1 引言
提高功率变换器的开关工作频率是提高其功率密度的最有效方法之一，但也带来半导体开关器件以及功率磁性元件的损耗急剧增大，导致温升增加，限制了功率变换器功率密度的提高。功率半导体器件的进步以及软开关技术有效减小了开关器件的开关损耗，但是功率磁性元件的高频损耗仍很突出。高频功率磁元件线圈技术为减小高频功率磁元件损耗的重要措施之一，正日益受到重视，其内容包括开发新型线圈结构[1-3]、磁芯结构[4-7]，建立线圈损耗模型[8-11]，研究线圈设计技术[9，10]等。国外业界和学术界对线圈技术展开了较多研究，国内虽开展了深入的研究[5，7， 12， 13，18，19]，但还不够广泛，许多开关电源工作者对此技术还较陌生，限制了线圈设计新技术的普及应用。
与传统立式变压器比较，平面变压器具有良好的散热特性、参数一致性以及更灵活多样的线圈结构和连接方式，可以满足开关电源高频化、低截面以及集成化发展要求，具有较高附加值[14-16]。对于高频大电流高功率密度平面变压器，为增加线圈导体的有效导电面积，同时减小线圈高频涡流损耗，并联PCB或铜箔已成为平面变压器重要并联线圈结构。对于并联PCB线圈，由于各并联层间电流不一定均匀，不仅使得其损耗模型与单根导体以及并联的里兹线线圈有很大的不同，而且也使得线圈的设计变得很复杂[17- 19]，无法按照对高频涡流效应的直观理解以及已有的高频功率变压器线圈损耗模型（如Dowell模型[8]以及SFD模型[10]）对其进行分析设计。且随着PCB工艺的发展，并联线圈的结构和连接方式将更加灵活多样，也使得并联PCB线圈的设计变得更加复杂。故必须通过建立其线圈损耗模型并开发出能系统化地处理各种任意并联连接结构线圈的软件，以便设计出高性能的并联PCB线圈，从而实现普及应用。
文章第二部分建立了任意并联（串并混联）的长形与环形PCB线圈损耗模型并进行实验验证，提出可以适用于任意连接方式的系统化算法模型。第三部分提出损耗模型的显式化处理方法，在此基础上开发出并联PCB线圈分析与设计软件。
2 任意并联PCB线圈损耗模型
2.1 长形线圈
图1为具有串并混联（线圈为先串后并）的2匝（为方便说明，本文仅以2匝线圈为例，当线圈匝数为任意匝时，有相同的损耗模型）长形PCB并联线圈结构（相应变压器磁芯中柱截面为长方形），为便于叙述，采用右侧的示意图，即线圈x-o-z截面表示该线圈结构。对于图1的长形PCB线圈，当线圈导体填充满磁芯线圈窗口宽度时，导体表面磁场只有x方向分量且为恒定值，此时线圈导体中电流密度可由场控方程以及安培定律求得，为
 (1)
 (2)
式中，D、W为线圈导体厚度和线圈窗口宽度， f、σ、μ分别为线圈电流频率以及线圈导体的电导率与磁导率，j为虚数单位，Hx_i、Hx_i+1、Ii分别为第i层线圈导体两侧的磁场强度及其电流。对于简单的单导体线圈、实心圆导线的里兹线和PCB的平面里兹线线圈[3]，由于各根导体电流均匀分配，即各导体的电流为已知的，故易由式(2)求得导体两侧的磁场强度，再由式(1)求得导体电流密度。但对于并联PCB线圈，由于涡流效应各并联层间电流不均匀分配，即各层中的电流未知而无法求得导体两侧的磁场强度，从而无法求得电流密度。因此必须先建立并联层间电流分配约束方程以求得各层电流。对于图1的串并混联线圈，各并联层间电流分配由如下的节点电流方程以及回路电压方程共同约束，
 (3)
 (4)
 (5)
 (6)
式(6)中U2、U4、U5、U3、ε分别表示电流I2、I4、I5、I3所流经线圈导体的压降及其所构成回路的感应电势。为求解上述约束方程，须把式(6)中的电压与电势采用电流表达。由欧姆定律微分形式，式(6)可表示成式(7)形式，式中Jy_2、4、5、3和ψ、L分别表示上
 (7)
述相应回路的电流密度和穿过回路的磁通以及构成回路的线圈导体长度，各物理量的矢量关系如图2。式(7)的电流密度通过式(1)、(2)可用电流表达，而ψ则通过对穿过回路中磁场强度积分以及式(2)可用电流表达，其中线圈导体中的磁场强度如式(8)。通过上述处理，即可实现四个方程求解并联导体的四个未知电流，在由式(1)求得线圈导体的电流密度后，再由式(9)即可求得线圈导体的损耗。式(1) ~ (5)、(7) ~ (9)即构成两匝串并混联PCB线圈的涡流损耗模型。
 (8)
 (9)
当长形并联PCB 线圈为只有一匝的普通并联，或者为采用先并联再串联构成多匝的PCB线圈时（如图6-(a)的4匝并联原边线圈），各并联层间电流分配的约束方程仍为节点电流和回路电压方程，但电压回路则比混联的简单。对于一层PCB板铺多匝线圈的并联PCB线圈（如图4-(b)的一层PCB板铺2匝的原边线圈），可先采用Dowell[8]模型把其变换为一维导体，而后采用与上述相同的电流分配约束方程进行损耗建模。
2.2 环形线圈
图3为具有串并混联的2匝环形并联PCB线圈结构（相应变压器磁芯中柱截面为圆形），采用线圈r-o-z截面表示该线圈结构，如图3右侧图所示。与长形线圈比较，环形线圈导体表面磁场虽也只有r方向分量，但其大小则是变化的，此时第i层线圈导体两侧半径r处的磁场强度Hr_i(r)、Hr_i+1(r)据安培环路定律为
 (10)
式中Ro、Rin表示环形线圈导体的内外径，ICir_i表示第i层环形线圈导体的电流。线圈导体中电流密度以及磁场强度可由场控方程求得，为
 (11)
 (12)
为求解并联环形PCB线圈的电流密度，也需求得线圈导体两侧的磁场强度，即并联线圈导体中的电流，为此可建立与长形线圈相同的并联层电流分配约束方程。但需注意，在建立并联环形PCB线圈回路电压方程时，电压回路应由具有相同半径处的线圈导体构成。在求得各层电流进而由式(11)求得电流密度后，由下式可求得环形线圈的损耗。
 (13)
式(1)、(8) 、(11)、(12)表明，环形线圈导体的电流密度、磁场强度与长形线圈有相同表达式，只不过边界条件或导体表面磁场强度表达式不同而已。为在损耗模型程序化时，能够与长形线圈损耗模型进行统一编程，以下进一步研究环形线圈导体损耗模型。式(10)分子与分母同乘R(R值可在Rin、Ro间任意取值)，则式(11)的线圈导体电流密度可表示为
 (14)
其中Jθ(R，z)表示环形线圈半径R处线圈导体的电流密度，把式(14)代入式(13)，经整理得
 (15)
可见经过上述变换，环形线圈损耗可直接采用R处的电流密度Jθ(R，z)进行直接积分求得，与长形线圈损耗式(9)有相同积分式，从而可实现统一编程。
当环形并联PCB 线圈为简单并联，或者采用先并联再串联构成多匝PCB线圈时，处理方法与长形相同。但对于一层PCB板铺多匝等宽度线圈的环形并联PCB线圈，由于多匝线圈匝间距处的电流发生突变，线圈导体表面的磁场强度解析式将无法求出，即无法建立解析损耗模型。文献[20]表明每层铺线圈匝数TPCB的环形PCB线圈采用变宽度，且各匝宽度Ln满足式(16)时有最小损耗，此时线圈导体两
 (16)
侧的磁场强度在忽略匝间距处没有电流影响情况下（匝间距比线圈导体宽度小得多），其两侧磁场强度与一层PCB板铺一匝线圈时的分布规律相同，此时线圈损耗模型与一层PCB板铺一匝线圈时相同，只不过每层的总电流为TPCB·ICir（ICir为每匝线圈的电流）。
2.3 损耗模型验证
图4-(a)为一个匝比为4:1平面变压器的PCB线圈结构示意图，磁芯规格为Ferroxcube/Phililips平面磁芯EE22/6/16，副边线圈S为一匝，由四层PCB并联而成，原边线圈P为四匝，每匝线圈由两层PCB并联而成，每层PCB板布置两匝线圈，匝间距为0.15mm，线圈实物如图4-(b)。原边线圈铜箔宽2.7mm，副边线圈铜箔宽5.5mm，所有铜箔厚均为0.1mm，铜箔间的绝缘厚度为0.15mm。图5为该结构线圈基于损耗模型计算的交流电阻和基于阻抗分析仪(HP4294A)短路法测量的电阻值（由于通用商业电磁场有限元软件Ansoft MaxwellR Version 8.0无法进行串并混联结构线圈仿真，因此模型验证时只能采用实验验证，而没有数值仿真验证），横轴为线圈电流频率，纵轴为线圈交流电阻。可见模型具有足够高的工程精度。
3 并联PCB线圈损耗模型显式化及系统算法
3.1 损耗模型显式化
由于线圈结构很多，且“2节”损耗模型中的回路电压方程很难用线圈电流显式化表示，即难于直接采用线圈电流表示回路电压方程，故难以编程实现，如果逐一列出各种并联结构下线圈回路电压方程则工作量非常巨大，而且也很容易出错。因此需进一步研究损耗模型的显式化方法，进而实现损耗模型的系统化和程序化处理，以利于研究和设计并联线圈。
根据叠加原理，多个激励作用于一个线性系统的响应等于各个激励分别单独作用时的响应之和。由于线圈系统为一线性系统，因此多电流作用下的回路电压可认为由线圈系统中各个电流分别作用产生的回路电压之和，如图1线圈系统的回路电压方程式(7)，可认为由3个电流I1 ~I3分别单独作用时（为节省Zii表达式篇幅，且I2与I4，I3与I5为串联相等，故在显式化的式(17)、(18)中把I2与I4，I3与I5各看作一个电流），在该回路上产生的电压之和，即式(7)可用
 (17)
表示，式中Zii称为单位阻抗，分别等于线圈系统第ii个电流的单位电流单独作用时，在并联线圈构成的闭合回路上产生的电压，由下式求得
 (18)
由于上式中Z1~ Z3对应的电流均已知，因此式(18)中的电流密度和磁通可分别由式(1)、(2)和对式(2)、(8)积分求得，从而实现回路电压方程的显式化处理。
对于一个有m1个线圈的平面变压器（包含串联、简单并联以及串并混联线圈），总电流数为m2个（在该线圈系统的总电流数中，一个串联线圈的电流数为一个；而对于并联线圈，则是一条支路对应一个电流数，如图1的2匝混联线圈并联支路数为2个，则其电流数为2），其中并联线圈为m3个，并联线圈中的并联组数为m4（m4不一定都等于m3，如对于图4的原边4匝并联线圈，也可采用先并再串的图6-(a)结构，在此结构时相串联的两组并联线圈是相互独立的，此时m3=1，m4=2；而对于图4，则m3=m4=1），并联线圈的总未知电流数为m5个，则此线圈系统需列出m=m5-m4个不相关联的回路电压方程，再与m4个节点电流方程（1个并联组有1个节点）构成该并联线圈系统中各并联导体层间电流分配的约束方程，即m5个方程约束m5个未知电流。如对于图6-(b)的变压器线圈（原边线圈为WP），线圈个数m1=4，总电流数m2=8，并联线圈个数m3=2（为WP、WS_2线圈），并联组数m4=3（WP线圈有2个并联组），并联线圈的总未知电流数m5=6（WP线圈有4个未知电流）。对于上述线圈系统，并联线圈层间电流分配约束方程所需的m个回路电压方程显式化处理为
 (19)
Z为单位阻抗矩阵，为m×m2矩阵。Zp，q表示线圈系统的m2个电流中，第q个电流的单位电流单独作用时，在由并联线圈所构成的第p个不相关联回路上产生的电压。I为线圈系统中所有电流，为1×m2矩阵。

对于该线圈系统，节点电流方程构成的方程组为
 (20)
IP表示各个并联线圈组的电流，为1×m4矩阵，S称为并联线圈结构矩阵，用于表示线圈系统中各并联线圈的连接关系，为m4×m2矩阵。Sr，s用0或1表示各并联线圈组连接关系，当Sr，s=1时，表示线圈系统第s个电流属于第r个并联线圈组；当Sr，s=0时，则表示线圈系统第s个电流不属于第r个并联线圈组（该线圈可能是串联线圈，也可能属于其它并联线圈组）。因此对于上述含m1个线圈的线圈系统，联立显式化处理得到的回路电压方程式(19)和节点电流方程式(20)，可形成并联线圈导体层间电流分配约束方程组式(21)。求解该方程组即可得到各并联层的电流，进而求
 (21)
得线圈损耗。在求解式(21)时，应把该线圈系统中已知的电流（串联线圈的电流）代入I。通过上述对回路电压方程的显式化处理，就可以非常容易得到任意并联结构线圈系统的涡流损耗模型的通用算法， 从而实现损耗模型的系统编程。
3.2 损耗模型的编程实现
通过上述分析可见，显式化的平面变压器任意并联PCB线圈损耗模型编程实现的关键在于生成单位阻抗矩阵Z 以及并联线圈结构矩阵S。由于在计算单位阻抗矩阵Z时，需要先选择并联线圈所构成的不相关联回路，然后再求出各单位电流在该回路上产生的电压，故需要知道线圈的连接结构，而并联线圈结构矩阵S的计算也需确定线圈的连接结构。为此本文采用向量来描述线圈结构，即通过向量标识出某一层PCB铜箔属于哪个线圈以及怎么连接。采用的向量分别为WindNum[k]、WindPar[k]与WindPSer[k]，其中k表示第k层PCB铜箔的编号。WindNum[k]表示第k层PCB铜箔所属线圈的编号，线圈编号为1，2，…，m1；WindPar[k]表示第k层PCB铜箔所属并联线圈组的编号，编号为1，2，…，m4，当第k层PCB铜箔属于串联线圈时，则令WindPar[k]=0；WindPSer[k]表示属于串并混联线圈的第k层PCB铜箔连接编号，编号为1，2，…，且把混联线圈中相串联的线圈编为相同号码，当第k层PCB铜箔属于串联线圈或者简单并联线圈时，令WindPSer[k]=0。如对于图6-(b)的并联线圈，可用式(22) ~ (24)的向量描述，其中PCB线圈以及并联线圈组的编号从WS_3线圈开始依次为1~4和1~3。通过上述三个向量就可描述具有任意结构的并联线圈，进而生成矩阵Z、S。
 (22)
 (23)
 (24)
基于上述损耗模型以及显式化算法，应用VB语言开发出具有友好人机界面的任意并联结构PCB线圈损耗分析软件，程序流程如图7，软件输入和输出界面如图8。输入界面如图8-(a)，输入的参数为：1.线圈基本结构参数，包括线圈形状（长形或环形）、线圈窗口宽度、线圈平均匝长（上述3个基本参数也可通过输入变压器规格尺寸获得）、线圈个数及各线圈匝数、PCB线圈总层数、PCB铜箔厚度与宽度、绝缘层厚度、各层PCB板的线圈匝数；2. 线圈连接拓扑，包括各层PCB铜箔所属线圈组(确定WindNum)、各PCB层铜箔所属并联线圈组(确定WindPar)、并联线圈铜箔内部连接编号(确定WindPSer)等；3.线圈电流参数，包括副边电流频率、波形（提供正弦波形以及任意波形）以及原、副边线圈的标识（该标识用于根据变压器磁势平衡自动计算出原边线圈的电流）。软件的计算结果输出界面如图8-(b)，输出参数包括，线圈损耗、线圈交流电阻、线圈导体电流密度分布、各线圈导体的电流幅值以及线圈窗口的磁场强度分布以及漏感等。此外，软件还可提供任意波形电流激励的线圈损耗频率特性曲线，如图8-(c)，以便于用户了解损耗的频率特性和比较各种不同的线圈设计的特点。
3.3 软件正确性的验证
本软件可适用于任意规格（因平面变压器的规格尺寸可作为软件输入的基本结构参数，故开发的软件适用于任意规格和形状的变压器）平面变压器的任意结构和连接方式的长形与环形并联PCB线圈的分析与设计，通用性很强，因此涉及的损耗模型以及模型显式化算法和软件编程比较复杂，在软件编程处理上比较容易出错，须研究系统检验软件正确性的方法。  
本软件的正确性涉及损耗模型及其显式化算法和软件编程三个层面的正确性。其中损耗模型的正确性已有“2.3”节实验验证。后两个层面的正确性通过以下方法检验。由于损耗模型显式化的目的在于实现损耗模型程序化，进而系统地求出各并联层的电流，所以如果求解的并联层电流是正确的，那么显式化算法及其编程也就是正确的。为此，本文通过检验基于损耗模型显式化算法所求解的各并联层电流是否使并联PCB线圈所有并联回路满足回路电压平衡，以验证所求解电流的正确与否。如满足，则求解的电流是正确的（损耗模型中求各并联层电流的回路电压约束方程选取的并联回路仅为不相关联的）。采用已生成的结构矩阵S，可以很系统地编程检验所有并联回路是否满足回路电压平衡。采用上述方法，通过大量各种并联PCB线圈结构的验证，结果表明开发的软件为正确的。
4 结论
所建立的高频功率平面变压器损耗模型适用于任意连接PCB线圈（包括串联、简单并联以及串并混联结构），有足够高的工程应用精度。为适应复杂的涡流模型和任意线圈连接方式，提出的显式化表达方法和损耗模型系统化算法很方便于实现模型的软件编程实现。通过检验并联PCB线圈所有并联回路是否满足回路电压平衡验证了软件的正确性。开发的软件具有很好的人机界面，为广大工程设计人员提供了对任意结构和连接的平面变压器长形或方形PCB线圈进行分析与设计的强有力工具。

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