摘要：  APF是改善电能质量的重要手段，近年来引起学术界和工程界的极大关注。对基于ip—iq变换的谐波电流检测算法的理论研究较多，但对于检测效果影响很大的LPF研究较少，尤其对于检测单次谐波时的LPF设计没有区别对待。本文根据已有的LPF设计方法，详细分析Butterworth滤波器和平均滤波器的各种性能，并结合存在的交流分量，证明了最适合检测单次谐波的是平均滤波器。仿真及实验结果证实了理论分析的正确。

关键字：  有源电力滤波器，电能质量，ip—iq变换，LPF

1 引言
    APF概念早在上世纪70年代就被提出^[1，2] 。之后经过十多年发展，特别是在瞬时无功功率理论提出之后，有源滤波器才进入实际应用阶段。进入上世纪90年代之后，有源滤波作为抑制电网谐波、改善供电质量的一项重要技术，在日本、美国、德国等工业发达国家已得到了高度重视。
    迄今为止，已有多种谐波检测方法被提出^[3-6] 。如：基于瞬时无功功率理论的谐波检测方法、基于DFT(Discrete Fourier Trans-formation)的谐波电流检测方法、基于小波变换的谐波检测方法、基于ip—iq变换的谐波检测方法以及基于人工神经元网络的谐波检测方法等。在工程上应用最多的还是基于瞬时无功功率理论和基于i_p—i_q变换的谐波检测方法。在所有基于i_p—i_q变换的谐波和基波无功的检测方法中，都要用到数字低通滤波器(LPF)。在i_p—i_q变换算法中，数字低通滤波器用于从总电流中获取其基波分量，显然，低通滤波算法的性能直接决定着检测方法的精度和动态跟踪速度，并最终影响APF的谐波补偿性能。
    常用的数字低通滤波器主要有IIR(无限冲击响应)及FIR(有限冲击响应)。常用IIR数字低通滤波器设计的方法有Butter-worth(巴特沃思)、Chebyshev(切比雪夫)Ⅰ、Chebyshev Ⅱ和Elliptic(椭圆)滤波器。考虑动态响应灵敏度和计算精度等因素时，But-terworth低通滤波器的效果最好，Chebyshev Ⅰ次之，其次是：Elliptic和Chebyshev Ⅱ；在同一类型的ⅡR数字低通滤波器中，不同阶数的幅频特性差异明显，在电流检测中的应用效果也不相同。考虑检测的精度以及动态响应速度，一般选取2阶或3阶Butterworth滤波器。FIR滤波器的最大优点是可取得线性相位且不存在稳定性问题。为了获得好的通带与阻带衰减，滤波器阶次往往较大，因此缺点是滤波时计算量较大，不易实时实现。
    LPF对于基波分量获取的影响较多文献做过研究，但对于单次谐波检测算法中的LPF的设计方法及特性还少有研究。不同于获取基波分量的LPF，在单次叠加补偿算法中，直流分量幅值远小于交流分量。而且市售并联型国外产品中，响应时间很多在10ms以内，这对负载快速波动的应用场合非常重要。本文根据已有LPF的设计方法，针对单次叠加算法的LPF设计及快速响应时间的获取进行深入研究，从中找出最合适的LPF。
    2 理论研究
    在ip—iq变换算法中，最常用的LPF是Butterworth滤波器和平均滤波器。Butterworth滤波器是IIR滤波器，具有递归结构。平均滤波器又称为均值滤波器和滑动窗式滤波器，是FIR滤波器，具有非递归结构。虽有文献采用平均滤波器，但对其滤波性能并没有详细研究，而且针对单次谐波检测算法到底哪种滤波器更适合(动态响应、交流分量衰减)也需进一步研究。
    2.1 Butterworth滤波器
    Butterworth低通滤波器的传递函数写成差分形式为：
(1)
    式中，m为Butterworth低通滤波器的阶数。
    根据数字信号处理理论中滤波器的设计方法，Butterworth数字低通滤波器是由模拟Butterworth滤波器通过离散变换转化而来。需知道的设计参数包括通带截止频率fp，通带最大衰减αp，阻带起始频率fs，阻带最小衰减αs。一般情况下取αp为3dB，这时只需确定滤波器阶数N，N确定方法如式所示：
(2)
    阶数N确定后，根据N阶Butterworth多项式及归一化频率可得对应的S域传递函数，用双线性变换得z域传递函数进而得到如式所示的差分方程。
    因为关系到输出的响应速度，瞬时无功中的LPF必须保证一定的响应速度(一般小于一个基波周期)。在这种情况下N取2或3，超过3时LPF的响应时间将超过一个半基波周期。图1给出了N为2且采样频率为12.8kHz时，通带截止频率fp分别为100Hz、50Hz和25Hz时的单位阶跃响应。
    图1 Butterworth低通滤波器的单位阶跃响应
    2.2 平均滤波器
    平均滤波器又称为均值滤波器和滑动窗式滤波器，是FIR滤波器，具有非递归结构，即当前输出只和输入有关，系统的传递函数只有零点，故系统总是稳定的。虽有文献[8，9]采用平均滤波器，但对其滤波性能并没有详细研究，而且针对单次叠加的算法到底哪种滤波器更适合(动态响应、交流分量衰减)也需进一步研究。
    平均滤波器对应的时域差分方程是
(3)
    平均滤波器的频域响应为
(4)
    N为10且采样频率fs为12.8kHz时，平均滤波器的幅频响应如图2所示，图中横坐标和纵坐标都采用了均匀分度，显然这是一个低通滤波器，在m/N·fs，m=1，2，…，N-1处，其幅值为零，其主瓣的单边的带宽为fs/N。平均滤波器在阻带内是有纹波的，这点在衰减交流分量时是不利的，但对于瞬时无功算法中的LPF，需要滤除的是交流分量的频谱不是连续的而是一些离散的点，只要选择合适的累加点数N，交流分量是可以滤除的。对离散环节，除低频段与连续系统比较相似外，最突出的差别是，幅频特性周期性的重复，周期为fs。
    图2 N为10时平均滤波器的幅频响应
    通过z反变换，平均滤波器的单位阶跃响应对应的采样函数为
(5)
    根据式(5)，对于单位阶跃信号，平均滤波器的响应时间为N个采样周期，N为累加的点数。无论N为何值，滤波器输出都是无超调的。图3给出了一个工频周期采样256点(采样频率为12.8kHz)时，N分别为64、128和256时的单位阶跃响应输出。N为64、128和256时，响应时间分别为0.25、0.5和1个
工频周期，且输出都没有超调。这说明只要改变累加点数N，可以任意改变平均滤波器的响应时间，这点对于瞬时无功算法非常有益，由于N与响应时间有明确的对应关系，控制N就可以保证响应的快速性。
    图3  平均滤波器的单位阶跃响应
    2.3 交流分量
    对于LPF而言，交流分量的幅值和频率是非常重要的，只有对信号中包含的交流分量产生有效的抑制作用，LPF的设计才是合理的，故对信号中包含的交流分量进行研究。
    对于电网中最典型的谐波源——三相桥整流器，假设其交流侧电抗为零，直流电感为无穷大。忽略换相过程和电流脉动时，电流基波和各次谐波有效值分别为：
(6)
    式中，Id为直流侧电流。
    由此可得以下简洁的结论：电流中仅含6m±1(m为正整数)次谐波，各次谐波有效值与谐波次数成反比，且与基波有效值的比值为谐波次数的倒数。根据文献的分析，若三相对称，则6m+1次谐波为正序谐波，6m-1次谐波为负序谐波。
    k=6m±1(m为正整数)次电流的有功分量和无功分量均包含谐波，对于LPF而言，其中频率最低且幅值最大的谐波是最难滤除的。根据式，检测6m+1(m为正整数)次谐波时，对6l+1(l为0或正整数)次电流而言，有功分量ipkp和无功分量iqkp均包含次数为6j(j为正整数)且有效值为Ij(j为正整数)的谐波，故最低次谐波的次数为6、最大谐波有效值为I1，此时m为1且l为0。根据式，检测6m-1(m为正整数)次谐波时，对6l-1(l为0或正整数)次电流而言，有功分量ipkn和无功分量iqkn均包含次数为6j(j为正整数)且有效值为Ij(j为正整数)的谐波，故最低次谐波的次数为6、最大谐波有效值为I1，此时m为1且l为0。综上所述，k=6m±1(m为正整数)次电流的有功分量和无功分量均包含次数为6j(j为正整数)且有效值为Ij(j为正整数)的谐波，而且最低次谐波的次数为6、最大谐波有效值为I1。
    根据式(6)，谐波有效值与基波有效值的比值为谐波次数的倒数。k次电流的有功分量和无功分量所包含的直流分量与最低次谐波的最大有效值I1相差很多，如k为7时，设三相整流桥的触发角为0。(此时直流分量最大)，则I1是直流分量的4倍，这对LPF的设计提出了很高的要求。由于响应时间的要求，But-terworth低通滤波器的阶数受到了限制，但为了衰减交流分量，尤其是幅值比直流分量大很多的6次谐波，通带截止频率必须取得较低，这很大程度上又会限制系统的响应速度。

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    3 仿真分析
    按照图1给出的单位阶跃响应情况，Butterworth滤波器的阶数N取为2，研究通带截止频率fp分别为100Hz、50Hz和25Hz时对6次谐波的衰减情况。为了对比平均滤波器和Butterworth滤波器的衰减效果，令采样频率fs为12.8kHz，将它们的幅频特性绘于图4中。图4(a)中平均滤波器的累加点数N为128，根据式(4)，在频率为m·100Hz(m=1，2，…127)时幅值为0，故对于6j(j为正整数)次的交流分量(其中包括6次谐波)，平均滤波器可实现完全的衰减。从图4(a)中可看出，由于存在阻带纹波，除去m·100Hz(m=1，2，…127)的点，累加点数N为128时的幅频特性在高频时衰减效果还不如fp为100Hz的But-terworth滤波器。图4(c)中平均滤波器的累加点数N为256，根据式(6)，在频率为m·50Hz(m=1，2，…255)时幅值为0，故对于6j(j为正整数)次的交流分量(其中包括6次谐波)，平均滤波器可实现完全的衰减。对比图4(a)和图4(b)，虽然还存在阻带纹波但累加点数N为256时的幅频特性在高频时衰减效果已经和fp为100Hz的Butterworth滤波器相当。
    不仅对于最难滤除的有效值为I1的6次谐波，N为128的平均滤波器就可将其衰减为0；而且对于k次电流的有功分量和无功分量所包含的6j(j为正整数)次交流分量，N为128的平均滤波器均可将其衰减为0。从图4(b)可看出fp分别为100Hz、50Hz和25Hz的Butterworth滤波器，在频率为300Hz(6次谐波)时，衰减率分别为0.11、0.028和0.08。由此可见，虽然平均滤波器存在阻带纹波，但对于ip—iq变换算法计算过程中需要滤除的6j(j为正整数)次交流分量，N为128的平均滤波器均可将其衰减为0。但是Butterworth滤波器不能将这些交流分量衰减为0，尤其对于最难滤除的有效值为I1的6次谐波，只有将fp取为25Hz才能得到所需的衰减率，但这时的动态响应较慢(见图1)。
    图4 Butterworth滤波器和平均滤波器幅频特性的对比
    综上所述，对于瞬时无功算法中需滤除的交流分量，N为128的平均滤波器也要好于或等同于fp为25Hz的Butterworth滤波器。而且平均滤波器的响应时间只有10ms，但fp为25Hz的Butterworth滤波器的响应时间要达到30ms。通过以上分析，可明显看出，无论是动态响应还是对交流分量的衰减，N为128的平均滤波器比Butterworth滤波器都具有优势，N为128的平均滤波器是应优先选用的数字LPF。
    以触发角为0°、直流侧电流为lOA的三相桥整流器作为谐波源，以检测7次谐波电流为例，通过Matlab对平均滤波器和Butterworth滤波器的效果进行仿真验证。
    首先研究检测基波电流时的情况，图5(a)给出分别采用fp为25Hz、50Hz、100Hz的Butterworth滤波器和N为128的平均滤波器，检测基波时基波有功电流ip的波形，可看出除了fp为100Hz的Butterworth滤波器的输出有少许纹波外，其余滤波器输出均是光滑的。图5(b)给出分别用平均滤波器和fp为100Hz的Butterworth滤波器作为LPF时a相基波电流的波形，可看出采用fp为100Hz的Butterworth滤波器时检出的基波电流有少许谐波，这是由于滤波器对6次谐波的衰减不够造成的。通过对比，可得结论为：对检测基波电流而言，除响应时间的不同，以上滤波器(不包括fp为100Hz)均可准确的检出基波电流；N为128的平均滤波器除响应时间快外，与fp为25Hz和50Hz的Butterworth滤波器相比并无优势。
    图5  检测基波时不同滤波器的对比
    接下来研究检测7次谐波电流时的情况，图6(a)给出分别采用fp为25Hz、50Hz、100Hz的Butterworth滤波器和N为128的平均滤波器，检测7次谐波时7次有功电流ip的波形，可看出除了平均滤波器输出是光滑的，其余输出均有纹波，fp为100Hz的Butterworth滤波器最为严重、6次谐波的幅值已接近要获取的直流分量。图6(c)给出采用fp为100Hz和50Hz的Butter-worth滤波器作为LPF时a相7次谐波电流的波形，可看出检出的7次谐波电流含有很大的6次谐波，这是不能允许的。从图6(b)可看出，采用fp为25Hz的Butterworth滤波器时，虽然检出的电流含有一定的6次谐波，但是还是可以接受的，可是响应时间过长(约30ms)制约了其在负载快速波动场合的应用；采用平均滤波器时，准确、快速(10ms)地检出了7次谐波。虽是以检测7次谐波为例，但对于其余6m±1(m为正整数)次谐波，以上分析也是成立的。
    通过对比，可得结论为：对检测单次谐波电流而言，N为128的平均滤波器可准确且快速的检出谐波电流；其余滤波器都有检测误差，fp为100Hz和50Hz的Butterworth滤波器误差较(a)
(b)
(c)
    图6  检测7次谐波时不同滤波器的对比
大，不应考虑，fp为25Hz的Butterworth滤波器虽误差较小但响应慢。相比其他滤波器，N为128的平均滤波器在检测单次谐波时具有明显的优势。
    3 实验结果
    图7给出了采用不同滤波器时的实验结果。图7(a)和图7(b)检测5次谐波；图7(c)和图7(d)检测7次谐波。图7(a)和图7(c)给出了采用N为128的平均滤波器时，分别检测5次和7次谐波电流时的有功电流ip和指令电流的波形。图7(b)和图7(d)给出了采用fp为50Hz的Butterworth滤波器时，分别检测5次和7次谐波电流时的有功电流ip和指令电流的波形。对比图6和图7，仿真结果和实验结果一致，证实了理论分析的正确。
(a)
(b)
(c)
(d)
    图7  系统电压和电流波形
    4 结语
    本文通过详细的理论分析及仿真研究，找出了最适用于基于ip—iq变换检测单次谐波算法的LPF以及具体的设计方法。实验结果证明了平均滤波器比Butterworth滤波器更适合于检测单次谐波。
   

  参考文献
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  作者简介
    李春龙，男，1977年生，博士研究生，主要研究方向为数字控制在电力电子技术中的应用、有源电力滤波器的相关技术。
   卢家林，男，1973年生，博士，主要研究方向为逆变器控制及其并联技术。
   白小青，男，1966年生，硕士，中国电源学会理事，中国电工技术学会电力电子学会理事，全国电力电子学标准化技术委员会委员。