匝数对磁导率测试的影响
2010-11-16 15:01:21
来源：《磁性元件与电源》2010年11月刊
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1 引言
众所周知，$磁导率$μ是软磁材料的一个关键技术指标。对磁导率μ的测量基本上都是在标准样环上绕线测量。测量出其绕组线圈的电感量L，然后用L计算出材料的磁导率。但是，对于同一只样环，用不同仪器或用同一台仪器而绕的测试匝数不同，测出的材料磁导率μ差异可能很大。有时会由此引起供、需双方的矛盾或纠纷。特别是测试线圈匝数不同造成的测试μ值不同，有时匝数多测出的μ值较低，但有时匝数增多测出的μ值却变高。这会使一些测试人员迷惘不解。本文试图根据测试原理阐明测试仪器、测试线圈匝数以及计算公式不同对磁导率测试的影响。
2 几个有关的磁导率概念
对于均匀的磁性介质，如果把它放入均匀的磁场H中被磁化，磁介质本身就会产生一个附加磁场H'，H'和H的方向相同。H'与H叠加起来的总磁场强度称为这种磁性材料的磁通密度B[1]。由此可见，磁通密度B和磁场强度H本质上都是表征磁场强弱的物理量。但是，它们所使用单位的名称及单位的大小都可能不同。在往常使用的高斯单位制中，H的单位用奥斯特(Oe)，B的单位用高斯(Gs)，奥斯特和高斯这两个单位名称不同大小却完全相等。在现在强调使用的国际单位制中，B的单位用特斯拉(T)，H的单位用安每米(A/m)，B和H的单位不再相等，1A/m =4×10-7T。磁通密度与磁场强度之比，称为材料的磁导率，它们的数值之比被称为绝对磁导率μ绝，它们这两个物理量大小之比被称为相对磁导率μ。显然，在高斯单位制中，因为B和H的单位相等，它们的数值之比就等于它们量值的大小之比。所以，在高斯单位制中，材料的相对磁导率与绝对磁导率相等，用不着区分绝对磁导率和相对磁导率。对于真空来说，它不会产生附加磁场，B就等于H，所以真空的磁导率等于1。在国际单位制中，由于B和H的单位大小不再相等，它们的数值之比μ绝不能代表它们的物理量大小之比μ，材料的相对磁导率与其绝对磁导率不再相等。对于真空来说，因为不能产生附加磁场，B和H这两个物理量就相等，所以真空的相等磁导率μ等于1。若在真空中某点的磁场强度H为yA/m ，则该点的磁通密度B应为4πy×10-7T，于是该点的B与H的数值之比即为国际单位制中的真空绝对磁导率μ0=4π×10-7H/m。一般软磁材料的绝对磁导率再除以μ0即可得到其相对磁导率μ=B/μ0H。如果不加说明，提及到磁导率时指的均是相对磁导率。
一般软磁材料的直流磁化曲线B~H及与其相应的μ~H曲线如图1所示。由图1可知， B~H曲线的起始部分是线性上升，然后陡峭上升，最后趋近于水平。与B~H曲线起始线性部分相对应的磁导率为一个常数，称为起始磁导率μi。由原点向B~H曲线引一条切线，与其切点相对应的磁导率达到最大值，被称为峰值磁导率μm。从起始磁导率过后，一直到峰值磁导率μm，这段磁导率我们姑且也统称为振幅磁导率μa。显然，μa是随磁场H的增大而上升的。
对于交流磁场作用下的软磁材料，在远低于其截止频率时，材料的μ"可以忽略不计， μ'就认为是材料的交流磁导率μ。材料的交流磁化曲线及相应的μ~H曲线与直流极为相近，也有μi、μa和μm，仍然可用图1作类似的解释和说明。
3 磁导率的测试仪器功能
磁导率的测量是间接测量，测出磁心上绕组线圈的电感量，再用公式计算出磁心材料的磁导率。所以，磁导率的测试仪器就是电感测试仪。在此强调指出，有些简易的电感测试仪器，测试频率不能调，而且测试电压也不能调。例如某些电桥，测试频率为100Hz或1kHz，测试电压为0.3V，给出的这个0.3V并不是电感线圈两端的电压，而是信号发生器产生的电压。至于被测线圈两端的电压是个未知数。如果用高档的仪器测量电感，例如 Agilent 4284A 精密LCR测试仪，不但测试频率可调，而且被测电感线圈两端的电压及磁化电流都是可调的。了解测试仪器的这些功能，对磁导率的正确测量是大有帮助的。
4 材料磁导率的测量方法和原理
说起磁导率μ的测量，似乎非常简单，在材料样环上随便绕几匝线圈，测其电感，找个公式一算就完了。其实不然，对同一只样环，用不同仪器，绕不同匝数，加不同电压或者用不同频率都可能测出差别甚远的磁导率来。造成测试结果差别极大的原因，并非每个测试人员都有精力搞得清楚。关于分布电容对电感及阻抗测量的影响，已在另文讨论，可能将在“磁性材料及器件”杂志上刊出。本文主要讨论测试匝数及计算公式不同对磁导率测量的影响。
4.1 计算公式的影响
大家知道，测量磁导率μ的方法一般是在样环上绕N匝线圈测其电感L，因为可推得L的表达式为[1]：
L=μ0 μN 2A/l (1)
所以，由(1)式导出磁导率 的计算公式为：
μ=Ll/μ0N 2A (2)
式中：l为磁心的磁路长度，A为磁心的横截面积。
对于具有矩形截面的环型磁心，如果把它的平均磁路长度l=π(D+d)/2就当作磁心的磁路长度l，把截面积A=h(D-d)/2，μ0=4π×10-7都代入(2)式得：
(3)
式中，D为环的外直径，d为内径，h为环的高度，如图2所示。把环的内径d=D-2a代入(3)式得：
(4)
式中：a为环的壁厚。
对于内径较小的环型磁心，内径不如壁厚容易测量，所以用(4)式比较方便。(4)式与(3)式是等效的，它们的由来是把环的平均磁路长度当成了磁心的磁路长度。用它们计算出来的磁导率称为材料的环磁导率。有人说用环型样品测量出来的磁导率就叫环磁导率，这种说法是不正确的。实际上，环磁导率比材料的真实磁导率要偏高一些，且样环的壁越厚，误差越大。
对于样环来说，在相同安匝数磁动势激励下，磁化场在径向方向上是不均匀的。越靠近环壁的外侧面，磁场就越弱。在样环各处磁导率μ不变的条件下，越靠近环壁的外侧，环的磁通密度B就越低。为了消除这种不均匀磁化对测量的影响，我们把样环看成是由无穷多个半径为r，壁厚无限薄为dr的薄壁环组成。根据(1)式，可写出每个薄壁环产生的电感dL为：
(5)
由(5)式对r从内半径r1到外半径r2积分，既得到整个样环产生的电感L：
(6)
由(6)式导出计算磁导率的精确公式为：
(7)
为了便于实际应用，可把(7)式化为；
(8)
上式中：D为样环外径，d为内径。把自然对数换为常用对数，(8)式被化为：
(9)
如果样环是由同一种材料组成，则用(7)、(8)或(9)式计算出来的磁导率就是其材料的真正磁导率μ。它比其环磁导率略低一些。
4.2 测试线圈匝数N的影响
由于电感L与匝数N 2成正比，按理说用(9)式计算出来的磁导率μ不应该再与匝数N有关系，但实际上却经常有关系。
关于材料磁导率的测量，一般使用的测试频率都不高，经常在1kHz或10kHz的频率测试。测试信号一般都是使用正弦信号，因为频率不高，样环绕组线圈阻抗的电阻部分可忽略不计，把绕组线圈看作一个纯电感L接在测量仪器上。测试等效电路如图3所示，仪器信号源产生的电压有效值为U，Ri为信号源的输出阻抗。由图3很容易写出磁化电流的表达式：
(10)
上式中，ω为仪器信号源的角频率，L为样环绕组线圈的电感。
L=μ0μN2Ae /le (11)
(11)中，Ae为磁心的有效截面积，le为磁心的有效磁路长度。如果把环型磁心的Ae和le代入，(11)式就会变为与(6)式的结果相同。
测试电流产生的有效磁场强度峰值Hm为：
(12)
把(10)式和(11)式都代入(12)式得到：
(13)
由(13)式可知，当(ωμ0μAe)2N4远小于le2Ri2时，(13)式可近似为：
(14)
上式告诉我们，测试线圈匝数很少时，测试磁场强度与匝数成正比。随着匝数的增多，当达到(ωμ0μAe)2N 4远大于le2Ri2时，(13)式可近似为：
(15)
由(15)式可知，测试线圈匝数太多时，测试磁场强度又会与匝数成反比。
从以上分析得知，测量磁导率时，样环中的磁化场强度与测试线圈的匝数有关，当匝数为某一定值时磁场强度就会达到最强值。而材料的磁导率又与磁化场强密切相关，所以导致磁导率的测量与测试线圈匝数有关。现在结合图1具体讨论匝数对磁导率测试的影响。
4.2.1 测试电压U较低的情况
如前所述，对于高档仪器，如Agilent 4284A精密LCR 测试仪，它的测试电压可以调得极低，以至于测试磁场强度随匝数的变化达到最强时，仍然没有超出图1所示的起始区。这时测得的总是材料的起始磁导率μi，它与测试线圈匝数N无关。用同一台仪器，如果把测试电压调得比较高，不能再保证不同匝数测得的磁导率都是起始磁导率，这时所测得的磁导率又会与测试线圈匝数有关了。
4.2.2 测试电压U不能调的情况
绝大多数测量电感的简便仪器，其测试电压和频率都不能灵活调节。如 2810 LCR电桥，其测试频率为100Hz或1kHz，测试电压小于0.3V。由于这种仪器的测试电压
众所周知，$磁导率$μ是软磁材料的一个关键技术指标。对磁导率μ的测量基本上都是在标准样环上绕线测量。测量出其绕组线圈的电感量L，然后用L计算出材料的磁导率。但是，对于同一只样环，用不同仪器或用同一台仪器而绕的测试匝数不同，测出的材料磁导率μ差异可能很大。有时会由此引起供、需双方的矛盾或纠纷。特别是测试线圈匝数不同造成的测试μ值不同，有时匝数多测出的μ值较低，但有时匝数增多测出的μ值却变高。这会使一些测试人员迷惘不解。本文试图根据测试原理阐明测试仪器、测试线圈匝数以及计算公式不同对磁导率测试的影响。
2 几个有关的磁导率概念
对于均匀的磁性介质，如果把它放入均匀的磁场H中被磁化，磁介质本身就会产生一个附加磁场H'，H'和H的方向相同。H'与H叠加起来的总磁场强度称为这种磁性材料的磁通密度B[1]。由此可见，磁通密度B和磁场强度H本质上都是表征磁场强弱的物理量。但是，它们所使用单位的名称及单位的大小都可能不同。在往常使用的高斯单位制中，H的单位用奥斯特(Oe)，B的单位用高斯(Gs)，奥斯特和高斯这两个单位名称不同大小却完全相等。在现在强调使用的国际单位制中，B的单位用特斯拉(T)，H的单位用安每米(A/m)，B和H的单位不再相等，1A/m =4×10-7T。磁通密度与磁场强度之比，称为材料的磁导率，它们的数值之比被称为绝对磁导率μ绝，它们这两个物理量大小之比被称为相对磁导率μ。显然，在高斯单位制中，因为B和H的单位相等，它们的数值之比就等于它们量值的大小之比。所以，在高斯单位制中，材料的相对磁导率与绝对磁导率相等，用不着区分绝对磁导率和相对磁导率。对于真空来说，它不会产生附加磁场，B就等于H，所以真空的磁导率等于1。在国际单位制中，由于B和H的单位大小不再相等，它们的数值之比μ绝不能代表它们的物理量大小之比μ，材料的相对磁导率与其绝对磁导率不再相等。对于真空来说，因为不能产生附加磁场，B和H这两个物理量就相等，所以真空的相等磁导率μ等于1。若在真空中某点的磁场强度H为yA/m ，则该点的磁通密度B应为4πy×10-7T，于是该点的B与H的数值之比即为国际单位制中的真空绝对磁导率μ0=4π×10-7H/m。一般软磁材料的绝对磁导率再除以μ0即可得到其相对磁导率μ=B/μ0H。如果不加说明，提及到磁导率时指的均是相对磁导率。
一般软磁材料的直流磁化曲线B~H及与其相应的μ~H曲线如图1所示。由图1可知， B~H曲线的起始部分是线性上升，然后陡峭上升，最后趋近于水平。与B~H曲线起始线性部分相对应的磁导率为一个常数，称为起始磁导率μi。由原点向B~H曲线引一条切线，与其切点相对应的磁导率达到最大值，被称为峰值磁导率μm。从起始磁导率过后，一直到峰值磁导率μm，这段磁导率我们姑且也统称为振幅磁导率μa。显然，μa是随磁场H的增大而上升的。
对于交流磁场作用下的软磁材料，在远低于其截止频率时，材料的μ"可以忽略不计， μ'就认为是材料的交流磁导率μ。材料的交流磁化曲线及相应的μ~H曲线与直流极为相近，也有μi、μa和μm，仍然可用图1作类似的解释和说明。
3 磁导率的测试仪器功能
磁导率的测量是间接测量，测出磁心上绕组线圈的电感量，再用公式计算出磁心材料的磁导率。所以，磁导率的测试仪器就是电感测试仪。在此强调指出，有些简易的电感测试仪器，测试频率不能调，而且测试电压也不能调。例如某些电桥，测试频率为100Hz或1kHz，测试电压为0.3V，给出的这个0.3V并不是电感线圈两端的电压，而是信号发生器产生的电压。至于被测线圈两端的电压是个未知数。如果用高档的仪器测量电感，例如 Agilent 4284A 精密LCR测试仪，不但测试频率可调，而且被测电感线圈两端的电压及磁化电流都是可调的。了解测试仪器的这些功能，对磁导率的正确测量是大有帮助的。
4 材料磁导率的测量方法和原理
说起磁导率μ的测量，似乎非常简单，在材料样环上随便绕几匝线圈，测其电感，找个公式一算就完了。其实不然，对同一只样环，用不同仪器，绕不同匝数，加不同电压或者用不同频率都可能测出差别甚远的磁导率来。造成测试结果差别极大的原因，并非每个测试人员都有精力搞得清楚。关于分布电容对电感及阻抗测量的影响，已在另文讨论，可能将在“磁性材料及器件”杂志上刊出。本文主要讨论测试匝数及计算公式不同对磁导率测量的影响。
4.1 计算公式的影响
大家知道，测量磁导率μ的方法一般是在样环上绕N匝线圈测其电感L，因为可推得L的表达式为[1]：
L=μ0 μN 2A/l (1)
所以，由(1)式导出磁导率 的计算公式为：
μ=Ll/μ0N 2A (2)
式中：l为磁心的磁路长度，A为磁心的横截面积。
对于具有矩形截面的环型磁心，如果把它的平均磁路长度l=π(D+d)/2就当作磁心的磁路长度l，把截面积A=h(D-d)/2，μ0=4π×10-7都代入(2)式得：
(3)
式中，D为环的外直径，d为内径，h为环的高度，如图2所示。把环的内径d=D-2a代入(3)式得：
(4)
式中：a为环的壁厚。
对于内径较小的环型磁心，内径不如壁厚容易测量，所以用(4)式比较方便。(4)式与(3)式是等效的，它们的由来是把环的平均磁路长度当成了磁心的磁路长度。用它们计算出来的磁导率称为材料的环磁导率。有人说用环型样品测量出来的磁导率就叫环磁导率，这种说法是不正确的。实际上，环磁导率比材料的真实磁导率要偏高一些，且样环的壁越厚，误差越大。
对于样环来说，在相同安匝数磁动势激励下，磁化场在径向方向上是不均匀的。越靠近环壁的外侧面，磁场就越弱。在样环各处磁导率μ不变的条件下，越靠近环壁的外侧，环的磁通密度B就越低。为了消除这种不均匀磁化对测量的影响，我们把样环看成是由无穷多个半径为r，壁厚无限薄为dr的薄壁环组成。根据(1)式，可写出每个薄壁环产生的电感dL为：
(5)
由(5)式对r从内半径r1到外半径r2积分，既得到整个样环产生的电感L：
(6)
由(6)式导出计算磁导率的精确公式为：
(7)
为了便于实际应用，可把(7)式化为；
(8)
上式中：D为样环外径，d为内径。把自然对数换为常用对数，(8)式被化为：
(9)
如果样环是由同一种材料组成，则用(7)、(8)或(9)式计算出来的磁导率就是其材料的真正磁导率μ。它比其环磁导率略低一些。
4.2 测试线圈匝数N的影响
由于电感L与匝数N 2成正比，按理说用(9)式计算出来的磁导率μ不应该再与匝数N有关系，但实际上却经常有关系。
关于材料磁导率的测量，一般使用的测试频率都不高，经常在1kHz或10kHz的频率测试。测试信号一般都是使用正弦信号，因为频率不高，样环绕组线圈阻抗的电阻部分可忽略不计，把绕组线圈看作一个纯电感L接在测量仪器上。测试等效电路如图3所示，仪器信号源产生的电压有效值为U，Ri为信号源的输出阻抗。由图3很容易写出磁化电流的表达式：
(10)
上式中，ω为仪器信号源的角频率，L为样环绕组线圈的电感。
L=μ0μN2Ae /le (11)
(11)中，Ae为磁心的有效截面积，le为磁心的有效磁路长度。如果把环型磁心的Ae和le代入，(11)式就会变为与(6)式的结果相同。
测试电流产生的有效磁场强度峰值Hm为：
(12)
把(10)式和(11)式都代入(12)式得到：
(13)
由(13)式可知，当(ωμ0μAe)2N4远小于le2Ri2时，(13)式可近似为：
(14)
上式告诉我们，测试线圈匝数很少时，测试磁场强度与匝数成正比。随着匝数的增多，当达到(ωμ0μAe)2N 4远大于le2Ri2时，(13)式可近似为：
(15)
由(15)式可知，测试线圈匝数太多时，测试磁场强度又会与匝数成反比。
从以上分析得知，测量磁导率时，样环中的磁化场强度与测试线圈的匝数有关，当匝数为某一定值时磁场强度就会达到最强值。而材料的磁导率又与磁化场强密切相关，所以导致磁导率的测量与测试线圈匝数有关。现在结合图1具体讨论匝数对磁导率测试的影响。
4.2.1 测试电压U较低的情况
如前所述，对于高档仪器，如Agilent 4284A精密LCR 测试仪，它的测试电压可以调得极低，以至于测试磁场强度随匝数的变化达到最强时，仍然没有超出图1所示的起始区。这时测得的总是材料的起始磁导率μi，它与测试线圈匝数N无关。用同一台仪器，如果把测试电压调得比较高，不能再保证不同匝数测得的磁导率都是起始磁导率，这时所测得的磁导率又会与测试线圈匝数有关了。
4.2.2 测试电压U不能调的情况
绝大多数测量电感的简便仪器，其测试电压和频率都不能灵活调节。如 2810 LCR电桥，其测试频率为100Hz或1kHz，测试电压小于0.3V。由于这种仪器的测试电压
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