1引言
改善功率转换器及其系统的技术性能，最关键的是改善转换器的功率密度、效率，控制带宽和降低无源元件的尺寸——在此的一个关键因素是转换器的开关频率，而随功率转换器开关频率的增高，就需要研究高频对磁性元件诱发损耗的影响。在高频工作时，涡流所感应产生的趋肤效应和邻近效应在绕组内会引起附加损耗，趋肤效应和邻近效应会改变磁性元件的磁场和电流分布，使其交流电阻增大。
分析研究高频变压器和电感器绕组的涡流效应有两种方法：①数值法，即通常所称的有限元法（FEM）或者称之为解析一维闭形方程；②二维（2D）涡流解析法则难以解决分析法范围的限制。以前的研究推广了解析法，以识别对称导体的趋肤效应和邻近效应之间存在的正交性。并使一维解析法推广应用到了圆形导体以及成为了分析绞合线的通用方法。这种方法需要使用绕组窗口内部的磁场分布图和计算机辅助设计程序，以便快速获得结果。该方法已成功地应用于一定精度要求的设计工作。由此说明，分析箔带构成的绕组和外侧电流的分布状况也不存在简易的方法，有人提出过精确的分析方法，但因为其需要用数值法求椭圆积分而使其应用受到限制。
采用纯数值法分析箔带绕组中的涡流效应是很费时间的，而且需要使用计算速度和容量较强的计算机，因为其对每个导体都需要作出精密的网格。本文所提出的数值和闭形解析相结合的方法，则可免去精密网格要求，故成为此较简化的解析方法。
2自由空间上单层箔带（导体）的电流分布
在自由空间，假定有一条无限长且带有正弦电流i(t)的隔离箔带导体，如图1所示：其宽度为W，厚度为h。箔带的趋肤深度由其趋肤效应决定，电流的透入深度按函数关系呈指数下降。导体四周上的电流分布是一种复杂的函数，用一般的解析方程不能求导。在J.Lammeraner和M.stafl所著《Eddy Currents》一书中提出的解法是用椭圆形截面积代替箔带的矩形截面积，见图2。
图3示出了用有限元法在50kHz工作频率时所求出的尺寸为1×20mm的箔带导体的电流分布情况。从图3可见，电流较多地集中在箔带导体的拐角处。当把箔带导体放置于有气隙的磁心内部时（见图4a），大部分的电流将从导体的拐角处聚集到导体的中间部位（见图4b）。图4b所示为在50kHz频率下箔带导体在有气隙的磁心内部时其截面上的电流分布情况。
值得注意的是，在高频工作时，导体周边的电流分布与频率的函数关系并不十分强烈，如图5所示。有效电流必须分布在导体的表面上，故必须消除掉任何与导体表面垂直的电流分量。这种消除工作由导体表面的涡流来完成。这个表面涡流的量值只需大到足以消除外加的垂直磁场。为了激励起足够量值幅度的涡流，需要确定最低的激励频率。这一量值幅度即使在外加磁场的频率增加的情况下也不会再增长。沿导体高度方向上分布的电流密度是由导体接收电磁场的透入力决定的，与频率的关系密切。
磁场强度与电流密度的一维分析解，在上述提及的《Eddy Currents》一书中已有详细叙述并给出了下列方程式：

 (1)

 (2)
式中，Hy——磁场强度，JZ——电流密度，系数， (3)
δ——趋肤深度，h——箔带厚度。
图6所示是根据方程式(2)归一化的预测及根据两条箔带导体结构的有限元分析得到的预测电流密度的比较情况。由图可见，两种预测的情况非常一致。
3箔带绕组损耗的一维（1-D）分析
3.1自由空间中箔带绕组的损耗一维分析
以一箔带导体置于自由空间中，导体的长度（L）较其宽度（2a）大得多（L>>2a）（见图7），那么即可采用一维场分析求解其损耗问题。
图7的问题可用麦克斯韦方程、以笛卡儿坐标求解。由于电流I只在Z方向流动，并通过使用问题的对称性，只有非零的磁场分量为x分量。由此得出合成磁场的微分方程为：
 (4)
式中δ为趋肤深度，可以用 (5)
表达。式中，μ——磁导率，σ——电导率。此外，可以用麦克斯韦方程求出电流密度Jz和磁场强度Hx之间的关系：
 (6)
式(7)的一般解为：
 (7)
式中，H1和H2为常数，可用箔带导体边界（y=±a）条件计算。根据对称性，+a和-a的磁场强度的表达式为：
 (8)
式中，箔带导体周围的磁场强度Ho可根据电路的安培定律计算：
 (9)
式中的I为箔带导体内的总电流。将式(8)和式(9)代入式(7)并求出常数H1和H2，所得的磁场强度解为：
 (10)
式中，K为一个常数，表达式为：
 (11)
将式(6)代入式(10)，即可求出箔带导体内的电流密度分布：
 (12)
然后，箔带导体内的功率损耗可根据下式计算：
 (13)
可由计算出的功率损耗P，按下式计算出箔带导体的电阻值：
 (14)
在此需要指出，交流电阻(Rac)已经被规范为一个趋肤深度的直流电阻。
图8是按照归一化交流电阻Rac和归一化箔带导体厚度的函数给出的。通过对图8的分析可发现，箔带导体显然存在一个损耗最小的最佳厚度。在自由空间中，箔带导体的最佳厚度为πδ，而归一化的交流电阻Rac为0.46Ω。
3.2在磁心上绕制箔带绕组之损耗的一维分析
磁心对绕制其上的箔带绕组损耗的影响可以通过研究磁心范围内的镜象法和含有电流分量(μr-1/μr+1)I=αI来分析。在磁心的磁导率非常大（如铁氧体磁心）时，常数α=1。以下的分析中即假定α=1。根据此假定，在磁心上绕制的箔带绕组的1-Dac电阻可用类同于自由空间的某一箔带导体的分析来计算。对于如图8所示的多层绕组结构，其每层内的磁通密度分布由式(7)给出。
各导体上下表面的边界条件为：
 (15)
 (16)
其中第m层绕组的α=2(m-1)。在第一层绕组下部表面的磁场强度则为0。因此，高磁导率磁心支配着磁心上部表面的零磁场边界条件。
在已知每层绕组内的磁场强度分布、电流密度时，就可计算出每层的交流功率损耗为：

 (17)
式中an=2a/δs为归一化层的厚度。以归一化箔带厚度为函数的各层归一化交流电阻的曲线图如图9所示。从图9可见，在磁心的表面处，由于是零磁场边界条件，单层绕组的交流电阻值是自由空间情况下交流电阻值的2倍。此外，在每层的交流电阻值最小时为最佳厚度。
实际上，由于单层箔带的厚度常用于多层结构，故多层结构的总交流电阻值计算很重要。图10示出了采用单层箔带厚度的多层绕组的总交流电阻值。正如前述一样，所有各层都存在一个最佳的箔带厚度；在最佳厚度时，总的交流电阻值最小。当箔带的厚度增大时，多层导体的最佳厚度近似等于趋肤深度的二分之一。在实际应用中，为实现高频应用的绕组，箔带厚度常用一个趋肤深度。
4箔带绕组损耗的二维（2D）分析
4.1自由空间箔带绕组损耗的二维分析
在上述一维分析中已叙述了箔带导体的特性。由于是假定箔带导体为无限长，故用一维分析法可以成立。然而，在高激励频率下，这种假定是不成立的，故需采用二维分析。
二维结构中，边缘效应改变了箔带导体的电流分布，使箔带导体的边缘附近的电流密度增大。这是由箔带导体边缘附近的垂直磁场分量引起的，这个垂直磁场分量会引起较大的感应涡流（见图13）。
二维分析的数学描述是广延的，这是由于箔带导体边缘的边界条件不易确定。解决这种问题的方法之一是假定电流集中于导体表面的趋肤深度范围之内。但这种假设的成立需要导体厚度比趋肤深度大几倍。并且假定导体表面的电流密谋JS是已知的，则沿趋肤深度方向的电流密度分布为：

式中n为电流进入表面的标准深度，k由式(11)求出。
在甚高频时，趋肤深度非常小，因此，导体表面近似于一条磁场流线。在此情况下，导体表面方向的电流密度分布会在导体表面上转换成静电电荷分布。由此可见，只要已知导体表面的静电电荷分布即可知道电流密度分布。
现在研究半径rO的圆柱导体的电流密度分布，其表面电流密度分布的指数函数表达式为：
 (18)
导体每单位长度的表面电荷密度分布为：
 (19)
比较式(18)和式(19)，可以发现，如果总电荷()用标量替代，那么，总电荷分布将相当于表面电流密度Js。导体表面的静电电荷分布等同于由导体外侧的标量电势给定的电场密度D。
为了找出由关系式F(x，y)=0所给定的外形平面Z=x+jy内总电荷为（）的静电电荷分布，首先要研究具有相同总电荷的平面（W=u+jv）的圆外形之静电电荷分布，式中|W|=r，r2=u2+v2。电场密度的标量势能为：
 (20)
式中，c为常数，在Z平面内，如果有个W=f(z)函数，它能相似地把上述圆形线路转换成F(x，y)=0给定的线路，那么，该线路的标量势能将为：
 (21)
通过对Z求导V，电场强度和期望的电荷分布为：
 (22)
式中的下标S表示沿表面的分布。用式(21)并以()代替()，得到沿表面的电流密度分布为：
 (23)
如果用具有相同截面积的椭圆对矩形截面积进行近似，如图14所示那样，即简化了箔带导体的计算问题。
按等面积进行假设，箔带状导体的尺寸与椭圆的长轴和短轴尺寸有关，即：
 (24)
把椭圆形变成圆形的图形变比形式为：
 (25)
式中，c为焦距，即：
 (26)
将f(z)代入式(23)并用x+jy表示z，则得到沿椭圆表面的电流密度分布为：
 (27)
具有4个趋肤深度（即）之厚度的箔带导体，沿其表面的电流分布如图15所示。应该说明，这里的电流密度已经被规范为与箔带为一个趋肤深度之厚度的均匀电流分布相应的值。
从图15可见，由于箔带导体边缘附近存在着垂直的磁场分量，故在其边缘附近的电流密度是非常大的，这将在箔带导体内引起附加损耗。
根据式(27)的电流密度值，箔带导体内的交流电阻损耗的计算式为：
 (28)
通过对式(28)进行积分，得出总的交流电阻值为：
 (29)
式中，k是第一种类型分析和模数为c/b的椭圆全积分。必须注意，以上计算只适用于a>>δ的情况。实际上，这个解只适用于的相应频率。在较低频率时，需采用别的解决办法。有人提出了低频情况下的功率系列解，对于其中的分段任意点的电流密度来说，无限系列被假定为：
 (30)
此式可以计算每个分量的电流密度对箔带导体每米总的压降状况，并得到总的(ac/dc)电阻的值为：
 (31)
其中， (32)
式中，，，。只有当P很小时，由式(31)求出的解才收敛。这个解的频率上极限相当于。因此，对于()而言，存在有频率间隙，在频率间隙处，以上所提出的解法没有一种是适用的。
有一种渐近解法可用来填补频率间隙。根据以上的分析，在甚高频时，ac/dc电阻值之比近似其高频渐近线，即近似为：
 (33)
而在低频时，ac/dc电阻值之比近似于低频渐近线，即近似为：
 (34)
其中，当频率变化时，Ch和C1确定了控制任一个渐近线开始的转角频率。这说明相应于低频和高频渐近线的两个不同频率和有2-0频率响应。将式(33)和式(34)合并，得到总的ac/dc电阻值之比Fac为：
 (35)
此式中的常数和功率可由式(33)和式(34)给定的两种渐近线的相关方程求出，即：
 (36)
 (37)
式(35)中，；α=2。最后得出交流(ac)电阻值为：
 (38)
根据上述结果，它们的归一化厚度（）与箔带导体的交流电阻值的函数关系由图16所示。在此，交流电阻被规范为了一个趋肤深度的直流电阻值。从图16可见，根据频率变化，综合解逐渐近似于低频解和高频解；另外，箔带导体的交流电阻值比用一维模式预测的值几乎要高85%，这里的主要原因是二维边缘效应引起的。
4.2带磁心的箔带绕组损耗的二维分析
通过把箔带导体及其镜象合并成单一导体，可用扩展自由空间的二维分析情况来说明带磁心箔带绕组的情况，如图17所示。合并的导体尺寸为2b×4a，即新的导体具有相同的宽度，但其厚度则大一倍。因此，计入二维效应的较正系数是根据其纵横比值来计算的，在两倍箔带厚度，该纵横比为自由空间情况的纵横比的一半，为此，
 (39)
现以图18所示的一种二匝单层电感器结构来验证其结果。由于结构对称性，只需研究其上半部分。
这一研究中，使用了4种厚度的箔带：即1/2趋肤深度、1个趋肤深度和1.5个及3个趋肤深度。工作频率选75kHz，在这一频率时产生的趋肤深度为10mil。箔带厚度为1个趋肤深度时，直流电阻值为2.38mΩ/m（铜箔带），表1列出了计算出的总交流电阻值。如表1所示，预测与计算结果的交流电阻值只有百分之几的误差。这些误差是由于磁心并不适合理想导体引起的。这些误差是分析中可以接受的，而且用二维法预测的交流电阻与实测的交流电阻更为接近。
现把这种分析解法扩展到多绕组，以确定多绕组之间的相互影响。下面利用一种10匝5层的绕组结构来研究，这里使用了三种箔带（铜）厚度。顶层绕组的交流电阻值如表2所列。在此同样用FEA软件进行计算。
(1)表2揭示：一维交流电阻值和FEA计算值之间的误差很大。厚度为5mil时，顶部第五层的FEA交流电阻值与低部第一层的FEA交流电阻值之比值为2.0；在10mil时，它们之比为2.8。而30mil时，其比值为6.1。这与一维情况时的差别很大。在一维情况时，对5mil、10mil、30mil的比值分别为1.43、1.75和44.6。这说明了一维（1D）模型不再正确。
(2)当箔厚增大时，与层绕组总的交流电阻值变化不大，这与一维分析的结果相反；在一维分析中，即使箔带的厚度变化很小，也会引起较大的交流电阻值变化。
(3)由分析可见，箔带厚度为1个趋肤深度时总的交流电阻值最小。这与高频设计时大部分采用1个趋肤深度之厚的箔带相一致。
(4)第一层的交流电阻值比一维分析预测值高得多。对于第一层，当箔厚增大时，一维分析的结果认为，归一化的交流电阻值每单位近似等于1.0。这不是以FEA计算的结果。实际情况是，由于层数增多，第一层的交流电阻值相应增大。这是因为每增加一层，边缘效应也随之增大。图19所示为在2层结构时的箔带边缘附近的电流密度，而图20则示出了在5层结构时的箔带边缘附近的电流密度状况。由这两个图中可见，第一层的边缘效应随附加层（1.0×108与1.5×108）的增大而变大。
为了计算多层绕组的交流电阻值的附加增长，可以研究如图21所示的多层结构。如图中所示，假定其为单一导体，那么电流顺磁场方向流动，因此，导体边缘附近的电流分布受各个附加层所有磁场积累之和的影响。
为计算因为多层结构二维效应引起的交流电阻值的变化量，可以利用校正系数。为简化问题，首先假设将所有各层合并，则多层结构就成了一个具有合并层厚度的单层。合并层的校正系数可以用式(17)计算。通过对所有各层取平均校正系数，即可求出一维总的交流电阻值的总校正系数。以这些校正系数可以近似地给出一个有关多层绕组的二维交流电阻值的表达式：
 (40)
式中为如图11所示多层绕组的总交流电阻值，CFt为总校正系数，其定义为：
 (41)
式中an为归一化箔带厚度，而
 (42)
CFxm为第m层的校正系数。当箔带厚度为K·δ时， α的值为2，其中K为整数，其它情况时，α的值为1。在此应注意，除了其镜像外，校正系数的纵横比是通过合并所有层来计算的。
5关于校正系数
上面提到，可以引入计算二维边缘效应的校正系数来修正用一维分析预测的交流电阻值。所谓校正系数就是根据二维（2D）分析预测的交流电阻值与一维（1D）分析预测的交流电阻值之比值。图8示出了以不同箔带导体纵横比()的归一化导电带厚度为函数的计算校正系数。对于自由空间的箔带导体，其总的交流电阻值为：
 (43)
式中R1-D为一维电阻值，CF为以纵横比为函数的校正系数。将式(14)和式(38)代入式(43)，计算出校正系数为：
 (44)
式中，Rac-n(1-D)为归一化的一维交流电阻值，Fac-n为归一化的二维交流电阻值，an为归一化的箔带厚度。在此，所有的电阻都被规范为一个趋肤深度的直流电阻值。图8所示为以纵横比()和归一化箔带厚度an为函数的计算校正系数。分析表明，当较大时，交流电阻值校正系数增大。这个结论与用一维分析作的假设相矛盾，这是因为一维分析是用大的纵横比把二维问题简化成了一维问题。这时，当增大时，箔带导体的直流电阻值减小。但由于大部分电流在箔带导体边缘附近流动，其交流电阻值没有明显变化。因此，ac与dc的电阻值之比增大。
图8所计算的校正系数仅适用于自由空间下的箔带导体。因实际应用中的箔带绕组是绕在磁性体上的，因此必须考虑磁心的影响。
6外侧电流分布的损耗分析
这里讨论消除由外侧电流分布和由趋肤效应与邻近效应引起的损耗问题。根据图9所示的坐标，外侧电流分布状况仅是x轴的一个函数，而由趋肤效应和邻近效应引起的电流分布则只是y轴的一个函数，因此，第m层箔带导体在位置x处的损耗为：
 (45)
式中，u为每单位宽度。
根据箔带导体宽度，通过对式(45)积分，可以求出第m层箔带的总损耗为：
 (46)
式中，w为箔带宽度。
趋肤效应和邻近效应可以用解析法求解，而外侧电流分布只能用数值法求解。然而数值法不需要采用解涡流问题中通常要求的精细网格；一般只要求每一导体在其高度方向上具有足够多的网格点以预测电流分布，即可满足磁场计算。
外侧电流分布与趋肤深度无关，它是绕组与磁心结构之间的一种几何函数。此外，在交流磁场激励的情况下，外侧电流分布不会像频率函数那样有很大变化，这就不必去计算每个频率的外侧电流和磁场分布。为此在分析包含有许多付立叶分量的电流波形损耗时可以大大节省计算时间。
7验证
为验证式(40)~(42)的结果，使用FEA软件以Maxwall 2D 模拟一个宽1.25英寸、厚5mil、10mil、15mil和30mil的5层结构箔带绕组。在75kHz时，趋肤深度为10mil，此时的直流电阻值为2.38mΩ/m。所得到的电阻值列于表3。从表3可见，预测值和计算的交流电阻值较接近，误差在10%范围内，此结果完全可以接受，而且，与一维分析结果相比较，它给出了一个与绕组的实际的交流电阻值较相近的数值。
8结论
文章用一维（1-D）分析法和简化二维（2-D）分析法，提出了一种估算高频箔带绕组损耗的方法；提出自由空间单层绕组计算损耗的校正系数，该校正系数引入了计算自由空间的边缘效应；还提出了绕组外侧电流的损耗分析。这些方法都被延伸到具有磁心的绕组以及多层结构绕组。
为验证所采用的分析法的结果，使用了FEA软件。验证证明，两种方法所预测的交流电阻值与FEA方法计算的结构很接近，其最大误差为12%，这是完全可以接受的。文章的目的不是为了提供非常准确的多绕组结构的交流电阻估算值，而是为了提供一种计算箔带绕组的交流电阻值的简单方法。
(参考文献略)