级回路里采用一个小分流电阻来获得电流波形。L2是用图解法通过逐点分离来获得的。（正常情况下，电阻压降是很小的）而（L2i2）可直接积分V2来获得。最后的波形给出L2(t)，如图8所示。对L2(t)进行付立叶展开得：
(37)
这表明：平均次级电感Lo是2.24H，而次级调制系数是m=0.295，（即），次级的质量因系，可以看出，m值比大，因此，由方程(18)给出的参数激励条件是满足的。
初级和次级回路的电压波形在无载时示于图9。
3.3 加载测试
参数变压器的负载特性的获得方法：把功率因子分别为0.8（滞后）、1.0和0.8（超前）的三种负载接到变压器次级侧的120V抽头上。逐步改变负载，对每种功率因子的负载可画出负载电压同负载电流的曲线。其结果，示于图10。在满载下（大约0.5A）的电压调整率分别是4.6%、3%和0%。
3.4 在非正弦输入下的工作
把波形失真比较严重的电压加到输入端（初级）并记录下次级的电压波形，发现，几乎和图11所示的正弦波一样。和普通的变压器不同，参数变压器的次级象个振荡器，它的输出电压是通过参数振荡产生的。不是通过和初级互感磁通的电磁感应来产生的。因此，次级电压同初级电压中的谐波几乎无关。这个特点就使参数变压器特别适合作电功率滤波器。　　
3.5 频率倍乘
参数变压器另一个有趣的特点是能够作成一个稳定的频率倍乘器。这归因于在次级电感的周期变化中存在着较高次的偶次谐波。例如：为满足参数激励条件，在随时间变化的次级电感中存在足够的4次谐波分量，则把次级侧调谐到2ω1，参数变压器会按2倍频率器来工作，其输出频率2倍输入的频率，如图12所示：
4 结论
本文提出了参数变压器的理论，它表明次级侧的工作象个参数功率振荡器，（由初级不断泵入能量）。次级的工作表明，它是受二阶非线性微分方程制约的，方程带有Hill'S-Mathieu's型的周期系数。参数变压器的能力就是变换电能。加上它独特的虑波特性，使它特别适合用于同电力系统紧密相关的DC-AC逆变器。它还可用作静态的频率倍乘器。
附录1
方程17给出如下：