1 引言
关于品质因数Q值这一术语是大家都熟悉的。对于电感线圈的Q值也是众所周知的。但对于材料的Q值，从定义到各种表达式就是五花八门，好像随便拉一个Q值的数学表达式都可作为Q值的定义，而Q值的物理慨念却被无形中弄得无影无踪了。本文试图从Q值的定义出发引伸出各种Q值的数学表达式。对现行某些资料给出的Q值个别表达式提出异议。
本文不涉及Q值的测仪器问题，只讨论在测量Q值时碰到的具体问题。顺便讨论材料Q值与其功耗之间的关系。
本文中所有公式中的各物理量，除特殊说明外均使用国际单位制的基本单位，对各公式不再说明单位。
2 电感线圈的品质因数Q值
关于电感线圈的品质因数Q值的最早定义为：在给定频率下，每个周期里，线圈储存能量的最大值与总损耗能量之比的2π倍。以后也有人把线圈的Q值定义为无功功率与有功功率之比[1]。
对于任何一个电感线圈，它在储能放能的工作过程中，都不可避免地或多或少的消耗一些能量。因此，可把电感线圈等效成一个纯电感和一个纯电阻串联或并联。串联等效用Ls和Rs表示，并联等效用Lp和Rp表示，如图1所示。
对于串联等效电路，当通以正弦电流时：
i=Imcos(ωt+φ)                                (1)
每个周期内电感Ls储存能量的最大值为：
                                    (2)
每个周期内Rs消耗的能量为：
                            (3)
根据前一种定义得：
                       (4)
对于并联等效电路，如果两端所施加的为正弦电压
u=Umcos(ωt+ψ)                              (5)
每个周期电感Lp所储存能量的最大值为：
                     (6)
每个周期内Rp消耗的能量为：
                        (7)
根据前种定义得
                      (8)
由以上推导可知，线圈Q值的表达式可以用串联等效电阻和电感表示，也可以用并联等效电感和电阻表示。根据Q值的后一种定义，也同样可推导出Q值的表达式，与从第一种定义出发推导结果是一样的，即用(4)式或(8)式表达Q值。
对正弦信号来说，当频率给定后，电感线圈的串联电路可以用一个并联电路来等效，串联、并联之间的电感电阻互换关系式为：
                              (9)
                             (10)
                            (11)
                             (12)
3 材料的品质因数Q值
谈到软磁材料的品质因数Q值，有很多资料是随便拉一个Q的表达式作为Q的定义，例如用损耗角正切的倒数[2]来定义Q。我们认为Q的表达式可以有很多，但它的物理意义还是应当有一个明确的概念。那就是软磁材料的品质因数Q值，它应该用“在交变磁场作用下，材料每周储存的最大能量与损耗能量之比的2π倍”来定义。
从材料Q值的定义出发，导出Q的各种表达式，不象推导电感线圈Q值表达式那样简易，必须先对复数磁导率的概念有一了解。
3.1 复数磁导率的引出
假定材料在外磁化场的作用下被均匀磁化，而磁路闭合，不存在退磁场。而交流磁滞回线是个椭圆，这时磁场H和磁通密度B都可用时间的正弦函数来描写：
H=Hmcos(ωt+φ)=Re(He jωt)                         (13)
B=Bmcos(ωt+φ-δ)=Re(Be jωt)                        (14)
式中：φ代表H的初相，δ代表B的相位比H落后一个δ角。
H=Hme jφ    是H的相量。                      (15)
B=Bme j(φ-δ)    是B的相量。                     (16)
Ｄ和H之间的关系可用相量法计算。B和H都可用旋转速度为ω的相量来表示（见图2）。这时磁导率就变成一个复数μ" 。
                (17)  
式中：可称为幅度磁导率。
     称为弹性磁导率。
                   
            称为粘性磁导率。
由图2看出，复数磁导率的实部μ'和μ"虚部都代表一定的物理意义。我们可以把相量B分解为两个相互垂直的分量，其中与H同相的分量Bmcosδ与μ0Hm之比为μ'，它代表可逆磁化的程度。相位比H落后的分量Bmsinδ与μ0Hm之比是μ"，它是由损耗引起的滞后分量。δ称为损耗角。
3.2 磁介质中的磁能密度
在静态磁化时，对于各向同性的铁磁介质来说，磁导率μ为一个实数，这时介质中的磁能密度为：
           (18)
对于动态磁化过程，当磁场为正弦形，磁通密度为落后磁场一个δ角的正弦形时，磁介质中的磁能密度最大值应为：
                  (19)
(19)式中是点乘积，即与的同相分量与Hm之积。
3.3 磁介质磁化一周单位体积中消耗的能量
我们知道，磁介质被磁化一周单位体积中消耗的能量在数值上正好等于磁滞回线的面积，即：
                            (20)
如果H=Hmcosωt，B=Bmcos(ωt-δ)，解出B与H的关系，在B为纵坐标H为横坐标的直角坐标系中，B~H曲线正好是一个椭圆，其面积为
S=πHmBmsinδ
所以
W=πHmBmsinδ                                 (21)
3.4 材料Q值的表达式
根据材料的品质因数Q值的定义，导出Q的表达式，
即：

                         (22)
上式表明，材料的品质因数Q值等于其损耗角正切的倒数，所以有些文献上直接说材料的损耗角正切的倒数就是Q值。
由(17)式很容易看出：cosδ与sinδ之比就等于μ'与μ"之比，所以可用下式表达Q值。
                                  (23)
因此，也有文献用复数磁导率的实部μ'与μ"虚部的比给Q值下定义。
根据闭合磁路绕N匝线圈具有的电感量为：
           C1为磁心常数。
把μ用μ=μ'-jμ"代入上式，得到复数电感为：
                    (24)

式中：
     
作者又给出Q值随频率的变化如图6所示。
比较(54)式和我们的(52)式，乍一看形式完全相同，但实质不同。(52)式中计算Qe和QL所用的电感是被测线圈的串联等效电感Ls，Rc和RL都是线圈串联等效电阻的组成部分，Rs=Rc+RL如图3所示，读出Rs，再单独测出RL，材料Q值就可用(53)计算出来。再看(54)式，用图5的等效电路在r和Rc都不可忽略时能否推出(54)式来是非常值得怀疑的。(54)式中计算QL和Qc所用的L到底是个什么电感很不明确。从(9)式可以清楚的看出，当Rs2与(ωLs)2相比很小时，并联等效电感LP可近似等于串联电感Ls。当Rs可以和ωLs相比较时Lp和Ls的值就差别甚远了。(54)式是否认为Lp与Ls没区别，都是L呢？再说，在实际测量中，Rc和r是无法分开的，串联测量是Ls和Rs，并联测量是Lp和Rp，现在的测量仪器还无法把铜损r等效为串联磁损等效为并联同时测出这样的串并混联的电感L和r及Rc来。
比较图6和图4，线圈Q值随频率f的变化，图4中Q的极大值只约等于QL的一半，而图6中Q的极大值却远远高于QL或Qc。我们认为(54)式不管它本身是否正确，但从(54)式的关系出发绝对作不出图6那样的Q与f曲线来。
有资料[10]用串联等效电路测量，给出磁心的品质因数Q为：
Q=ωLs/Rs                                                             (55)
孃中：Ls=Le-L0，Rs=Re-R0
Le和Re分别为带磁心线圈的总串联电感和电阻。
L0和R0分别为空心线圈的串联电感和电阻。
从表面看，(55)式好象是正确的，认为总损耗电阻Re减去空心线圈的损耗电阻R0得到磁心的损耗电阻，所以线圈的总电感也理所当然的应该减去空心线圈的电感。我们认为Le减L0是凭空想象出来的，是没有理论根据的。总损耗电阻减去空心线圈的损耗电阻剩下的是磁心的等效电阻，这个物理概念是清楚的，是应该的。但是，磁心的储能最大值是由电感量决定的，带有磁心的线圈的电感量不能看成空心线圈的电感量加磁心的电感量，只能说加磁心后可使线圈的电感量增加到无磁心时的多少倍。计算带磁心线圈的Q值，用带磁心时测得的串联等效电感就行了，不应再减去空心线圈的电感L0了。下面可以证明(55)式是不正确的。
我们把(55)式写成：
Q=ω(Le-L0)/(Re-R0)                           (56)
设想有一个以空气为磁心的线圈，它的电感量Le一定等于L0，它的等效损耗电阻也一定等于R0。把其值Le和Re代入(56)可得Q=0/0。显然，空气的品质因数等于零分之零是错误的。这说明(55)式和(56)式是不正确的。如果(56)式分子上不减去L0，得出空气的品质因数等于∞。因为空气或真空都可以储存磁能，但它们不消耗能量，所以说空气或真空的品质因数等于无穷大是正确的。这就证明计算磁心或材料Q值时，串联等效电感不应再减去空心线圈电感。
6.2 分布电容对Q值的影响
在低频测量，匝数又不多，分布电容对Q值的影响可以忽略不计。当测试绕组匝数较多、频率又较高时，分布电容对Q值的影响就比较大，不得不考虑分布电容对Q值的影响。因为磁损耗随着频率的升高而迅速增大，在高的频段，线圈的铜损往往远小于磁损，这时可不考虑线圈的电阻对Q值的影响，只考虑分布电容对Q值的影响。
研究分布电容对Q值的影响，采用图7所示的等效电路比较方便。
图中Lp和Rp分别为带磁心线圈的并联电感和电阻，C0为线圈的等效分布电容。电路中Lp与C0并联后的阻抗很容易求出，其表达式为：
                            (57)
上式可写成：
Z=jωLPe                                     (58)
(58)式中的LPe是考虑到分布电容后的并联等效电感，它与线圈本身的并联等效电感LP的关系为：
                             (59)
我们把没有分布电容C0时线圈的品质因数记作Qx，把有分布电容时测得的线圈品质因数记作Qcx。根据(58)式可写出Qcx的表达式为：
       (60)
(60)式中的Qx表示没有分布电容时的线圈品质因数，在磁心不开气隙，铜损又远小于磁损时，可把Qx视为材料的品质因数Qμ，由(60)式也可看出，Qx虽然不会等于零，但随着频率ω的升高，测得的器件品质因数却可以为零。过零后，Qcx的值还会随频率升高而增大。
也有文献[11]给出Qcx与Qx的关系式为：
Qcx=Qx(1-ω2LxC0)                              (61)
上式的形式与(60)式完全相同，但(61)式中的Lx是线圈的串联等效电感，(60)式中的Lp是线圈的并联等效电感。如前所述，在频率较高时，并联电感可能远高于串联电感。所以(61)式与(60)式并不是一个意义相同的公式。(61)式的推导是作者给线圈的串联等效电路并联一个分布电容C0，然后又把它们等效成一个串联电路进行推导。其推导过程不详，说略去二级小量，然后就直接给出了(61)式。(61)式又在被一些人引用[12]。我们认为，(60)式是严格推导得到，如果(60)式没错，就不可能再推导出一个正确的(61)式来。
由(59)式 和(60)式很容易得出：
                           (62)
由(60)式可知，当(1-ω2LpC0)之差小于1时测量值Qcx小于材料的品质因数Qμ，当ω2LpC0=1时Qcx=0，事实也证明了这一推论。当(1-ω2LpC0)之差大于1之后Qcx就会大于Qμ。
由以上分析可见，在频率较高测量材料的品质因数Qμ时，应尽量减小线圈和引线的分布电容。使用多股线测量可减小分布电容又可减小匝间绝缘层的介电损耗。
7 对Q值的测量实例
如前所述，线圈的Q值，与绕组的铜损、磁心的磁损及绕线的分布电容有关。磁心损耗在不开气隙时认为是材料损耗，而材料损耗又与测试频率有关，在频率不变时，材料中的磁滞损耗随着磁通密度B的增大近视为线性上升。所以测量材料的Q值就必须规定材料的磁通密度峰值Bm为多少。在不加说明时，软磁材料的磁导率一般是指Bm限定在0.25mT以下时的相对起始磁导率。同样，如果不加说明，材料的Q值也应指的是Bm在不超过0.25mT时的Q值。
在测量材料Q值随频率的变化时，如果保持施加在绕组两端的电压不变，由于测试频率改变，实际上就造成磁通密度改变。这无形之中就掺进了磁通密度变化的影响。要想测得相同磁通密度下的Q值，测试频率变化时，施加在测试绕组两端的电压也应随着改变。最近有一篇研究高Bs NiZn铁氧体的文章[13]，文中公布有材料Q值随频率f的变化曲线，其曲线簇都在400kHz处出现一个凸起的峰值。其作者只公布测Q值使用的仪器是Agilent 4285A和4284A精密LCR测试仪。我们知道，这些仪器也只能测线圈的Q值，并不能直接测材料的Q值。要想得到材料的Q值需加以修整，到底修正与否，不得而知。不过，Q~f曲线在400kHz处都出现凸起的峰值是值得怀疑的，因为材料Q值等于μ"分之μ'，在400kHz时μ'不会突然增大，μ"也不会突然减小。所以，NiZn铁氧体Q值在400kHz出现凸起的极大值是令人怀疑的。如果是仪器直接读出的带磁心线圈的Q值，在400kHz处出现凸起的峰值是非常正常的。
下面我们给出对MnZn铁氧体材料作出的实测数据，把线圈Q值与材料Q值作个比较。
实验样品为φ24.86×φ14.98×7.52的环型MnZn铁氧体磁心，其磁导率约为4300，测试绕组为22匝，其直流电阻约为0.14Ω。测试仪器为Agilent 4284A精密LCR测试仪。固定测试电平为100mv，测量Q值随频率f的变化，测试数据见表1。
表1中的UL是测试线圈两端的实际电压，IL是测试线圈上流过的电流，LS是串联等效电感，RS是串联等效电阻，LP是并联等效电感。Q是由仪器上直接读得的带磁心线圈的品质因数，是修正后得到的材料品质因数。1至250kHz的值是用(53)式修正得到，导线的电阻近似采用的其直流电阻。400kHz 和1000kHz的Qμ是用(62)式修正出来的。表1中的LP实际上就是线圈的并联等效电感与分布电容C0并联后的总等效并联电感，也就是(62)式中的LPe。(62)式中的线圈并联电感LP是用1匝时的并联电感乘以匝数的平方算得的近似值，因为1匝时的分布电容影响可以忽略。
从表1中的实测数据可以看出：
(1)测试仪器给定的测试电平固定后，随着测试频率的增高，被测线圈两端的电压UL由低变高，最后趋于仪器给定的测试电平。如果要保持磁通密度B不变测量，线圈两端的电压就应该保持与频率成正比。表1中的IL随着f的下降虽然也下降，但比按正比下降的速度要慢，所以频率越低测量时的B就越高。说明表1不是恒磁通密度测量。表1中的IL也随f升高而减小，说明也不是恒磁场下测量。要想测出B严格不变时Q随f的变化，就应该在每个频率下算出B为规定值时该加的电压，然后把线圈两端的测试电压调在计算值上测量。一般都不用这样严格测量。
(2)线圈的Q值随频率f的变化正如图4所示，在20kHz时有极大值Q为253，这个极大值出现的位置应与分布电容C0的大小有关。C0越大，Q出现峰值的频率就越低，若使用线圈的交流电阻修正，算出材料的Qμ值在低频时就更高。尽管如此，材料的Qμ值仍远大于线圈的最大Q值，Q仍没有发现图6所示的那样，Q的峰值会远大于材料的Qμ值。
(3)表中的LP实际上是LPe，它随着频率的升高会出现一个正的峰值，再猛然跳到一个负的峰值，再然后就从负的峰值随频率的增高而趋于零，这从(59)式可以预见得到的。所以在分布电容影响不可忽略时，用仪器测出的并联电感不能用来算并联磁导率。同样，分布电容影响较大时，