1.3 磁路理论和磁芯特性
1.3.1 磁路定律
实际使用的磁性元件，为取得较大的感应电动势或电磁力，常需要利用铁磁材料造成一个导磁的路径。因为磁感应线是闭合的曲线，我们把磁感应线所通过的由铁磁材料所构成的（包括气隙在内）路径称为磁路。磁路有多种形式，如果磁感应通量从一种介质全部进入另一种介质，当不考虑漏磁时，沿整个磁路的磁通均相同，这类磁路称为串联磁路（或称无分支磁路），如果磁感应通量分成若干分支，以后又会合起来，这样的磁路称为并联磁路，或称为分支磁路，图 1-19 示出串联磁路或并联磁路的例子。由于铁磁材料的导磁系数比空气大许多倍，因此磁通主要沿铁芯而闭合，这部分磁通叫做主磁通，用Φ表示，另外经过空气而闭合的很少部分磁通叫做漏磁通，用 Φs 表示，在磁路计算中，往往只考虑主磁通，对漏磁通应另做处理。
在图 1-19(b) 所示的并联磁路中，设中心柱磁通为Φ1，两边分支磁路磁通分别为Φ2及Φ3。在磁路分支处，根据磁通连续性原理，下式应成立：
Φ2+Φ3-Φ1=0
上式表明，在磁路分支处（或称“节点”处），各段磁路中的磁通代数和应等于零，或写成：
∑Φ=0                                   (1-27)
等式 (1-27) 所表示的方程，与分支电路的基尔霍失第一方程相似，故也称为磁路的基尔堆夫第一定律。
列写上述方程式时：常设磁通穿出“节点”者为正，穿入“节点”者为负，另要注意，由于 B=Φ/A，而各段磁路的截面积通常不等，故并无∑B=0 的关系。在磁路的任一闭合路径中，磁场强度和磁势的关系应符合环路定律，例如图 1-19(a) 的无分支磁路中，若认为磁场是均匀分布的，则磁场强度的面积分关系可用简单乘积来代替，即可得到：
H1l1＋Ｈ2l2＋Ｈ3l3＋Ｈ4l4＝ＮI
或写成：
∑H1=NI                             (1-28)
上式中左边各段磁路长度与其磁场强度的乘积（Hl）称为该段磁路的磁压降，等式右边 NI 表示回路所包含的线圈匝数和线圈中电流强度的乘积之和，通常称为磁势，因此，闭合磁路中各段磁压之个数和等于各磁势的代数和，这就是磁路的基尔霍夫第二定律。磁势方向按电流及线圈绕向根据右螺旋关系确定，磁压方向与磁场方向相同，磁压磁势方向与闭合磁路绕向一致者为正，反之取负。
该磁路由磁导率为μ的材料做成，面积为 A，长度为 l，磁路中磁通为 Φ，磁感应强度为 B，磁场强度为 H，则因：
H=B/μ0 μ，Ｂ＝Φ/Ａ
所以 Hl=(B/μ0)1=(Φ/μ0μA)l
或
Φ=Hl/（l/μ0 μA）=Um/Ｒm                (1-20)
其中，
Rm=l/μ0 μA                            (1-30)
称为该段路的磁阻，而式 (1-29) 称为磁路的欧姆定律，磁阻的单位为：1/亨利。由式 (1-30) 可见，磁阻的大小决定于磁路的尺寸及材料的磁导率，磁路中若有长为 10，面积为 A0 的空气隙，其空气磁导率为 μ0μ，则气隙磁阻为：
Rm0=l0/μ0 Ａ                             (1-31)
由于铁磁材料的μ值比空气磁导率 μ0 大得多，所以气隙中磁阻比导磁材料磁阻大许多倍。
串联磁路如图1-10(a)所示，设磁性材料的截面积为A，磁导率为μ，各段磁路长分别为 11、l2、l3、l4，空气气隙截面积相同，磁导率为 μ0 ，二处气隙段总长为 10，磁场为 H0。根据磁路基尔霍夫定律：
Hl1+Hl2+Hl3+Hl4+H0l0=NI
磁感应通量Φ=BA=μ0 μHA
所以，H=Φ/μ0 μＡ，气隙磁场 H0=Φ/μ0 Ａ
可以得到：
Φl1/μ0 μＡ+Φl2/μ0 μＡ+Φl3/μ0 μＡ+Φl4/μ0 μＡ+Φl0/μ0Ａ=NI
所 以 ，
Φ= NI/(11/μ0 μＡ+12/μ0 μＡ+13/μ0 μＡ+14/μ0 μＡ+10/μ0 Ａ)
   = NI/(r1+r2+r3+r4+r0)
磁路的总磁阻 Rm=r1+r2+r3+r4+r0
则
Φ=NI/Rm=εm/Rm                         (1-32)
上式表示，磁感应通量在数值上等于磁势 εm 与磁路的磁阻 Rm 之比。
当有 n 个磁路串联情形，则有：

由此可见，串联磁路总磁阻 Rm 等于磁路各部分磁阻之和。这与串联电路总电阻关系式相似。
并联磁路如图 1-19(b) 所示，设并联的两段磁路长度分别为 l2 及 l3，则根据磁路基尔夫定律，则有：
H2l2=H3l3=NI
Φ1= Φ2+Φ3=μ0μH2Ａ2+μ0μＨ3Ａ3
     = NI(μ0μＡ2/l2+μ0μＡ3/l3）
 　= NI(l/r2＋l/r3)
因为，Φ=εm/Ｒm
则有，
 l/Ｒm=l/r２+l/r3                           (1-33)
由此得出结论，并联磁路总磁阻的倒数等于各分路磁阻倒数之和，这个关系与并联导体电阻的关系式相似。
1.3.2 磁芯有效参数
铁氧体磁芯的电磁性能与磁芯的材料和磁芯的尺寸有关。许多材料参数的计算，如磁导率，损耗和饱和磁感应强度等，都要涉及到磁芯的几何尺寸。通常将磁场分布不均匀的磁芯—如E型磁芯，复杂的罐形磁芯等—等效为具有均匀磁场分布的假想磁芯，这种假想的等效磁芯近似于一个薄壁的环形磁芯，而且壁厚与内径之比越小，近似程度越准确。这个磁芯具有各处相等的截面，并用各种材料构成，可用有效截面 Ae 和有效磁路长度 le 来表示。在计算时还应假设，总磁通能穿过每个位置的截面积，在磁芯旁边走过的漏磁通忽略不计。
最简单的情况如图 2-20 的矩形截面的环形磁芯。当沿环形磁芯均匀缠绕线圈并通电以后，在环形磁芯内部的磁力线各处是不均匀的，在靠近内径处磁路长度短，磁阻小；在靠近外径处，磁路长度长，磁阻大。磁力线形成许多同心圆。我们把磁芯设想成由许多壁厚为 dr 的理想薄壁环组成，其中 IN=N2πr，并将单元环形的高度定为 h，截面积定为 dA=hdr，则单元环相应的单元电感为：

由 B=μ0μiH 代入，可得单元初始电感值为：

将所有的单元环加起来，即由内径到外径积分，可得环形磁芯的初始电感值为：
                  (1-34)
于是，环形磁芯的初始磁导率为：
                     (1-35)

或简化为：
                (1-36)

式中，
L = 电感（亨利）
N = 匝数
h = 磁芯高度（米）
D = 环形磁芯外径（米）
d = 环形磁芯内径（米）
对于 E 形磁芯，罐形磁芯与其他类似的磁芯，其几何情况比环形磁芯复杂得多，精确计算这些磁芯的磁场分布必将要化费很大的工作量，因为不仅要象环形磁芯那样考虑到通过截面的不均匀磁场分布，而且也要考虑到不同截面图 1-20 矩形截面的环形磁芯处与拐角处磁力线的园弧拐弯。因此，自 1950 年起，采用了近似法。此法是将磁芯设想或由许多相等截面 AK 的单元组成，并假设在其中局部磁场强度 HK 是常数，这种单元的磁路长度用 lk 表示，单元具有的磁感应用 Bk 表示，以及所属的相对磁导率用 μk 表示，则由环路定律得：
        (1-37)
而线圈电感的定义为：
                                (1-38)
将(1-37)式代入(1-38)式，可得：
                   (1-39)
对于一个无气隙的环形磁芯，磁芯有效长度为 le，有效截面积为 Ae，则电感值为：
                       (1-40)
比较(1-39)式及(1-40)式可知：

或
得到
或表示为：
上式表示磁导率温度系数之比与气隙因子 μe/μ 成比例，证实了式 (1-23) 即磁路中引入气隙可使磁芯温度系数下降。
关于开气隙对磁芯损耗的影响。由于弱磁化场条件下，磁芯的损耗因数与磁感应β成线性关系增长，考虑到在相同的外磁场强度作用下，开气隙与无气隙磁芯内部的磁感应之比为 μe:μi，由此得出损耗因数 tgδ 也随 μe/μ；成比例下降 ，即：。
顺便提下，随空气隙增大（μe 减小），磁芯损耗因数tgδc 减小，而线圈在流电阻引起损耗的 tgδN 增大，两种损耗之和，即电感线圈的损耗因数 tgδsp 随 μe 变化而通过一个最小值。因此线圈 Q 值在事实上空气隙下达最大值，见图 1-26。
1.3.4 开路磁芯
实际使用的棒型磁芯或 I 型磁芯，是开磁路磁芯。当外磁场作用时（如放在通电螺线管内），在磁极两端形成磁极，磁极之间有磁力线通过。磁场线从北极指向南极，因此在磁芯外部，磁场线与磁感应是同方向的；而在磁芯内部，磁场线与磁感应线是反方向的。如图 1-27 所示。磁芯内部去磁场与线圈产生的外部磁场方向相反，削弱了线圈磁场，故称为退磁场，用 Hd 表示。于是，磁场内部有效磁场为：
                       (1-48)
式中，退磁因子β与磁芯尺寸有关，对于不均匀磁体，还与方向有关。只有椭球体及其极限形状（如球体，无限长棒、无限延伸的平板）的退磁因子可以准确计算，因为这些形体在一个均匀外磁场中时，其内磁场是均匀的。如椭球体三个相重直的主轴方向的退磁因子之和总等于 1。　
即 βx+βy+βz=1
对于球体，各方向的
对于无限长棒或闭合球，纵向β=0
对于无限延伸的平板，横向β=1
对于周长为 le 的圆环，带有小气隙 l0 时，
根据式(1-48)，也可推得内磁场与外磁场之间的关系：
         (1-49)
按照上式，当μ=1000 的球体，可计算得到内磁场仅为外磁场的 0.3%。
当在长线圈的中心部位放置一个有限长的棒形磁芯时，该有限长磁芯在线圈 Ha 作用下受到磁化，磁芯两端出现自由磁极，产生退磁场。对于棒形样品来说，这种退磁场在不同截面处的大小不同，靠近两个端面处退磁场较强，中心截面处退磁场较弱，结果作用于磁芯的有效磁场（即外磁场与退磁场的合成磁场）在中心处最大，由中心向两端逐渐减弱。因此，往往磁棒中心截面处磁感应强度最高，而两个端面处磁感应强度最低。
对于有限长度的圆棒形磁芯，其退磁因子β值决定于磁芯几何尺寸，并与材料磁导率有关，图 1-28 示出棒形中心有效磁导率 μe 与园棒尺寸 l/d 的关系，并以材料 μi作为参变数。由图可见，材料磁导率 μi 密高，退磁因子对 μe 的影响就愈大。当材料磁导率低，或者棒更加细长时，μe 值趋近于材料磁导率。圆棒呈短而粗形状时，退磁因子成为不可忽略地大，有效磁导率比材料磁导率下降很多。