通常情况下，经过改变绕组“组数”，每“组”内的层数以及每层的匝数即可综合给出适合的匝数。如果采用矩阵多变压器来降低变压器的高度，那么，就得在这些变压器之间相等地分配组数并用以上方法进行并联。

图2  N:1:1变压器电路模型

2.2 变压器模型
图1示出的变压器几何结构，可以用图2所示的电路模型进行描述。现根据几何结构参数推导出电路模型的分量。在模型参数的推导时，假定变压器有理想的罐状磁心和理想的平面环形绕组，同时，为简化计，忽略了非理想因素如互连，端接，短路棒等的影响。
2.2.1 绕组损耗计算
图2中的电阻RP和RS是等值绕组损耗，RS的直流值由以下平面环形绕组的匝电阻公式计算：
                          （1）
式中，Rwi——绕组内径，Rwo——绕组外径，TS——绕组有效厚度（即所有并列层厚度的总和），ρ——导线电阻率。
Rρ的直流值为绕组初级匝数和经过适当修改的式（1）计算出的每匝电阻的乘积。
由于趋肤效应和邻近效应损耗等因素的影响，一般情况下，交流电阻不等于直流电阻。一维有限元分析揭示，如果初级绕组层和次级绕组层如图1所示那样交错布置而成，而每个初级绕组的层厚为1个趋肤深度，每个次级绕组的层厚为2个趋肤深度，那么每层的交流电阻是其直流电阻的1.09倍。此外，用二维有限元模拟分析可见，如果每个绕组“组内”相同绕组交错层的厚度总和大于趋肤深度的两倍，那么，交错层的交流电阻就小于直流电阻1.2倍。因此，只要每个绕组“组内”相同绕组的交错层厚度总和小于趋肤深度的两倍，式（1）就是交流电阻的适合的近拟计算式。所以，为了简便从事，在模型的讨论中，都使用式（1）计算电阻值。
2.2.2 磁心损耗的计算
在工作频率确定的情况下，中心柱的损耗密度PCC（单位，W/cm3）与中心柱的峰值磁通密度GSS（以高斯为单位）有关：
                           （2）
式中，A2——磁心损耗系数，A4——磁心损耗指数，两者由磁心损耗数据求得。
假设GSS为常数，则中心柱的损耗为：
PCP=ACPHCPCC×106                                    （3）
式中，ACP——中心柱的截面积，HC——中心柱高度。
变压器墙板的损耗可以用与式（3）相似的方法求得。
假设磁通密度的变化与顶板或底板的半径成反比，那么，每块顶板或底板的损耗PPL由下式计算：
（4）
式中，TPL——板厚，Rri和RC见图1所示定义。
磁心的总损耗是变压器中心柱、边壁及顶板、底板损耗的总和。在图2中，等值磁心损耗的电阻值由下式计算：
                                  （5）
式中，Pf——磁心损耗，Vρ——初级绕组的均方根电压（注：Vρ∞4.44NttAcpFswGss，这是依据法拉弟定律给出的。式中Fsw为开关频率。）
2.2.3 磁化电感值的计算
在次级绕组开路，初级绕组被激励时，图2中的磁化电感值Lm可以通过贮存其中的能量进行推算：
                       （6）
式中，Nxf——多变压器矩阵之单元变压器的数目，对每个单元变压器而言，ACC是有效截积，μ——磁导率，LC——有效磁路长度，N1——初级绕组匝数。应注意的是，式（6）的等式没有考虑单元变压器之间的耦合影响。
2.2.4 漏感值计算
当初级绕组处于被激励、中心抽头的次级绕组被短路时，图2中的漏电感值LP2S可以由贮存的能量进行推算。为便于讨论，假定绕组由几组3:1:1绕组构成，每组中由四个串联的导电层构成三个初级匝数，所以，每层有3/4匝。每组导电层实际的结构排列是P1（初级层），P2、Sa（第一次级层），P3、P4、Sb（第二次级层）。漏感值的计算近似式为：

           （7）
式中，T1、Ta、D12、D2a分别为初级层铜厚、次级层铜厚、初级层与初级层间、初级层与次级层间的绝缘厚度；μO为空气的磁导率（4π10-7H/m），NP是单元变压器的组数。式中可见，加大绕组外径和减小纵向尺寸都可以减小漏感。应注意到，由于在工作频率大于2MHz时，导线层厚度与绝缘层厚度相接近，因此在漏感值计算中应包括导电区和绝缘区两部分的漏感。
2.2.5 绕组电容值的计算
在图2中，绕组的电容值Cpr也通过它们贮存的能量计算。这种能量是在次级绕组开路时，施加到初级绕组上的电压形成的电场产生的。
   （8）
式中，Npr是总的交错绕组“组”的总数。
比较式（7）和式（8），可以看到，减小绝缘层的厚度是有益的。因为其结果是减小了漏感值，增加了固有电容值。这个电容值有助于拓扑所需要的谐振电容量。而且，绝缘层的减薄表明元器件的高度降低了，也提高了其功率密度。
3 利用模型设计变压器的可行性
笔者按以上模型公式和其它设计公式相结合，编写了FORTRAN程序，以便确定所要求的技术条件能否实现。这个程序首先接收恒定输入和优化参数范围，输送给该程序的恒定输入包括功率、匝比、输入/输出电压、温度、材料特性、绝缘层厚度、导体厚度、磁心——绕组气隙以及损耗容差。基本的恒定输入数据见表1中带“*”号者。
变压器磁心采用KB5铁氧体材料，其厚度由“2.2.1节”讨论的制约条件确定。由此，初级绕组的厚度将被限制，以便使每一组中的四个初级绕组层的厚度为4.36mil（4×1.09）。这约为在2MHz频率时铜箔趋肤深度的两倍；同样，在每一组中的次级绕组层之厚度为43.7mil/10=4.37mil，此值也是铜箔趋肤深度的两倍。
可以在变压器参数的数值范围内寻找八个优化参数输入程序，或者把它们置于一个固定的数值上。这些输入数据为频率、变压器损耗、串并联变压器个数、每个变压器的绕组“组数”、每一组的串联初级层数，外壁面积和中心柱面积之比、铜损与变压器损耗之比，以及交流磁通振幅。在大部分数据或有效的优化参数中，铜损与变压器损耗之比值以及交流磁通振幅是经常在变化的。变压器的其它优化参数值也已列于表1中。（注：本设计使用了一个10组的变压器结构，每一组含有三匝的初级并被均分在四层上。因此，这个变压器的初级绕组有30匝。）

表1 匝比为30:1:1，100W、2MHZ变压器设计参数
*功率 100W  *输入 50V
频率 2MHZ  *输出 1.5V
相对电容率 3  *磁心损耗 
*起始磁导率 1299  系数 0.3308E-0.5
*磁导率梯度 2.213  指数 2.261
相对磁导率 2042  中心柱密度 1.703W/CC
*匝比 30:1:1  电阻率 24.36nΩ-m
变压器数 1  初级电阻 70.61mΩ
组数 10  次级电阻 71.05mΩ
初级层数/每组 4  磁化电感值 528μH
*绝缘厚度 1.5mils  漏感值 22nH
*初级厚度 1.09mils  “固有绕组”电容量
（43.74mil-10层并联） 562nF
有效次级厚度    
线圈内径 71mils  线圈外径 491.5mils
磁心高度 311.9mils  窗口高度 261.2mils
平板厚度 25.4mils  中心柱半径 51mils
内壁半径 511.5mils  外壁半径 514.8mils
铜损/变压器损耗 0.8  有效峰值磁通 335.9
平板损耗 0.02W  柱和壁板损耗 0.141W
变压器损耗 0.792W  体积 0.2597吋3

注：带“*”号为恒定输入参数，其余参数为优化输入范围中的最佳值。
验证所有的输入参数后，“程序”扫描整个范围内的所有优化参数并寻找出能够满足损耗要求的设计参数（包括电参数和机械参数）。在表1所得出的数据中，“程序”根据变压器的损耗以及铜损与变压器损耗之比计算铜损，绕组电阻则根据铜损和均方根电流计算，中心柱的半径、底顶板厚度、壁半径可根据磁力线密度和电阻公式计算。磁心高度由底、顶板厚度与绕组厚度确定。当机械参数确定后，便可计算变压器的损耗和体积。优化设计被确认后即可计算模式中所有元件的参数。
设计计算中将会发现，如果变压器的损耗为0.79W，变压器的功率密度可达385W/吋3，相对高度稍高于0.3吋，磁心损耗仅为变压器总损耗的20%，这是因为铁氧体磁心体积小时，每匝绕组的电压变得很低。尽管变压器绕组是用铜片（箔）制作的，但绕组仍是变压器大部分损耗的主要根源。所以，绕组材料是实现高效率和高功率密度的主要制约因素。
4 变压器设计中有关参数的折衷
4.1 变压器的体积、高度、损耗、交替层等参数的折衷考虑
本课题考察了当设计只含有一个变压器时，交替绕组的组数对体积、高度和损耗有多大影响。每组有两个初级绕组，并且它们被两个次级绕组间隔，当每层的次级绕组总是一匝时，每个初级层的匝数是个变量，它是初级绕组的匝数（30匝）的二分之一除以组数。
图3所示是100W、1.5V的电源输出变压器在不同的变压器损耗/总损耗之比情况下之组数与最佳变压器体积关系曲线。在本文的所有计算中，电源效率保持在95%。在设计中发现，当绕组组数一定时，增大变压器的损耗将可减小变压器的体积。其原因是，损耗越大则意味着绕组电阻RS越大，它将表现为外绕组半径较小，这可以用与式（1）相应的替代公式计算得出：
          （9）
式中，Ta是每个次级绕组层的厚度，Np是组数，Ts=NpTa——有效次级绕组厚度。
应该指出，当损耗线性地减小时，则体积将以指数倍增大，尤其是在组数少的情况下更是如此。尺寸与效率的折衷考虑因素取决于式（9）中的指数函数。
通常情况下，体积是随着组数的增加而减小的，这一特性可以由公式（9）予以解释。然而应当指出的是，Np值小则体积明显减小，Np值大（图3中超过15组）则体积的减小是很微小的。变压器体积的较大幅度减小是由下列综合因素造成的：随着Np小幅度的增加则1/Np将快速减小与Rwo对于1/Np的指数关系。体积缓慢地减小是由于1/Np的缓慢减小或Rwo随着Np值增大而减小，高度则随着Np值线性地增加（见图4所示）。
4.2 体积、损耗、输出功率之间关系的折衷考虑
在已知变压器损耗和绕组“组数”的情况下，需要研究的问题是在功率密度最大时，是否存在最佳输出功率。如果存在，制成的变压器应该达到这一功率。如果是希望得到输出功率较高，则可以采用多个变压器并联。图5是根据几个变压器损耗级别绘制成的输出功率与功率密度的关系曲线。在基线为300/吋3之处，为电源设计的变压器的最小功率密度应满足100W/吋3要求。

研究测试发现，在高输出功率时，功率密度降低了，当损耗的范围为10%（即变压器的损耗等于电源总损耗的10%）时，仅需要一只输出功率低于50W的变压器就能满足功率密度的要求；当变压器的损耗增大到总损耗的20%，为了满足功率密度的要求，应使变压器的额定输出功率达到200W。
上面论述的是用增加损耗来改善功率密度的方法，以下讨论功率电平与功率密度的关系。
设定变压器损耗与电源总损耗为恒定比值，并且是一恒定输出电压，为此式（9）中的次级电阻RS与输出功率成反比，关系式为：

如前所述，变压器绕组外半径随输出功率的增加成指数增加。有效体积的增加比输出功率的增加更快，以致功率密度随着输出功率的增加而降低。
4.3 串并联变压器中体积、高度和损耗的折衷考虑
在本研究的电源设计中，变压器是以若干个“单元变压器”组成的阵列构成的，这些“单元变压器”的初级绕组是串联连接的，而次级绕组是以并联连接的。串联连接使得电流均分到单元变压器中，如果初级绕组和次级绕组两者都用并联连接就不能保证上述讨论的好处。绕组的总组数保持在10组，因此，总的绕组厚度不变，而每组含有四个初级层。
图6示出了串并联单元变压器数与总变压器优化体积的关系曲线。从图中可以看到，总的变压器体积随着串并联单元变压器数目的增加而增加。以下讨论这个特性的原理。因为总的绕组组数是固定的，故式（9）中每个单元变压器的组数Np与矩阵变压器数成反比，也就是说，每个单元变压器的电阻与变压器数成正比，因为该电阻与每一个单元变压器的功率成反比[按式（10）所述]，而其功率又与单元变压器数成反比，因此，按式（9）所述，绕组外径也即每个单元变压器的“占地面积”比较不受变压器数的影响。正如论述所知，此时，变压器总的“占地面积”即总体积（总体积=单元变压器数×每个单元变压器的“占地面积”）随着变压器数的增加而增加。
图7示出了串并联变压器的组合高度。在串并联的变压器数较少时，随着该变压器数量的增加，总的变压器高度迅速降低。这是因为当串并联变压器数量少时，每个单元变压器有较多线圈组数（这意味着高度要增加）。但是，当变压器的数量超过5个时，高度将相对保持稳定，这是因为单元变压器数量较大时，每个变压器的线圈组数减少，以致可以用保持相对稳定的平板厚度来控制变压器的高度。当单元变压器的数量相当大（如大于20）时，总变压器的高度开始随单元变压器数量的增加而增加 ，这是因为磁心损耗开始影响所有损耗，因此必须通过增加磁心的截面积和板的厚度来保持较低的总损耗。

总结以上所述，图7给出了优选单元变压器的数量（在图7中的单元变压器数量为6），少于这个数目时，高度迅速上升，而多于它时，体积增加了但高度的降低不明显。值得注意的是，优选变压器的数目是由高度曲线决定的（见图7），而优化组数则是由体积曲线决定的（见图3）。由此说来，单元变压器数目和绕组组数同时取最佳值是可能的。当高度降低（通过增加单元变压器数目实现）和体积增加时，图6和图7将重新权衡图3和图4的论述。由此可见，即使变压器的高度降低了，但并不一定能够减小它的体积尺寸。
4.4 串并联变压器的漏感
图8所示为变压器数目与串并联变压器漏感的关系曲线，其“层”和“组”的条件如上所述，导体和绝缘层的厚度见表1所列。工作频率在1~10MHz时，通常情况下漏感很低（低于30nH）。实践中，这种“内部”漏感可以被单元变压器之间与变压器之间以及变压器终端与整流器之间的互连所产生的“外部”漏感抑制。通常，漏感因为损耗的减小而减小，按式（7）所示，这是由于损耗减小而外线圈的半径增加，引起了漏感的减小。

4.5 串并联变压器绕组的电容值
图9示出了串并联变压器数目与自身绕组电容值的关系曲线。由于损耗降低而使线圈的“占地面积”增加，故当损耗减小时，电容值就增加。通常情况下，其电容量大于100PF，在高频变换器中，它可以作为谐振电容器的一部分。