摘要：  文章提出了一种简单的方法，给出了包括二维(2-D)边缘效应在内的绕组交流(ac)损耗的估算方法。文章首先叙述用一维(1-D)分析法估算线绕绕组的损耗。然而，因为二维(2-D)边缘效应引起的附加绕组损耗非常明显，但又不能用1-D方法分析估算，故本文在1-D分析方法的基础上建立起了一组用1-D分析结果作校正系数的2-D边缘效应估算法。文章还采用有限元分析(FEA)法验证了所估算的结果。

关键字：  边缘效应，铜箔绕组，高频交流损耗，二维(2-D)分析法

在此需要指出的是，交流(ac)电阻值已经被规范为一个趋肤深度的直流(dc)电阻值。
图2是按照归—化ac电阻值和归-化带状导体厚度的函数关系绘制的。研究图2之后，我们可以看到，带状导体显然存在着一个损耗最小的最佳厚度。在自由空间中，带状导体的最佳厚度为πδ，而归—化的ac电阻值则为0.46Ω。
2.2 二维(2-D)分析
以上用1-D分析法研究了带状导体的特性，并用1-D FEA进行了检验。这个分析与检验是以假设带状导体是无限长为前提的，所以这个假设必须成立。然而，在高激发频率下，这个假设并不成立的。2-D边缘效应改变了带状导体内的电流分布，致使在带状导体的边缘附近的电流密度增高，这是由带状导体边缘附近的垂直磁场分量引起的，这个垂直磁场分量会引起较大的感生电流（见图3所示）。
2-D特性的数学描述是十分广延的。这是由于带状导体边缘的边界条件不容易确定。解决这个困难问题的方法之一是假设电流集中于导体表面的趋肤深度范围内。如果导体的厚度比趋肤深度大几倍，则这种假设成立。根据这一假设，并且假定导体表面的电流密度JS是已知的，那么，沿导体深度方向的电流密度分布为：
J=JSe-Kn                                                            (12)
式中，n为电流进入表面的标准深度，K由式(8)给出。
在甚高频段时，趋肤深度变得非常小。因此，导线表面近似于一条线状磁场流。在这种情况下，导体表面方向的电流密度分布会在导体表面上转变成静电电荷分布。所以，只要已知导体表面的静电电荷分布，就可以直接获得电流密度分布。
下面分析半径为ro的圆柱形导体的电流密度分布。圆柱体表面的电流密度可以使用具有足够精度的指数函数替代Bessel函数进行计算，其表面电流密度分布的表达式为：
                                (13)
该类导体的每单位长度的表面电荷密度分布为：
                                 (14)
将式(13)与式(14)比较，可以清楚地发现，如果总电荷(Q/l)用标量( I/δ)替代，那么，总电荷分布将相当于表面电流密度JS。导体表面的静电电荷分布等同于由导体外侧的标量电势给出的电场密度D。
为了求得由关系式F(x， y)=0给定的外形平面Z=x+jy内之总电荷(Q/l)的静电电荷分布，首先需要研究分析具有相同总电荷的平面W=U+jV的圆柱体外形的静电电荷分布，式中，|W|=r，r2=U2+V2。电场密度的标量势能为：
                           (15)
式中的C为常数。在Z平面内，如果有一个W=f(Z)的函数。则它能将以上的圆形线路转变成相似的由F(x， y)=0给定的线路，这样，该线路的标量势能为：
                         (16)
通过对Z求导V，电场强度和期望的电荷分布为：
                              (17)
式中的右下标S表示沿表面的分布。用式(16)和以()替代(Q/l)，可得出沿表面的电流密度分布为：
                    (18)
如果是具有相同截面积的椭圆形与矩形截面积相同，如图4所示，则简化了带状导体的求解问题。
按面积相等假设，带状导体尺寸与椭圆形的长轴和短轴有关，即：
 和                                 (19)
把椭圆形变成圆形，两种图形变换的形式为：
                      (20)
式中的C为焦距，即
                               (21)
将f(Z)代入式(18)并用x+jy代表Z，则可得出沿椭圆表面的电流密度分布为：
             (22)

具有4个趋肤深度（即b'/a'=25）的带状导体，沿其表面的电流分布如图5所示。在此应该指出的是，该电流密度已经被规范为与带状导体1个趋肤深度的均匀电流分布相应的量值。
由图5可以看到，由于在带状导体的边缘附近存在垂直电磁场分量，故在边缘附近的电流密度是非常高的。这就在带状导体内引起了附加损耗，这个问题将在下面分析叙述。
电流密度由式(22)计算给出，为此，带状导体内的ac损耗可用下式(23)计算：
                (23)
通过对式(23)积分，得出总ac电阻为：
                   (24)
式中，K是第一种类型和模数为c/b的椭圆全积分。这里要注意并且很重要的是，以上计算适用于aδ的情况。实际上，先前的解只适用于和a/δ>1.5相应的频率。在较低频率时，需要使用别的解决方案。Dwight提出了低频电源系列的解决方案，其中对任意点分段的电流密度分布之无限系列假定为：
J(x)=J0+J1x+J2x2+…+Jnxn+…                     (25)
此式可以计算每个分量的电流密度对带状导体每米总压降的作用，并得到总ac阻值和dc阻值的比值为：
                 (26)
其中：
P2=8μoσa'b'f                                 (27)
式中：K1=8.743×10-3，K2=3.84×10-4，K3=1.89×10-5。只有在P值很小时，由式(26)求出的解才收敛。这个解的上极限频率相当于a/δ<0.3。因此，对于(0.3a/δ<1.5)来说，存在频率间隙，而在频率间隙处采用任何解法都是不适用的。
Lotfi提出了一个渐近解决方案以用来填补频率间隙。根据前面的分析，在甚高频率的情况下，ac/dc电阻值比接近于高频渐近线，即：
                           (28)
而在低频时，ac/dc电阻值之比近似于低频渐近线，即：
Fac≈1+Cl  f 2    f →∞                                            (29)
当频率变化时，Ch和Cl控制任一渐近线开始的转角频率。这表明，相应于低频和高频渐近线的两个不同的频率fl和fh有2-0个频率响应。将式(28)和式(29)合并，得到总的ac/dc电阻值之比Fac为：
                  (30)

式(30)中的常数和功率由式(28)和式(29)给定的两个渐近线的相关方程式求得，即：
                                 (31)
                   (32)
而r=(K12-2K2)/K12≌11，β=r/2=5.5，α=2。最后得到的ac电阻值为：
Rac=Fac(f)Rdc                                                          (33)
按照以上结果，归—化厚度(b'/a'=30)的函数关系可绘出如图6所示的带状导体的ac电阻值。这里的ac电阻值已被规范为一个趋肤深度的dc电阻值。从图6可见，随着频率的变化，其综合解逐渐近似于低频解和高频解。此外，从图6中也可清楚地看到，带状导体的ac电阻值比用1-D模式分析估算的电阻值几乎高出85%，这一差值主要是由2-D边缘效应产生的。
2.3 校正系数
根据以上分析，我们可以引入计算2-D边缘效应的结果作校正系数来修正用一维分析预测的ac电阻值。校正系数是根据2-D分析预测的ac电阻值与1-D分析预测的ac电阻值之比率计算的。图7示出了用不同带状导体纵横比(b'/a')的归—化导电带厚度为函数的计算校正系数。就自由空间的带状导体而言，其总的ac电阻值为：
Rac=R1-D·CF(b'/a')                           (34)
式中，R1-D为1-D的电阻值，CF是以纵横比为函数的校正系数。将式(11)和式(33)代入式(34)，计算得出的校正系数为：
                 (35)
式中，Rac-n(1-D)是归—化的1-D ac电阻值，an为归—化的铜箔厚度。在此应该说明的是，所有的电阻值被规范为一个趋肤深度的dc电阻值。图7示出了以纵横比(b'/a')和归—化铜箔厚度an为函数的计算校正系数。这种分析得出的一个重要观测结论是，当纵横比(b'/a')较大时，ac电阻值较正系数增大。这似乎是与前述的用1-D分析得出的假设相矛盾的，因为在1-D分析中，是用大的纵横比将2-D问题简化为1-D问题，而当纵横比增大时，带状导体的dc电阻值减小。但是，由于大部分的电流在带状导体边缘附近流动，其ac电阻没有明显变化，因此，ac电阻值与dc电阻值之比增大。
图7所示计算获得的校正系数只适用于自由空间中的带状导体。然而在实际应用中，带状铜箔是绕在磁性铁心上的。因此必须考虑磁心的影响。下节将讨论这个问题。
3 磁性铜箔绕组的损耗分析
3.1 一维(1-D)分析
在磁心上以带状导体绕制的绕组存在的边缘效应损耗问题可以采用镜像法简化分析。使用这种简化法时，磁心的影响可以通过研究磁心范围内的镜像铜箔绕组和所含有的电流分量(μr-1/μr+1)I=αI之方程式进行分析。在磁心的磁导率非常大（如采用铁氧体磁心）的情况下，常数α=1。以下的分析中，将假设α=1。
根据以上假定，磁心上绕制的铜箔绕组之1-D ac电阻值可使用类同于自由空间中的某一种带状导体进行分析计算。对于如图8所示的多层绕组结构，其每层内的磁场密度分布由式(4)给出。
各个带状导体的上下表面的边界条件是：
                                 (36)
                                (37)
其中，第m层绕组的α=2(m-1)。而第一层绕组下部表面的磁场强度为0。因此，高磁导率的铁心支配着铁心上部表面的0场强边界条件。
在已知每一层内的场强分布，电流密度，即可计算得出第一层的交流(ac)功率损耗为：
                     (38)

5 小结
文章提出了一种用于估算高频铜箔绕组损耗的方法。这个方法是建立在一维(1-D)分析法和简化的二维(2-D)分析结果基础上的。在此首次提出了自由空间单层铜箔绕组损耗的校正系数，该校正系数被计入自由空间的边缘效