直流变换器并联系统动态均流的非线性控制
1引言
随着直流变换器的发展，为了解决单个变换器不断增加的电流应力、热应力以及昂贵的功率开关器件等问题，多相并联或称多个电源模块并联技术广泛地在直流变换器中得到采用。由于并联技术可以有效地提高变换器的可靠性和效率，减小输出纹波，已经在低电压、大电流、快速动态响应的电压调整模块（VRM）中得到广泛应用[1]。电压调整模块主拓扑是一种典型的多相交错并联的同步整流降压式直流变换器。多相变换器的交错并联是指N相模块的开关频率相同，但上端开关管的导通时间彼此依次错开1/N开关周期，这样可以有效地减小总输出电流纹波，提高变换器的工作效率。
由于并联技术的采用，如何使各相电流在系统动态和稳态工作时都保持良好的均流特性成为多相直流变换器设计的主要研究课题之一[2]。目前已有大量文献介绍并联直流变换器的均流技术，虽然其原理不尽相同，但其控制器的设计都是在变换器模块简化、近似线性化的数学模型下进行的。最常见的控制设计采用电压滞环与电流内环的比例—积分—微分（PID）均流控制策略[4]，其特点是每相可以基本实现电流均流，保持输出电压恒定，设计简单、实用。但是，值得注意的是，由于VRM等直流变换器负载瞬态要求极高，PID调节器策略已经很难满足实际动态均流控制的要求，同时由于并联模块系统的强耦合性、非线性特性，其均流控制器的PID参数整定非常困难，因而很难在工程上找到同时满足优化稳定性和动态特性要求的解决方案。
另一方面，近年来，微分几何理论与非线性控制系统相结合，形成了一门新的控制学科体系，即非线性控制系统微分几何结构理论体系，它的形成和发展为非线性系统提出了一种工程上可行的状态反馈精确线性化的非线性解耦控制技术[6]、[7]。将微分几何非线性理论和现代线性系统二次型最优控制理论结合在一起研究为解决多相并联系统动态均流提供了一种可行的研究方向。
本文将以常规的两相电压调整模块为主要研究对象，针对直流变换器开关非线性特点，首先提出利用脉冲积分法建立适用于微分几何方法的仿射非线性标准型，推导出相应的状态反馈精确线性化模型，利用无限时间输出调节器的线性二次型最优控制[8]对坐标变换后的线性化模型进行各相均流控制设计，提高输出电压稳定性，优化系统稳态特性和动态均流品质。
2两相电压调整模块的建模
2.1变换器的工作模态与脉冲波形函数
如图1为两相电压调整模块的电路图，它由两DC/DC BUCK电路并联而成，该变换器特点是两相开关频率相同，各相上端开关管交错1/2开关周期。变换器分为三个主要稳定工作模态，它们分别是：
模态一：第一相上端开关管Q1a开通，下端开关管Q1b关断，工作于储能状态；第二相上端开关管Q2a关断，下端开关管Q2b开通，工作于续流状态；
模态二：第一、二相上端开关管Q1a和Q2a同时关断，下端开关管Q1b和Q2b同时导通，两相同时续流；
模态三：第一相上端开关管Q1a关断，下端开关管Q1b导通，工作于续流状态；第二相上端开关管Q2a导通，下端开关管Q2b关断，工作于储能状态。
上述模态分析可知，电压调整模块在三个非线性系统间周期性的切换，为了建立统一的开关变换器模型，这里引入脉冲波形积分法，即将两个输入变量用两个非连续的周期性互补的状态脉冲函数f1(t)和f2(t)表示。如图2所示。
脉冲函数可以表示为以下分段函数形式：
(1)
其中：为两相交错导通时间。此两个脉冲波形的取值在0和1之间交错跳变，对应实际变换器各相上端开关管的关断与开通状态，它们各自持续时间长短反映了各相的占空比大小，即反馈控制系统通过调节各相占空比D对变换器进行控制。
2.2系统模型
根据以上脉冲函数和两相VRM的电路特点，可以写出以下状态方程：
(2)
这里，电感电流i1、i2和电容电压为系统的状态变量，Vin是实际输入直流电压，它不具有可控性。同时，为了满足系统具有良好的稳态和动态均流特性，有利于经过坐标变换后的线性化模型利用无限时间输出方程为y1(t)和y2(t)，其中y1(t)为实际输出电压与设定目标电压的偏差，它实质是代表系统输出电压稳定性和动态品质；y2(t)为两相电路的电流差值，它表示两相电流均流的目标函数，实质代表系统两相电流的稳态和动态均流问题。因此，系统的状态方程和输出方程可以写为：
(3)
其中，状态变量
两相上端开关管的控制变量u1=f1(t)，u2=f2(t)；电感L1=L2=L；输入电压Vin=k。研究上式(3)可以将该系统列写成典型的两输入两输出仿射非线性系统的标准型：
(4)
式中，
h1(x)=x3-VREF；h2(x)=x1-x2。x为系统的状态变量，μi(i=1，2)为控制变量，f(x)和gi(x)为两维函数向量，hi(x)为两维输出函数向量。
3非线性系统状态反馈精确线性化
3.1精确线性化的条件验证
为了能利用现代线性系统最优控制理论对系统进行均流设计，需要将非线性系统通过微分几何理论坐标映射得到状态反馈精确线性化模型。但在实现状态反馈精确线性化之间，必须对非线性系统能否进行精确线性化进行严格的验证，同时验证该坐标变换是微分同胚的。首先，利用李导数求系统关系度：
(5)
(6)
(7)
(8)
同时，2×2维矩阵：
为非奇异的，所以，根据微分几何关系度的定义[5]，可以知道系统的关系度为r＝r1+r2＝n＝2+1＝3。由非线性系统精确线性化的两个充分必要条件知道[6]，该两相电压调整模块系统可以进行状态反馈精确线性化。
设定三个坐标变换为：
因此设定坐标变换为：。现在验证φ(x)是否在X0领域内局部微分同胚，即φ(x)是否是一个合格的坐标变换。
已选择的坐标变换雅可比(Jacobi)矩阵为：
(9)
因为Jφ的行列式值为：，行列式值不为零，即Jφ是非奇异的。因此根据局部微分同胚的命题[5]，为系统的一组合格坐标变换。坐标变换矩阵为：
(10)
3.2仿射非线性第一标准型及控制规律的求解
由于仿射非线性系统(4)的关系γ等于系统状态变量x的维数n，即r=n=3。所以非线性系统可通过坐标变换为可控的线性系统第一标准型：
(11)
通过坐标变换(10)得到的具体线性系统形式为：
又令新的控制变量V1和V2为：
(12)
所以，系统(4)坐标变换为线性系统第一标准型：
(13)
输出方程为：
(14)
由(12)式可以得到非线性系统状态控制规律表达式为：
(15)
3.3均流特性的线二次型的最优控制
式(15)即为两相电压调整模块非线性系统的控制规律表达式，它的数值反映了各相上端开关管的占空比的大小。现在的问题是如何利用现代线性控制理论得到经过坐标变换的线性模型的控制规律，通过状态反馈变量即可控制非线性系统的状态变量，从而实现状态反馈精确线性化的非线性控制。
关于控制规律的求解，现在引入线性二次最优控制策略，实现系统输出议程(14)的最优解，即保持输出稳定电压和各相均流。线性最优控制问题的最优解可以写成统一的解析表达式和实现求解过程的规范化，且可导致一个简单的状态线性反馈控制很而构成闭环最优反馈系统。研究并联直流变换器的目的是使得输出电压稳压和各相均流特性得到提高，因此，系统是一个无限时间输出调节器的二次型最优控制问题，即在给定初始条件下，终端时间tf=∞时，求解系统(13)最优控制v*(t)，使得系统的最优二次性能指标：
(16)
取最小值。式(16)中的Q为半正定对称矩阵；R为正定对称矩阵。积分项的第一项用来衡量整个控制期间系统的给定输出和实际输出的综合误差，该积分项愈小，说明输出电压愈稳定，各相电流在动态和稳态的均流性能愈好。积分第二项表示动态过程中对控制的约束或要求，即对控制过程总能量的一个限制，具体到该电压调整模块，该项反映脉冲分段函数(1)的约束性。可以证明[8]，系统的最优控制存在且唯一，最优状态所馈表达式可写为：
(17)
其中，P*为黎卡梯（Riccati）矩阵方程
(18)
实际系统中可以通过选择加权矩阵Q和R来体现稳态和动态特性变化，优化输出方程，具体选择Q和R可以参见文献[9]。这里选择二次性能指标中的权矩阵Q为单位矩阵及权系数R=1，所以综合(17)和(18)，得到：
(19)
因此，线性系统最优控制规律为：
(20)
综合上述(15)和(20)得到系统基于均流控制目标的两相并联电压调整模块的状态反馈精确线性化的非线性控制策略。
4实验验证
为了说明基于微分几何非线性的均流控制特点，对采用微分几何的非线性控制和经典PID调节器控制的两相并联电压调整模块进行了动态品质的比较研究。
为了确何对比研究的有效性，经典PID控制采用了稳定边界法（又称临界比例度法），根据Ziegler-Nichols经验规则，对误差反馈系统的比例增益（KC）、积分时间(Ti)和微分时间（Td）进行了参数优化自动整定，保持适当的相位裕量和幅值裕度，同时加入内环各相均流双环控制。系统带宽的选择兼顾了系统快速响应和抗干扰之间的平衡，在该电压调整模块中选择带宽为55kHz。
主要参数如下：
输入电压Vin=12V，输出电压V0=1.5V，输出满载电流I0＝40A，每相开关工作频率fs＝200kHz，自感L1＝L2＝1.2μH，输出滤波电容C＝470μF。
4.1动态均流特性
4.1.1阶跃响应特性
由于阶跃响应是系统动态性能中最为严格的工作条件，图3首先比较了系统分别在PID控制和非线性控制策略下的阶跃响应特性。从中可以看到，基于微分几何非线性均流控制的两相电流波形在阶跃响应下几乎完全一致，比PID调节器控制系统具有更好的动态均流特性，同时，在非线性控制策略下，输出电压和电流还具有动态响应，超调量小的特点，它们在一个振荡周期后进入稳态。这充分体现了非线性均流控制对系统动态品质的改善。
4.1.2负载扰动特性
图4比较了在优化PID调节器和非线性均流控制策略下，总负载电流由轻载（I0=7.5A）到满载（I0=40A）的瞬态扰动波形。从比较结果中可以看出，虽然在优化后的PID调节器控制策略下，两相电i1和i2同样可以保持良好的负载瞬态均流特性，但是，其瞬态输出电压跌落差值明显大于在非线性控制策略下的情况，说明微分几何非线性均流控制能保持较小的输出超调量和电压瞬态跌落，优化系统动态品质。
4.2稳态均流特性
图5是在非线性均流控制下的两相直流变换器的稳态特性波形。可以看到，系统由于采用经过状态反馈精确线性化后的线性系统最优控制是使得输出方程y1(t)和y2(t)二次型性能指标在稳态时达到最小值，保持了两相电流i1和i2的稳态均流特性和较小的输出电压纹波。
5结论
考虑到并联直流变换器的非线性开关特性，基于古典线性反馈PID均流措施不能取得满意的控制效果，本文提出一种基于微分几何理论的非线性均流控制策略。文章以典型的两相并联电压调整模块作为主要研究对象，首先建立了该变换器统一的脉冲函数数学模型，接着在验证该非线性标准型满足状态包馈精确线性化条件的基础上对非线性系统进行坐标变换，推导出对应微分同胚的线性系统，并给出了其反馈规律和控制表达式，文章然后对所得的线性系统进行基于均流特性的线性二次型最优控制，得到系统的最优所馈变量控制规律，实现在微分几何理论基础上的非线性均流控制。为了验证所提出的控制策略实用性，对两相电压调整模块进行了基于非线性策略的均流特性研究，比较了在优化PID控制器下和非线性控制下的动态品质，表明采用微分几何非线性控制具有更好的动态均流特性，实现两相电流动态和稳态自动均流。结合微分几何非线性控制和线性二次型最优控制，本文将一种新颖的非线性均流控制策略引入到并联变换器的设计中，随着数学计算机技术的迅速发展，该非线性均流控制策略必能在多相并联直流变换器设计中得到广泛应用。
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