一种多绕组变压器设计新模型
A design new model of multi-winding transformer
文隽亿   编译         圣力   校
摘  要：本文介绍了一种多绕组变压器漏磁现象的设计新模型。这种模型的特点是其中的每一个参数表示一个物理磁通量。模型的参数采用有限元法计算确定。这种模型还可以转换成其它形式，例如π-模型。
关键词：多绕组变压器；设计；模型；漏磁；磁通量。

1引言
功率电子电路中常常采用多绕组变压器，其典型的应用是多输出变换器。在这类变换器中，多种输出电压通过在同一个变压器铁心上的多个绕组耦合得到。由于这种变换器的互相调节特性与变压器的漏感密切相关，所以分析多输出变换器的性能时，建立磁通泄漏现象的模型是非常重要的。
多绕组变压器建模是个综合研究课题，人们已经做了许多研究，为多绕组变压器的建模打下了良好的基础。对于双绕组变压器的特性，我们可以用π-模型来描述。π-模型还可以推广应用到三绕组变压器的特性分析中。为了建立四个以上绕组的变压器设计模型，人们已经研究出磁阻模型和交叉耦合模型。
本文提出了一种多绕组变压器模型——漏磁现象模型，因为对变压器的运行来说，精确的漏感模型是十分重要的。这种模型在提供统一表达式的同时，还考虑到了磁路结构的几何形状。该模型中的每一个参数都有各自的物理意义，某些类型的结构可通过数学运算来确定。而通过分析，可以对某些组合参数进行计算与测量。尽管这种模型在目前还难以独立分析运用，但可与电路模拟设备结合使用，以得出更精确的模拟结果。
2新的多绕组变压器模型的推导
图1示出了一种三绕组的变压器。其每一绕组都载有带端电压的电流。该电流与电压的相互作用产生一个磁场。磁场的磁能量可以分解为：主磁通量φm，它耦联所有的绕组；自漏感能量φ1、φ2和φ3，它们耦联各自的绕组；互漏感能量φ12、φ13及φ23，它们耦联三个绕组之中如下标所示的其中两个绕组。
每个绕组的端电压可用磁通量表示：
 (1)
 (2)
 (3)
式中的磁通量φ1、φ2……为激励电流的函数，它们的表达式为：
 (4)
 (5)
 (6)
 (7)
 (8)
 (9)
式中，P1、P2……为磁通量φ1、φ2……所在磁路的磁导率。
由图1可见，主磁通封闭在磁心内部，可以下式描述：
 (10)
 (11)
 (12)
同时 (13)
式中，Pm为主磁通量φm的所在磁路磁导率。
以上方程式(1)、(2)、(3)可表达为如下形式：
 (14)
 (15)
 (16)
绕组中的所有电压和电流为：
 (17)
 (18)
 (19)
 (20)
将式(17)、(18)、(19)、(20)代入式(14)、(15)、(16)，可得到以下表达式：

 (21)

 (22)

 (23)
式中，为相关“绕组1”的漏感值，定义为：
 (24)
 (25)
 (26)
 (27)
 (28)
 (29)
以上式中的Vi-1和ii-1为反映到“绕组1”的第i个绕组的电压值和电流值。为与“绕组1”有关的磁化电感值，它们为：
 (30)
利用式(21)、(22)、(23)，可以绘制成如图2(a)所示的等效电路模型。按“绕组1”、“绕组2”和“绕组3”的界面配置成理想的变压器，得到如图2(b)所示的最终模型。
在图2中，各绕组的漏感值定义为：
 (31)
其相应的电流值为：
 (32)
在这种模型中，磁化电感值M0表示耦联所有绕组的主磁通量，漏感值由L1ij和L1i表示。对大多数应用中的常规结构的绕组而言则可计算出模型中的每一个参数。以下将就漏感值的计算进行讨论。
3多绕组变压器模型参数计算
多绕组变压器新模型参数的计算不能采用通用的方法，新模型中的漏感值必须根据特定的磁路结构来确定计算方法。新模型参数计算的关键在于分离出耦联不同绕组漏磁的磁通量。从定量角度而言，要分离出各绕组漏磁的磁通量是非常困难的，这里介绍一种确定漏感量的混合方法。该方法是采用漏磁通量的量化分离法和采用有限元法实现的数值分析相结合的一种方法。以下通过具有相同“并列”结构的三绕组变压器和四绕组变压器来论述其过程。
图3所示为三绕组变压器磁通量的分离情况。从定性角度看，绕组1、绕组2和绕组3中的磁通量可看作仅仅是耦联自身的磁通量，其相应的电感值为自漏感值。绕组1和绕组2间气隙内的磁通量可以看作耦联绕组2和绕组3的磁通量，而绕组2和绕组3间气隙内的磁通量则可看作耦联绕组1和绕组2的磁通量。对于这种三绕组结构，任何耦联绕组1和绕组3的磁通量也必然耦联绕组2。根据主磁通量的定义，它属于主磁通量的一部分。因此，在图3中不存在φ13。这种分离所给出的是粗略的磁通量分布图，并不符合计算漏感值的要求。事实上，任何严格地进行漏感量分离的方法都是不存在的。但借助这种粗略的磁通量分布，可以从数值分析上确定漏感值。
多绕组变压器的电压值和电流量与自感值和互感值有关，即：
 (33)
计算漏感值是从计算自感和互感值开始的，Ansoft麦克斯韦解算器可完成这个计算。
自感值、互感值与磁化电感值、漏感值有关，表达式为：
 (34)
 (35)
 (36)
 (37)
 (38)
 (39)
在这里讨论的三绕组变压器中：
 (40)
则磁化电感值和漏感值为：
 (41)
 (42)
 (43)
 (44)
 (45)
 (46)
然后利用有限元模拟所得到的电感值（见表1）来计算出磁化电感值和漏感值（见表2）。
通常，多绕组变压器新模型有n(N+1)/2个漏感值，其中n为绕组数。不过，对于特定的磁路结构，参数的个数可能少些。在采用并列结构的三绕组变压器中，参数就只是5个而不是6个。在这种结构中，“绕组2”夹在“绕组1”和“绕组3”之间，因此，任何耦联“绕组2”的磁通量必然耦联“绕组1”或“绕组3”，这就意味着不存在L12。再则，耦联“绕组1”和“绕组3”的磁通量也必定耦联“绕组2”。按照各磁通量的定义，这就是主磁通量。为此，就不存在耦联“绕组1”和“绕组3”的漏磁通量。采用并列结构的三联绕组变压器的模型如图4所示。
由于漏感只有通过短路测试才能测得其精确值，故单个地测量模型的参数是不可能的。但尽管如此，对某些组合漏感的测量还是办得到的。表3给出了并列结构三绕组变压器新模型组合漏感的测量值和计算结果。
从表3可见，组合漏感的计算结果与实验测试结果非常接近，其差别主要由物理与建模结构的不同所致，例如端接的差别。此外，如果采用的建模工具是二维（2-D）解算程序，而实际存在的却是一个三维（3-D）问题，这也会造成计算误差。
图5所示为四绕组变压器的几何结构。采用并列结构的四绕组变压器的模型示于图6，从中可以看到，这种模型所采用的形式远比一般模型的简单。
4多绕组变压器新模型与其它形式模型的转换
多绕组变压器新模型很容易转换成其它形式的模型。在此就三绕组变压器模型如何转换成为π-模型进行讨论。π-模型的介绍见参考文献[2]，而其推导过程见参考文献[3]。从文献[2]、[3]可以看到，三绕组变压器的π-模型只是新模型的一种特殊情况。根据新模型，变压器端口电压值可以表示为［式(47)~(49)］：

 (47)

 (48)

 (49)
另外，三绕组变压器模型可以转换成标准耦合电感线圈的形式［见式(50)~(52)］：
 (50)
 (51)
 (52)
式中的自感值和互感值可以用模型中的参数来表达［式(53)~(58)］：
 (53)
 (54)
 (55)
 (56)
 (57)
 (58)
利用这些自感值和互感值，可以计算出π-模型中的相应参数［式(59)~(64)］：

 (59)

 (60)

 (62)
 (63)
 (64)
三绕组变压器的新模型与π-模型转换的等效电路如图7所示。
除利用式(59)~式(64)计算时，如果绕组以某种常规的方式排列，则模型的每一个参数可通过数值分析和数值计算而得到。
如果三绕组变压器的结构有一特定的磁路结构，例如某绕组是并列排列，则可以做成文献[4]所介绍的磁路模型。
式(65)～(67)表示，该磁路模型也可以由多绕组变压器的新模型得到。将以上各式中的参数代入式(59)~(61)，其三个绕组的漏感值为：
 (65)
 (66)
 (67)
将与式(65)~(67)相对应的参数绘制成电路模型，则与文献[4]给出的电路模型相同。
5结论
本文提出了一种多绕组变压器的新模型，该模型采用与几何形状和磁特性无关的十分普通的形式。根据法拉第定律建立起来的磁通量与各绕组的端电压的关系式来求解参数。然后，每一磁通量都以流经绕组的电流来表示。虽然此模型采用最普通的形式，但模型参数的计算必须针对特定的磁路结构，借助数字模拟工具——有限元法来完成。新模型的特点是模型的参数与变压器中的物理磁通量相对应，这有别于现有的变压器模型。对变压器的某些组合漏感可以进行测量。计算结果与实验测试值极为吻合。新模型存在的问题是进行分析计算时，模型的使用相当复杂和困难。但是新模型对电路的模拟是很有价值的。
参考文献
[1]MIT EE Staff，“Magnetic Circuits and Transformers”，The MIT Press，1943.
[2]A.G.Ganz，“A Simple，Exact Equivalent Circuit for the Three-Winding Transformer”，IEEE Trans.Component Parts，Dec.1962，pp.212-213.
[3]S.P.Hsu，“Problems in Analysis and Design of Switching Regulators”，Ph.D.Thesis，California Institute of Technology，Department of Electrical Engineering，Pasdena，California，Ssptember 13，1979.
[4]A.A.Dauhajre，“Modeling and Estimation of Leakage Phenomena in Magnetic Circuits”，Ph.D.Thesis，California Institute of Technology，Department of Elecctrical Engineering，Pasadena，California，April，1986.
[5]V.A.Niemela，“Analysis and Modeling of Leakage Inductance and AC Winding Resistance in High-Frequency Multiple-Winding Transformers”，Ph.D.Thesis，Duke University，Department of Electrical Engineering.
[6]C.Pugh，A.Radar，and E.Division，“100kHz Transformer Equivalent Circuit”，Proc.of High Frequency Power Conversion，May 1987，pp.87-93.
[7]J.Rosa，“Calculation of Flux Linkages in Multiwinding Transformers”，IEEE Power Electronics Specialists Conf.Rec.，1986，pp.639-644.
[8]G.W.Ludwig and S.El-Hamamsy，“Coupled Inductance and Reluctance Models of Magnetic Components”，IEEE Trans.Power Electronics， Vol.6，No.2，pp.136-142，1991.