(2)
结合式(2)、正弦定理以及 ∠aob=120°，可求得
 ∠bob'=36.92°                                   (3)
即辅助相电压与相邻主矢量相差36.92°。比文献[5]、[6]提出的37°更精确。相应可以画出各相电压的矢量图，如图2(b)所示。
对图2(a)中的三角形bab'应用余弦定理可以求得：

           (4)
对于图2(a)中的三角形bc1b'，易知其三内角分别为20°、40°、120°：
应用正弦定理，有：
         (5)

将(4)代入上式可得：

则变压器匝比满足：
Ns/Np=0.137，Np1/Np=0.258，Np2/Np=0.484             (6)
变压器的设计包括铁心选择、绕组设计和填充系数校核三大步骤，具体可参见文献[10]、[11] 、[12]等。下面给出变压器原边匝数Np的设计公式。令变压器铁心最大磁密为Bm、导磁面积为Ae，输入电压线电压有效值为Vlrms、频率为f，根据电磁感应定律有：
           (7)

                           (8)
由上式来设计变压器的原边匝数，根据推导得到的变比公式确定各绕组匝数。
3.3 输出直流电压
令va=Vrms sinωt，其中V=Vrms则，
vab=Vlrms sin(ωt+π/6)由图2(b)可知
va"b=Vlrms sin(ωt+5π/18)，由下式可求得自然换相点处的电角度θ0：
vab =Vlrms sin(θ0+π/6)=va"b
        =Vlrms sin(θ0+5π/18)                      (9)
即：θ0+π/6=π-(θ0+5π/18)，则自然换相点处的电角度θ0=5π/18，即为50°。
则输出直流电压为：
                  (10)
相比常规桥式整流电路，输出电压略有升高。
3.4 输入电流波形
忽略输出电流的脉动，认为输出电流为恒定的电流Id，来分析电路的工作原理。
图4给出变压器各节点电流的具体定义。根据求解得到的自然换相点的角度，结合图2(b)给出的换相次序，可以得到a、a'、 a"、 b'、 b"、 c'、 c"的节点电流波形，如图5(a)、图5(b)所示。根据基尔霍夫电流定律列出各节点的电流关系有：
                            (11)

                             (12)
对于每个铁心磁柱而言，根据磁势平衡原理可得：
                  (13)
 
将式(6)、(11)、(12)代入上式可得到ica3、iab3，见下式；并画出其波形，如图5(c)、5 (d)所示。
                (14)

将上式代入式(11) 可得到iab2、iab1，见下式；并画出其波形，如图5(e)、(f)所示。
           (15)
根据式(11)、(15)可推得相电流isa：
isa=ia+iab1-ica3=ia+0.742(ia'+ia")-0.137(ib'+ic")+0.395(ib"+ic')    (16)
由上式，结合图5(a)、(c)、(f)，即可画出相电流isa。显然，a相电流与a相电压同相，且由于脉冲数较多，波形的谐波含量较少。
由图5(g)可计算得到isa的有效值：

将输入电流isa正、负波形的中点作为时间零点对其进行Fourier级数分解得：

               (17)
则基波有效值 Isa1=0.8123 Id
输入电流总谐波含量为：。略小于其他文献推导的输入电流THD(10.11%)。
3.5 变压器容量
根据图4可以求得ia、ia'、iab2、iab1的有效值电流为：
Ia=0.666Id，Ia'=0.333Id，Iab1=Iab3=0.2697Id，Iab2=0.1377Id
结合变压器匝比关系和输出直流电压表达式，可计算变压器容量为：
Ptr =0.5ΣVrms·Irms
    = 3(Ns/Np)Ia'Vlrms+3(Np1/Np)Iab1Vlrms+1.5(Np2/Np)Iab2Vlrms
    = 0.317VdId=0.317Po                                                                                                    (18)
略大于其他文献推导的变压器容量(0.315Po)。上式说明同样的输出功率，自耦变压器容量较小，有利于减小其体积重量。
4 实验结果
根据理论分析结果，实际完成了115V/400Hz输入、40kW 18脉冲变压整流器的设计。
图6给出40kW 18脉冲自耦变压整流器系统结构示意图。为了防止突然加电变压器饱和，输入需加入交流软启动电路，实际采用电阻和交流接触器并联而成。为了提供软启动时序以及过流、过温、缺相等故障检测和报警功能，系统中要加入控制电路和相应的辅助电源。图7为实际的样机图片。
自耦变压器采用E型三相磁芯，磁芯材料为日本新日铁0.2mm硅钢带，型号为40×64×160，导磁面积为21.76cm2，窗口面积为：8000mm2，铁心重量约为15.7公斤。其中Np为59匝，Np1为15匝，Np2为29匝，Ns为8匝。整流桥采用IXYS的VUO 160-08NO7。三相交流输入端、直流输出端各加7.5μH电感，直流输出端接3000μf电容。
图8给出115V输入、40kW输出三相输入电流波形和输出电压的纹波波形。图9给出不同输出功率下的THD曲线，可以看出负载越重，输入电流谐波含量越小。图10给出在输入低压、额定和高压情况下系统的效率曲线。满载额定输入时，整流器功率因数为0.991，效率达到98.4%，THD为6.9%。
5 结束语
本文从线电压矢量长度相等及相邻矢量相差20°的原则出发，推导了18脉冲自耦变压器的匝比设计公式。并忽略直流侧的电流脉动，对输出电压、输入电流特性进行了详细的分析。论文对变压器匝比关系的分析，弥补了现有相关文献在该问题上研究的不足。计算出的输入电流的THD小于已有文献分析，而变压器容量略大。并针对机载变频器设备完成了40kW 18脉冲变压整流器的电路参数设计和硬件实验。额定条件下，整流器功率因数为0.991，总谐波电流含量为6.9%，变换效率为0.981，自耦变压器重量为27kg。
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