图2 反激变压器模式与初级电感之间的关系

4 各个临界电感值的计算
4.1 电流不连续工作模式允许的最大电感LA
为使问题简化，我们设变压器效率η为100％。负载轻重用输入功率Pi的大小表征。重负载就意味着大功率，轻负载就意味着输入小功率。
要想在整个给定的输入电压范围内，对于整个负载范围内的功率要求，变换器都只工作在电流不连续模式状态。其高频变压器初级电感值L1不能大于LA，LA用下式计算：
                              (1)
式中：Emax为输入电压的最低值。
     Tonmax为开关管导通时间最大值。
            T为开关周期。
            Pimax为设定的最大输入功率。
4.2 电流不连续工作模式容许的初级电感最小值
如果初级电感过小，把Ton调到最小值时，输入功率可能仍降不到设定的最小值。所以，容许L1的最小值应为LB。其计算公式为：
                                        (2)
式中：Emax为输入电压的最大值。
            Tonmin为开关管导通时间的最小值。
            Pimin为设定的最小功率。
如果经计算，LB＞LA，就无法找到既大于LB又小于LA的L1值，只能取L1＞LB。这时变换器单用不连续工作模式不可能完成设定各条件下的功率传输任务，在重载低于输入电压时必然进入连续模式状态运行，完全不连续区不存在了。
4.3 电流连续工作模式需要的初级电感最小值LC
如果在负载最轻、输入电压最高时变换器也必需用连续模式工作，初级电感L1就不容许小于LC，LC的计算公式为：
                                (3)
如果L1＞LC，当E=Emin~Emax，P=Pimin~Pimax时变压器全以电流连续模式运行。一般情况下LC是很大的电感值，大于LC的L1值是无人愿意采用的。
4.4 满载均进入连续模式所需的初级电感最小值LD
如果E在Emin~∞范围内，满载时变压器均进入连续模式工作，所取的初级电感值不得小于LD，经推导LD的计算公式为：
                             (4)        
式中：匝比N=N1/N2，V0为输出电压。
4.5 对于限定范围的输入电压，满载时均进入连续模式工作所需要的反激变压器初级电感最小值LE为：
                               (5)
式中：Emax为输入电压的上限值。
对于连续模式工作反激变压器的初级电感值L1应选在LA与LD之间，若选L1大于LE，满载时变压器一定进入连续模式工作；若选L1小于LE，对于重载低压，变压器工作在连续模式，到轻载高压就会自动转化为不连续模式工作。
由于连续模式反激变压器在一定条件下会转变为电流不连续模式工作。所以我们先讨论一下纯粹不连续模式工作的反激变压器。
5 电流不连续模式反激变压器的设计
电流不连续模式的反激变压器是指输入电压E在给定范围内，对于给定范围内的所有负载，它都以电流不连续模式工作。设计步骤如下：
（1） 用（1）式计算出LA，用（2）式计算出LB，如果LB＞LA，单一的不连续模式反激变压器不可能满足设计要求。如果LB≤LA，取L1＝LA，这样，当输入电压为最低值Emin时，变压器工作在Ton=Tonmax状态达到满载。一般状态时，输入功率为:
                                  (6)
设其效率为100％时，输出电压V0已由文献［3］导出：
                             (7)
式中：RL为次级回路的负载电阻。
（7）式是单端反激脉宽调制变换器稳压的基本原理。当E或RL有变化时，可以调导通时间Ton的长短使V0稳定。
（2）根据磁心材料的功耗特性和直流叠加特性选定磁心的工作磁通密度Bm和有效磁导率μe。根据Bm和μe的设定值，计算磁心的有效体积Ve和变压器结构参数Ap。
　                         (8)
式中：μ0=4π×10-7　　　　
        （m4）              (9)
式中：占空比D用最大值，J是绕组中的电流密度、单位用A/m2。K为变压器填充系数，f为开关频率。
根据Ve和Ap值选定所用磁心的型号和尺寸。具体选用方法，请参考文献［2］。也可根据材料的饱和磁通密度Bs值凭经验或其他方法选定工作磁通密度Bm和有效磁导率值。
（3）磁心开气隙后，Br可略，认为每个周期内磁通密度的变化量△B=Bm-Br=Bm，根据法拉第电磁感应定律推出初级绕组匝数N1应为:
　　                     (10)
式中Ae为选定磁心的有效截面积。
（4）计算初级与次级绕组的匝比N，
N=N1/N2=Emin/(1/Dmax-1)  V0                   (11)  
根据N1和N计算出次级绕组匝数N2，
N2=N1/N                                    (12)
（5）N2的计算值一般不是整数，可把小数部分四舍五入使N2变为整数。如果N2的计算值过小，也可以只入不舍把N2变为整数。
N2确定后，用N2×N算出N1。算出这个N1值也可能不是整数。这时可把返算回来的N1值用四舍五入法变为整数。N1和N2都取为整数后，又用N1和N2算N：
　N=N1/N2　　                              (13)
这个用整数N1和N2计算出的匝比N，是实际要用的匝比值N。把这个N代回（11）式求得实际要用的最大占空比Dmax：
Dmax=NV0/(Emin+NV0)                          (14)
用（14）式计算出的Dmax算出实际要用的Tonmax为
Tonmax=TDmax                                  (15)
把（15）式再代回（1）式算LA。这时返算的LA即为设计用的真正L1。它可能与最开始用（1）式计算的LA值稍有偏离。
至此，初级电感，变压器磁心、初次级绕组匝数和最大占空比均已设定好了。
（6）用确定好的L1和N1计算出需要的磁心有效磁导率μe：
　　　              (16)
式中：le为磁心的有效磁路长度。
           Ae为磁心的有效截面积。
（7）用磁心的材料磁导率μ和有效磁导率μe计算磁心应开的气隙量lg：
lg=le(μ-μe)/μμe                               (17)
如果不知道材料磁导率μ，只知道磁心的电感因数AL，可用下式计算气隙量。
     (cm)                   (18)
照顾到习惯，式中有效截面积Ae的单位用cm2，电感因数AL的单位用nH/N2，初级电感L1的单位用nH，lg的单位为cm。
在实际中，lg的计算值只能作为参考，可在计算值的基础上微调lg，使L1在设计好的L1值范围内。
（8）初级电流的最大值为：
i1P=EminTonmax/L1                              (19)
（9）初级电流i1的有效值为I1：
                 (20)
I1达到最大时为I1max
                           (21)
关于变压器的绕组具体结构，本文不进行讨论。
6 电流连续模式单端反激变压器的设计原理
在不连续模式工作的单端反激变压器设计原理基础上，现在讨论连续模式工作的反激变压器的设计问题。所谓连续模式反激变压器是指重负载时以电流连续模式工作、轻负载时自动退为不连续模式工作状态，并不是说不管负载轻重或输入电压高低，变压器一定处于电流连续模式运行。
6.1 反激变压器工作在电流连续模式时的输入功率Pi的表达式
反激变压器工作在电流连续模式状态时，每个周期磁心把所储能量的一部分释放给次级回路，而释放的这部分能量必然等于初级电流变化存入磁心的能量。所以其传输功率的表达式可写成：
　　                        (22)
式中：Pi是输入功率，L1是初级电感量，i1P为初级电流的峰值，i1b为每个周期初级电流的起始值。T为开关周期。根据：
i1P-i1b=ETon/L1                                  (23)
（22）式可写成
Pi=ETon(i1P-i1b)/2T　                          (24)
式中：E为输入电压，
Ton为开关管导通时间。
由（23）式和（24）式联立可得到
                      (25)
或                                         (26)
由于电感L1的储能放能，实质上就是磁心的储能和释放能量，根据磁心每个周期内储能的增加和释放能量相等，可写出传输功率为：
　　　                      (27)
式中: Bm为工作磁通密度峰值。
Br为磁心释放能量结束时剩下的磁通密度，不是材料的剩余磁通密度。
Ve为磁心的有效体积。
μ0为真空绝对磁导率，μ0=4π×10-7
μe为磁心的有效磁导率。
（27）式中的Bm相应于初级电流i1达到i1P时的磁通密度，Br相对应于i1起始值i1b时的起始磁通密度。
6.2 反激连续模式变压器与不连续模式变压器之间的设计比较
有时输入电压的变化范围很宽，负载的变动范围也很大，用不连续模式的反激变压器无法满足设计要求。或者初级绕组匝数N1不大而匝比N很大造成N2过小不便绕制，可采用连续模式的反激变压器。
6.2.1 初级电感L1应大于LA，也大于LB。一般可在LA的2倍至4倍之间选定L1，设选定的L1是LA的n倍。
则L1=nLA                                    (28)
6.2.2 在Tonmax、传输功率和磁心都相同的条件下，如果不连续模式变压器初级电流达到的峰值为IAP，则改用连续模式变压器时，其i1的峰值和起始值可用下面的两个公式分别计算。
                                 (29)
                                       (30)
   初级电流起始值i1b与峰值i1P之间的关系为：
                                   (31)
6.2.3 由上式可知，当n为3时，i1b=0.5i1P，当n为4时，i1b=0.6i1P。由于磁心不变，气隙不变，电感应与匝数N2成正比，以此可计算出连续模式变压器的：
                                        (32)
式中，NA1表示初级电感为LA时需要的初级绕组匝数。
6.2.4   匝比N用下式计算
                          (33)
此式是输入电压处于最低Emin，开关管导通时间达到最大值Tonmax时磁心的磁通复位条件。当不是处于最低时，磁通复位的条件为：
                                (34)
（34）式可写成：
　　　　　                        (35)
对于（35）式的理解，我们与现行各文献所持观点有着重大分歧。现行各资料同意（34）式是反激变压器进入连续模式后，磁心的磁通复位应遵循的必要条件，于是就得出所以（34）式故成立的结论，再进一步就得出变压器进入连续模式后，输出电压V0用（35）表示与负载无关的结论【3】【4】。于是又得出靠调节导通脉宽Ton与截止脉宽Toff之比使输出电压V0稳定的结论。这样一来，就在无形之中把（35）式变成了以电流连续模式工作的反激变换器稳压的原理。
我们虽然也认为（34）式是磁通复位的条件，即变压器进入连续模式工作后，不管负载RL有何变化，必需保证（34）式成立。要使（34）式成立，匝比已绕定，V0要恒定，对于不同的E，只能有一个固定的Ton与Toff之比值。如果E固定后又把Ton与Toff的比值调大或调小，（34）式均被破坏。（34）式不成立了，磁心的磁通就不能复位。所以，靠调节Ton与Toff的比值使V0稳定是讲不通的。实际上Ton与Toff不是相互独立的量，它们的关系是：
Toff=T-Ton                                   (36)
把（36）式代入（34）得到
N1/N2=E/V0(1/D-1)                               (37)
（37）式表明，变压器在连续模式工作时，输入电压E增高时，占空比D必定缩小。
6.2.5 连续模式工作时的稳压原理
设变换器效率为100％。输出功率为
                                (38)
由（38）式与（25）式相等解得
　　　　　　　                       (39)
由复位条件解得连续模式时的导通时间Ton为：
Ton=NV0T/(E+NV0)                               (40)
由（40）式可知，连续模式工作时，对于一定的输入电压E，Ton也是个定值。由（39）式可知，当E、Ton、L1和T都固定后，RL变化引起V0变化时不能靠改变Ton的宽度来维持V0的恒定，而是靠初级电感的起始电流I1b的变化维持平衡。所以（39）式才能说明反激连续模式变换器稳压的原理。
那么，i1b是如何随着RL的变动而变化呢？因为（34）式是个临界状态，也就是说保证（34）式成立，当负载电阻RL小到一个定值时，每个周期开始时，上个周期的i2恰好降到零，当RL再减小时，负载加重，输出功率不能满足增大后的要求，造成输出电压V0降低。V0降低后，不管导通脉宽Ton增大与否，i2的降低速度V0/L2都会减小，这就造成当i1导通时i2降不到零，也就使得磁心的磁通密度B降不到零，有一个残留的磁通密度Br。下一个周期开始，i1要给磁心补充能量是从Br补到Bm，而不是从零开始。所以i1就从i1b升到i1p，使磁心的B从Br升到Bm。只要V0低于平衡条件（34）决定的V0，Br和i1b就不停的增加。由（25）式可知，i1b增大使得输入功率也加大，相应的输出功率也增大，使得V0不停的升高。当V0回复到（34）式决定的值时，（34）式又恢复平衡，每个周期内B的增量恰好等于BG1截止期间的下降量，即磁通复位，进入稳态工作。结果就是，负载越重，i1b和i1p越大，（i1p-i1b）之差不变，Ton/Toff之比也不变，（34）式仍不被破坏，磁通可复位，变压器稳定运行。（39）式是反激连续模式状态工作变换器稳压的基本原理。当然，若RL恒定，而E变化，Ton与i1b都会相应的变化，（34）式仍成立，V0仍稳定不变，说V0与RL无关是不正确的。
6.2.6 连续与不连续模式变压器的磁心工作状态比较。
假定用同样的磁心，在输出功率保证相同的条件下，两种模式变压器，工作磁通密度有下面的一些关系。若不连续模式变压器工作磁通密度为BmA，则改成连续模式变压器时，其工作磁通密度为Bm：
                               (41)
式中n=L1/LA，因为n＞1，所以Bm＞BmA。这意味着，用同样的磁心，把不连续模式的变压器改为连续模式后，磁心的工作磁通密度要升高，如果n选定为4，工作磁通密度就加大到1.25倍。
                                  (42)
磁通密度变化量△B为：
                (43)
6.2.7 也可用下式求N1：
                             (44)
可证明（44）式与（32）式等效。
6.2.8 当输入电压为最低时，变压器从不连续模式向连续模式过渡时，其临界模式所对应的临界功率为Pc：
                                    (45)
（45）式告诉我们，在输入电压处于最低下限值时，当输送功率小于最大功率的时，变压器工作在不连续模式，当大于时，就进入连续模式工作。
6.2.9 当输入功率为最大，输入电压由低向高增加时，变压器工作模式由连续向不连续过渡，其临界模式相对应的临界输入电压E0为：
            (46)
用（46）式计算出E0，与输入电压的上限值Emax作比较有三种结果：
（A）如果E0为正值，处于Emin与Emax之间，则当E＜E0时，变压器满载时工作于连续模式，当E＞E0时就转变为不连续模式工作。
（B）如果E0为正值且有E0＞Emax，这说明E达到最大值时，变压器仍不能转变为不连续模式工作，对给定范围内的所有电压，满载时都工作在连续模式状态。
（C）当E0的计算值为负值时，说明这个临界电压不存在，满载时不论输入电压有多高，均不能使变压器退出连续模式工作。当输入电压E→∞时，i1b→i1bmin，i1b的最小极限值为：
                             (47)
i1bmin与E0的符号永远相反。当E0大于零时，i1bmin为负值，表明它不存在。在E=E0时i1b降为零。
6.2.10 用连续模式工作选用磁心的有效体积可用下式计算
                              (48)
6.2.11 初级电流的有效值为
              (49)
式中IArms为不连续模式变压器满载时的初级电流有效值。由（49）式可知，磁心相同，功率相同时连续模式变压器比不连续模式变压器的初级电流有效值要小一些。
6.2.12 初级绕组铜损的比较
在磁心相同，功率不变的条件下，把不连续模式工作的反激变压器改为连续模式工作变压器时，其初级绕组的铜损之比用下式计算：
                  (50)
式中R1为连续模式变压器初级绕组电阻，RA为不连续模式变压器初级绕组的电阻，它们之比应等于。由（50）式可知，连续模式时初级电流有效值虽然比不连续模式减小，但铜损功率反而加大了。这是因为连续模式要求的初级电感较大，初级绕组匝数增多，所用导线总长度增长，其导线总电阻加大，所以绕组的损耗功率增大了。我们认为，说由于连续模式工作的反激变压器初级电流有效值减小，所以其铜损比不连续模式工作的变压器也将降低，这种说法是不正确的。
总之，连续模式工作的反激变压器工作状态与其负载轻重及输入电压的高低有关，其初级电流的波形简明扼要地示于图3。图3中虚线只表示相应的i2之下降波形示意图。曲线a表示满载时输入电压最低导通脉宽达最大值、i1p和i1b也达最大值。当负载变轻时，i1p和i1b同步下降而导通脉宽不变。当负载下降到一个临界值时，i1b降到零，如曲线b所示。如果负载再变轻，变压器就退回不连续模式状态，靠调节脉宽Ton稳压。如果保持满载，输入电压从最低开始升高，脉宽Ton就从最大开始缩短，i1上升的速率加大，i1p和i1b都有所降低。当输入电压上升到一个临界值时，i1b降为零，i1p降为一个最低极限值，如曲线c所示。输入电压再升高时，i1p不变而靠调节Ton稳压，即进入不连续模式工作，如曲线d所示。如果输入电压的上限值达不到这个临界电压值，这个变压器在满载时必定以连续模式工作。

图3 反激变压器连续模式工作时初级电流的波形

7 设计举例
基本上以文献［3］第149页上的例3为例，即： 
已知直接在工频电网整流下工作的单端反激变换器的最低直流输入电压为260V，最高值为340V，输出电压为5V，额定工作电流为20A，工作频率选用20kHZ。最大脉宽Tonmax=20μs，最小脉宽定为6μs，次级回路的二级管压降加上导线压降为1.3V。要求输入电压为最低时，负载电阻RL小到0.8Ω时反激变换器开始进入连续模式工作。试计算高频变压器各有关参数。
解：输入最大功率应为：
                      (5+1.3)×20=126   （w）
原来要求额定输出20A，即100W，又要求RL为0.8Ω时开始进入连续模式工作，而5V 0.8Ω对应的输出功率为31.25W，现在把最大输入功率的31.25％作为模式改变的临界功率Pc：
                Pc=126×31.25%=39.38    （w）
（一）先计算出用不连续模式工作变压器的最大初级电感值LA用（1）式计算。

                              =2602×(20×10-6) /2×50×10-6×126  
                              =2146×10-6    （H）
（二）用（45）式计算出L1与LA的比值
n=Pimax/Pc=126/39.38=3.2
（三）连续模式变压器需要的初级电感值为
L1=nLA=3.2×2146×10-6=6867×10-6      （H）
（四）不连续模式变压器额定输出时初级电流的峰值为：
iAP=EminTonmax/LA
    =260×20×10-6/2146×10-6=2.423   （A）
连续模式变压器额定输出时初级电流峰值用（29）式计算：
   （A）
（五）磁心有效体积的计算
选用开元磁材公司的KP4型锰锌功率铁氧体材料（相当于TDK公司的PC40），根据其直流叠加特性和功耗指标，在保证温升不超过40℃，其有效磁导率用到100时，工作磁通密度Bm可用到0.24T。于是可用（48）式计算所用磁心的有效体积Ve：

      
根据计算结果，查找出EC70磁心比较合适，它的Ve为40.1cm3，Ae=2.79cm2，le=14.4cm3。根据经验，只要Ve满足需要，绕线窗口就能满足要求。所以不再考虑窗口问题，决定采用PC40材质制造的EC70磁心。
（六）绕组匝数的计算和确定
先用（43）式计算出磁通密度B的变化量△B：
        
用（44）式计算初级绕组匝数：
N1=EminTonmax/Ae△B
              =260×20×10-6/(2.79×10-4×0.1143)=163.1   （匝）
用（33）式计算出输入电压最低，导通脉宽达最大值时需要的匝比N：
N=N1/N2=EminTonmax/V0(T-Tonmax)
  =260×20×10-6/(6.3×30×10-6)=27.513
次级绕组N2=N1/N=163.1÷27.513=5.928匝
为使N和N2有尽量小的变化，实取N2为6匝，N1取的是使N变化尽量小的整数，即165匝，匝比N实为27.5，与需要值基本一致。对最大占空比的影响很微。
（七）计算使变换器在满载时能退出连续模式工作的临界电压E0。用（46）式计算：
　　　
　　　   
计算出E0为负值，说明使变换器退出连续模式工作的电压不存在。当变换器满载工作时，总处于连续模式工作，当输入电压趋于无穷大时，满载时的初级起始电流i1b趋于最小极限值。这个极限值可用（47）式计算：
　　　
即当输入电压为∞时，初级电流i1b趋于0.0965A，不可能为零。
（八）初级电流有效值计算
先用（21）式计算不连续模式变压器初级电流有效值：

再用（49）式计算初级电流有效值：
      
          
此有效值的平方可用来与初级绕组的电阻相乘计算初级绕组的铜损。但不能用它与输入电压的乘积代表输入功率。所以，也不可用输入功率除以输入电压计算初级电流有效值。
（九）由于磁通复位的条件（34）式不能破坏，由（34）式看出，不管E值如何变，Ton与E只能是单值对应关系，即E变Ton必变。Ton与E的关系由（40）式表示。
（40）式告诉我们变压器在以连续模式状态工作时，当输入电压升高时，导通脉宽应变窄，这意味着输入电压升高变换器会提前进入连续模式工作。本例中，若E处于上限值340V时，变换器用连续模式工作使用的脉宽为：
Ton=NV0T/(E+NV0)　　    
    =27.5×6.3×50×10-6/(340+27.5×6.3)=16.88×10-6 （s）
这就是说，当输入电压处于上限值340V时，导通脉宽达到16.88μs时开始进入连续模式工作，传输功率再增大时，变换器不能用加大脉宽来增大功率，只能是靠产生起始电流i1b增加功率。
（十）变换器能够正常工作容许的最小功率极限值计算
　　　                    
上式计算说明，当输入功率小于6.1W，换言之，也就是次级回路总电阻大于6.5Ω时，变换器无法在高输入电压下工作，因为无法使脉宽小于6μs。
（十一）实际使用的有效磁导率用下式计算：
　　　   
这个值与设计值100相差无几。
（十二）实际工作磁通密度的验算
i1达i1p时产生的磁场强度Hm为：
  

Bm=μ0μeHm=4π×10-7×103.6×1822=0.2372     (T)      
由计算可知，由于实际采用磁心的有效体积比计算的Ve大一些，所以实际工作磁通密度为0.2372T，比计划的0.24T稍低一些。
（十二）查PC40的材料磁导率为2300，而设计需要磁心的有效磁导率μe为103.6，可用下式计算磁心需要的气隙量为