1引言
典型的磁共振成像(MRI)系统包括三大主要元器件：①沿圆柱体轴心方向产生很强的且均匀的磁场之圆柱形超导磁体；②在三个正交方位上产生梯度磁场的三个磁场梯度线圈；③在Lamor频率下，为实现磁共振信号激励与检测的一个RF天线。
在系统的这些元件中，高性能的梯度磁场线圈是关键元件。它能够在人们关注的体积范围内，在其中的特定方向上产生一个线性变化的磁场。在MRI系统尺寸的平面几何形状以及放大器结构的限制下，为设计极小电感量的梯度线圈，研究人员提出了一种Lagrange（拉格郎日）乘子计算法。利用这种求最小值的方法，依据贮存磁能和从成像所要求的磁能量出发，选择出一组磁场集束点，因此建立了实用函数F。使F值达到最小值时，限定尺寸的平面梯度线圈便可获得连续的电流密度分布，运用“流函数”（Stream function）方法求解连续分布电流，离散的电流图形即可形成。为证实这种理论，对离散电流回线可以使用Biot-savart定律进行梯度磁场的重新计算。采用这种方法已经设计生产了1.0m×1.0m的限定尺寸的双平面Y轴向的梯度线圈，在有334A电流流经这个线圈时，可以对30cm直径范围内的球形体产生具有7.1μH电感量的40mT/m的梯度磁场。
由于人体的横截面积是椭圆双平面几何形状，梯度线圈的造型与人体的形状是一致的，这对于人体器官成像极为理想。基于同样的原因，已开发成功的平面梯度线圈可以用于常规的和受干预的两类磁共振成像系统中。有文献报道称可以通过许多平面几何形状设计极小能量的梯度线圈。经过研究，人们发现了在无限平面上电流密度的最小能量解。在实际的梯度线圈设计中，发现了电流密度在空间是集中的，最终设计成功的梯度线圈的电流图形是一个无限延伸的立体锥状结构，以满足有限尺寸的要求。但在立体锥状电流图形成的过程中，线圈的有效电流分布被改变了，从而使线圈的使用效果达不到最优状态。为了克服这个问题，能够设计出一种直正限定尺寸且能量最小的双平面梯度线圈，研制者提出了一种完全的解析方法。这种方法可以为磁共振成像的应用进行系统的设计并优化限定尺寸的梯度线圈。在该方法中，电流密度首先被分解成为一个二维（2D）傅立叶级数展开式，电流解将在一些选择的空间位置上产生所需要的磁场量。最小能量的电流解即可求得。
本文提出了设计限定尺寸的平面梯度线圈的解析论方法。
2设计理论
假设主磁场的方向沿着Z轴（Bo=BoZ）。所以将集中研究磁场Z分量沿线圈的Z轴线性地变化的、对称的、有限尺寸的双平面Y梯度线圈的设计程序。虽然磁场的X、Y的两个分量都存在，但它们对磁共振成像图形的影响可以忽略不计，故本文将不作讨论。在平面几何学中，用于传统的磁共振成像系统中的双平面梯度线圈对称地放置在XZ平面的两边，组成了两个有源电流平面，见图1所示。
两个电流平面中的平面电流密度（X分量）可写成：
 (1)
式中，a分别用“+”表示上层和“-”表示底层的两个平面之间的间隙之距离的一半，同时，利用上层平面上电流密度的傅立叶解，可以将式(1)进而表示为：
 (2)
式中，α，β表示两个互易的空间变量。而jx(α，β)表示电流密度的傅立叶分量。实际上，对称的y双平面梯度线圈的上层和底层平面之电流密度分布是相同的。在笛卡儿坐标系中，对于自由空间格林函数关系，电磁场方程的解析式表达如下，并很容易求得其解。
 (3)
式中，y>、y<分别替代了最大值（y，y′）和最小值（y，y′）。采用格林函数表达式，矢量电位（-a<y<+a）的x分量则表达为：
 (4)
磁场的通解可以用矢量电位的旋度求得。因为从几何形状考虑，分量Ay是零，而磁场的Z轴分量即可以用下式求得：
 (5)
在原式中，电流密度被限制在两个平面的表面，同时必须满足电荷不间断的方程式，采用表述表面电流密度电荷守恒的方程式，电流密度两个分量关系的表述为：
αjx+βjz=0 (6)
引起磁场的Z分量，由对称的双平面梯度线圈产生，其解析式为：
 (7)
式中，sinh(t)表示双曲线正弦函数。贮存在梯度线圈内的磁场能量依据频谱电流密度分量给出方程为：
 (8)
3设计方法
在一个限定尺寸的平面上，表面电流密度函数的X分量，在二维（2D）方向上通常可以扩展为以下傅立叶级数：
 (9)
式中，“+”表示顶层的电流面，m和n是两个不同阶的整数指数，L表示在两个维度（-L/2<X，Z<L/2）上电流面的尺寸。在傅立叶空间，表面频谱电流密度的表达式为：
 (10)
式中，无量纲函数ψn(t)由上面的傅立叶电流密度表达式推导出来：
 (11)
为方便计，在函数ψn(t)中解释长度（L）的相关因子被省略了。将频谱电流密度展开式代入磁场表达式，可以发现在电流矩阵组成部分C中产生的磁场是一个线性函数，表达式为：
 (12)
运用表达式（12），在一些选取的空间位置上，其磁场的制约方程式可以解析为：
 (13)
式中，j(=1，2……，Nc)是磁场制约点的指数，其对应的坐标是（xj，yj，zj）；Bzj是制约点上a值的z轴磁场分量；m、n是两个整数指数；b表示一个矩形矩阵，它们的要素由方程式（12）确定。在矩阵形式中，这些磁场制约方程式可以写成：B=bTC，式中B[=（Bz1，Bz2……，BZNC）T]是目标磁场值的圆柱矢量；C表示电流展开系数的圆柱矢量。
依据电流展开系数，贮存的磁能可以再写成下式：
 (14)
式中，W表示贮存的磁能矩阵，它们的要素是：

 (15)
为了求解贮存的磁场能量为最小，同时满足设置的磁场制约电流系数C的解，根Euler乘法，合并所有磁场制约点的能量为实用函数F，可以表达为：
 (16)
式中的λj代表Langrange乘式；式（16）再代入矩阵形式中，相同的能量函数可以简化为：
 (17)
式中，λ表示尺寸Nc的圆柱矢量。在一组磁场制约点的状况下，最佳电流密度矢量相当于最小能量状态，由下式表示：
 (18)
4设计举例
对于整个人体成像使用的限定尺寸的对称于y轴的梯度线圈，其几何尺寸和磁场要求规定为：X坐标和Z坐标维度上的两个平行电流平面的尺寸（在具有0.180m半间隙距离时）为1.0m和1.0m。在X座标和Z坐标两个维度上，144系数被用来描述对应于第24阶展开式的未知表面电流密度。四个磁场制约点被选择用作设计沿y轴的能够产生40mT/m的梯度磁场强度的线圈，见表1所列。
在限定的平面上的连续电流密度可以通过方程式（9）由优化电流矢量计算。为实现所希望的使用一组离散的电流线传递恒定的表面电流密度，可以首先引入辅助流线函数S（X，Z）连续方程，结果，满足了如下方程：
 (19)
流线函数可以通过对电流密度的表达式的解析获得：
 (20)
假设电流回线的总数固定在N，单个回线要求的电流Io由下式求出：
 (21)
式中，Smax、Smin分别是Sy函数的最大值和最小值。最大值和最小值所对应的空间位置被认为是电流流经的峰顶中心。所有携带电流的导体的位置用轮廓线标出，它们的值则由下式定义：
 (22)
5结论
设计为具有3.952J最小贮存磁场能量的y梯度线圈求得了所有的电流系数（144）。Langrange算式的值见表1所列。在XZ平面（Z>0）一半时，查得流线函数的Smax和Smin分别是3277.9A和-667.7A。对于离散的第12回线（N=12）得到的线电流Io是334A。在有限尺寸的平面上，对应的电流线图形由图2所示。梯度线圈的自感量是71μH（2E/Io2）。为了验证这种数字计算法的正确性，磁场计算利用Biot-savart定律由电流线图形进行。算出的磁场（Bz）满足设计要求，如表1和图3所示。
限定尺寸的最小能量的双平面梯度线圈的完整设计解析计算方法已经进行了公式化。一组梯度线圈的性能参数从电流密度分布的能量优化解中得到。这种计算方法所得结论与无限尺寸双平面梯度线圈的结论一致。将有限地制约尺寸的要求在设计时进行考虑，可以使设计者对实际线圈的几何尺寸进行绝对优化设计。所以，这种能量最小化的设计方法可以在现实中得到可能的最佳设计。该方法也可以应用到其它相似的梯度线圈的设计与优化之中。

参考文献
[1] IEEE transactions on magnetics，July 1998，Volume 34.No.4，P2162-2164
[2] SMRM annual meeting，1220，1993.
[3]4th SMR anuual meeting， New York，125-129，1996.