数字电力电子学
1 引言
高频开关电路可以有效地增加功率密度，提高效率、可靠性和使用灵活性，以及减小功率损耗和设备成本。因此，近十年来，高频开关电路倍受人们的关注，从DC-DC变换器到其它变换电路，诸如AC-AC变换器、DC-AC PWM逆变器以及软开关AC-DC整流器等变换器，高频开关电路都得到了推广应用，其功率以激励滤波、谐振运作和软开关分类研究法等进行输送。这些特性完全不同于传统的模拟控制系统。直到目前为止，还没有相适应的理论来描述开关电路和系统的特性，使人们难以面对数字控制开关电力电子系统，没有有效途径论述开关电路和系统的特性。
传统的做法是，电力电子学用模拟控制理论进行分析。因采取模拟分析电力电子学获得了良好的结果及其应用，以致将人们引入了电力电子学必须使用模拟控制电路的错误结论。在大于100年的很长时间内，在电力电子学方面，人们一直使用着模拟控制理论。熟悉的控制结论让人们认为电力电子学已是夕阳知识。在这篇论文中，我们初创地介绍数字控制理论并将其应用于电力电子学分析，它完全不同于传统的模拟控制电路。我们将同样地改变错误的结论，并与传统的电力电子学进行新的命运比较。
2 能量因子和数学建模
很长时间以来，人们就注意到在功率DC-DC变换器中存贮着能量。DC-DC变换器类似于一个能量容器，因为在其稳态时，有部分能量存贮在元件之中以节省一定的能量。在变换器实施着从一种稳态向另一种稳态变换时，对应变化着存贮的能量。因此，从一种稳态变换到新的一种稳态时，存在着许多瞬变的过程。在本论文中，我们从理论上定义了一个新的概念——能量因子（EF），同时研究了能量因子（EF）和功率DC-DC变换器数学模型两者之间的关系。能量因子（EF）和继之其后的参数：激励能量（PF）、存贮能量（SE）、电容器/电感器存贮能量比率（CIR）和能量损耗（EL）等可以用一组分级响应曲线和干涉还原法进行图解说明。这种研究对于系统设计和DC-DC变换器特性的预测是有帮助的。在本文中供分析的变换器有两种：如图1所示的反激式变换器和如图2所示的超提升力（super-lift）Luo变换器样品，用它们来论证EF、PE、SE和CIR的应用。为方便计，输入电压和电流被定义为V1和I1，而输出电压和电流被定义为V2和I2，开关频率为f，周期为T=1 / f，传送占空系数为K。
2.1 能量因子(EF)
所有功率DC-DC变换器都用激励电路通过电子组件（如电感器和电容器）来变换能量。能量从电源到负载的变换不是连续进行的，实际上，在一个周期（T）中，能量是可被量化地从电源转换到负载的。能量的量值用激励能量（PE）进行测量，它们利用了在开关周期T（V1通常是恒量）期间输入能量之数值。其计算公式是：
(1)
在电感器中存贮的能量为：
(2)
跨接的电容器中存贮的能量为：
(3)
因此，如果存在nL个电感器和nC个电容器，则在DC-DC变换器中总的存贮能量是：
(4)
现在，我们定义能量因子（EF），那就是存贮的能量和激励能量的比率：
(5)
能量因子（EF）被有效地利用来描述功率DC-DC变换器的特性。其应用情况见以后各章节。
我们定义的电容器/电感器存贮能量的比率（CIR）是：
(6)
另一个因子是在周期T时间内的能量损耗（EL），它们与功率损耗成正比：
EL=Ploss×T(7)
2.2 功率损耗和效率 η
特别要强调的是，功率损耗始终存在于能量变换的全过程中。功率损耗是由连接线缆的阻抗、电感器和电容器导线的阻抗以及跨接的半导体器件（如二极管、IGBT、MOSFET等等）所引起的。我们可以将它们分类为电阻性功率损耗Pr、无源元件损耗Pe和器件功率损耗Pd，总的功率损耗是Ploss：
Ploss=Pr+Pe+Pd (8)
同时，
Pin=Po+Ploss=Po+Pr+Pe+Pd=V2I2+Pr+Pe+Pd (9)
因此，
EL=Ploss×T=(Pr+Pe+Pd)×T (10)
功率传输效率η为：
(11)
2.3 时间常数 τ
功率DC-DC变换器的时间常数τ被定义为：
(12)
2.4 阻尼时间常数τd
功率DC-DC变换器的阻尼时间常数τd被定义为：
(13)
2.5 功率 DC-DC 变换器的时间常数比率 ζ
功率DC-DC变换器的时间常数比率ζ被定义为：
(14)
3 功率 DC-DC 变换器的传递函数
通常情况下，功率DC-DC变换器有两个或多个能量存贮元件。时间常数τ和阻尼时间常数τd是功率DC-DC变换器在第二阶为小信号分析的微分运作中，描述功率DC-DC变换器特性的有效形式。功率DC-DC变换器的电压传递增益是M=V2/V1（15）。功率DC-DC变换器的传递函数可以用以下数学模型表述：
(16)
式中，τ是式(12)所述的时间常数，τd是式(13)定义的阻尼时间常数，ζ是式(14)表述的时间常数比率。
使用为功率DC-DC变换器所建立的数学模型，可以有效并容易地描述功率DC-DC变换器的特性，以下将详细地讨论。
4 使用这种理论的设计实例
为了验证数字控制理论的正确性，并向读者提供设计实例，我们制作了两种变换器供以下论证功率DC-DC变换器特性和理论应用。
4.1 反激变换器
反激变换器的电路示于图1，其参数值为：V1=40V，f=20kHz（T=50μs），L=250μH，C=60μF，R=10Ω，并存在一些功率损耗，假设电感器的阻抗rL=1.5Ω。
4.1.1 大信号响应曲线
变换器的传递占空因子K从0到0.4变化，因此，我们获得：V2=14V，I2=IL=1.4A，Ploss=I1=0.564A。计算所得各参数为：PE=V1I1T1(18)=1.128mJ，，，
SE=WL+Wc(21)=6.125mJ，EL=Ploss×T(22)=0.147mJ，，EF=SE/PE=6.125/1.128=5.43，
，，
。
因为ζ=τd/τ=1.31>0.25。故该反激变换器的传递函数有置于左侧半个平面的两个极点（-S1和S2）。该变换器的传递函数为：
(24)
式中，S1=σ+jw，S2=σ-jw
而
单级函数响应为：
(25)
单级函数响应曲线示于图3。脉动干涉响应曲线为：
(26)
式中，u是干扰信号。脉动响应曲线示于图4。
4.1.2 小信号响应曲线
当变换器的传递占空因子K从0.4到0.5变化，我们将获得：V2=17.4V，I2=IL=1.74A，=1.742×1.5=4.54W，I1=0.871A以及ΔV2=3.4V，ΔI2=ΔIL=0.34A，，
ΔI1=0.313A。
计算所得参数为：
ΔPE=0.626mJ，ΔWL=0.136mJ，ΔWC=3.284mJ，ΔSE=ΔWL+ΔWC=3.420mJ，ΔEL=0.08mJ，
，，
，
，
从以上计算和分析中我们发现了时间常数是不变化的。因此，仍然用式(12)计算，作为小信号运作的传递函数也应该不变化。相对应的是单级响应曲线为：
作为小信号运作的单级函数响应曲线示于图3。作为小信号的脉动响应曲线同样由式(25)描述，而其波形示于图5。
4.2 超提升力Luo变换器
图2所示为具有传导占空因子为K的超提升力Lou变换器（Super-Lift Lou-converter）。其数值为：V1=20V，f=50kHz（T=20μs），L=100μH，C1=2500μF，C2=800μF，R=10Ω，同时，存在一些功率损耗，假设电感器的阻抗rL=0.12Ω。
4.2.1大信号响应曲线
当变换器的传导占空因子K从0到0.4变化，我们将获得V2=57.25V，I2=5.725A，I1=17.175A，IL=11.45A，，VC1=V1=20V，
VC2=V2=57.25V，计算所得的参数为：PE=V1I1T=6.87mJ，
，，
，SE=1817.6mJ
，，
EL=Ploss×T=0.3146mJ，，
，
(27)
因为时间常数τ=0.544ms和激励时间常数τd=0.775ms=1.42τ，即ζ=1.42>0.25。这种变换器的传递函数有两个极点（-S1和-S2）。该变换器的传递函数表达式为：
(28)
式中：S1=σ+jw，S2=σ-jw
而
单级函数响应曲线为：
(29)
单级函数响应曲线由图6示出。脉动干涉响应曲线为：
(30)
式中，u是干涉信号，脉动干涉响应曲线示于图7。
4.2.2 小信号响应曲线
变换器的传导占空因子K从0.5到0.6变化，我们将获得：V2=65.09V，I2=6.509A，I1=22A，IL=14.91A，
，VC1=V1=20V，
VC2=V2=65.09V；同时，ΔV2=7.74V，ΔI2=0.784A，
ΔI1=4.825A，ΔIL=3.46A，。
ΔVC1=ΔV1=0V，ΔVC2=ΔV2=7.84V。计算所得参数为：ΔPE=1.93mJ，ΔWL=1.385mJ，ΔWC1=0mJ，ΔWC2=383.68mJ，ΔSE=385.06mJ，，
ΔEL=ΔPloss×T=0.148mJ，，
，，
从以上计算和分析，我们发现时间常数是不变化的。因此，作为小信号运作的传递函数也应是不变化的。相对应的单级响应曲线为：
(31)
用于小信号运作的单级函数响应曲线示于图6。小信号运作的脉动响应曲线同样地由式(30)描述，同时其波形示于图8。
5 基本数学模型
载波信号p(t)被表述为：
(32)
时间范畴函数的近似表达式为：
(33)
5.1 零阶同步(zero-order-hold-ZOH)
最广泛地使用的同步器件是ZOH。我们取式(33)的首项。它被用于所有AC-DC整流器的模拟。
5.2 首阶同步(First-order-Hold-FOH)
首阶同步（FOH）采用式(33)的前面2项。它被用于所有DC-AC变换器和AC-AC变换器的模拟。
5.3 第二阶同步(second-order-Hold-SOH)
第二阶同步(SOH)采用式(33)的前面3项。它被用于所有的DC-DC变换器的模拟。
5.4 Z-变换
在数字控制中，功率变换器的所有形式都可以用ZOH/FOH/SOH进行模拟，数字控制在Z-范畴内完成。我们使用Z-变换来描述数字控制系统的特性。
6 结束语
功率DC-DC变换器数学模型的建立，是1940年代以来，伴随DC-DC变换器技术发展的一个历史性问题。因为传统的DC-DC变换器数学模型的微分方程式的阶数很高，故其应用于复杂结构的变换器是有困难的。我们从其它途径探讨了建立功率DC-DC变换器数学模型的方法。本文作者试图放弃传统的数学模型，并从本文式(32)的方法提出该变换器的数学模型，一般说来，这种数学模型对所有功率DC-DC变换器是有效的。它们的参数是由能量因子（EF）和后续的参数定义的。利用这些参数，我们成功地论证了功率DC-DC变换器的特性。两种典型的变换器——反激式变换器和超级提升力Luo变换器被用来实现这些参数，并取得了令人满意的结果。这意味着能量因子（EF）和其它参数对功率DC-DC变换器技术是很有帮助的。
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《原文参见电源网》
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