1引言 众所周知，电源变压器通过采用开关变换器而使尺寸变小了，适用了电子设备小型化的要求。如果要求电源变压器尺寸更小，有效的方法是提高开关频率。然而，随着开关频率的提高，变压器的铜损和铁损将要增大。为此，设计师就必须在变压器的损耗、额定功率容量和成本之间进行折衷考虑。本文根据总损耗、极限温升、冷却条件讨论开关电源变压器的额定功率容量、成本和结构，并根据新引入的设计系数介绍一种经济的设计方法。该方法与常规的设计方法比较，最初仅需给定温升，然后用此方法得出铁心形状和绕组。 2变压器的几何形状和假设条件 图1示出了供本设计分析应用的EI型铁氧体磁心。为了设计分析的方便，根据图1所示磁心的中心柱宽度2a来设定磁心的相关尺寸。图1中的影线部分以及变压器的底部没有热辐射；磁心的体积Vi和绕组的视在体积Ve，按下式用a，α、β和γ求得： Vi=16a3γ(α+β+1) （m3） (1) Ve=8a3αβ(2+2γ+απ) （m3） (2) 式中， 由此可以按下式分别求出初级和次级绕组的平均长度Lm1、Lm2： Lm1=[4a（1+γ）+2aαπk1] (m) (3) Lm2=[4a（1+γ）+2aαπ（1+k1）] (m) (4) 式中，k1为初级绕组占有磁心面积的百分数。磁心热辐射的有效面积Sir，绕组热辐射的有效面积Scr： Sir=4a2[(2α+2β+4)γ+(2α+2β+3)] (m2) (5) Scr=4a2[(2α+α2π+2β+2αβπ)] (m2) (6) 在本分析中，假设变压器的功率容量在几百VA量级，最高工作频率是1MHz，并存在以下假设条件： a.用Mn-Zn铁氧体为磁心的壳式变压器； b.交流电源的电压波形为方波； c.初级绕组在内侧，次级绕组在外侧，并都是紧密绕制； d.属于自冷式变压器； e.绕组与磁心本身的热传导忽略不计； f.变压器的漏感、趋肤效应、邻近效应都忽略不计。 3变压器的额定功率容量与损耗分析 因为变压器磁心的损耗Pi是随着材料、频率和磁通密度的变化而变化。图2显示出在正弦电压激励下测得的开关电源变压器的Mn-Zn铁氧体环形磁心的铁损与频率变化关系的典型曲线；在方波电压激励时，磁心的损耗略小于正弦波激励。所以，采用方波激励，可使变压器设计更安全。 磁心的损耗与频率的关系近似于图2中所示的两条直线。为使分析简化，用以下两个经验公式表达其关系。 频率较低范围的经验公式是： Pil=6.0f1.34461(Bm)2.46Vi (W) (7) 频率较高范围的经验公式是： Pih=7.95×10-4 f2.07(Bm)2.32Vi (W) (8) 式中的Bm是最大磁通密度。绕组损耗Pc由以下公式求得: Pc=ρ1fc1Q[Lm1k1+Lm2(1-k1)](J1)2 (W) (9) 式中，ρ1为铜的电阻率，fc1是铜的填充系数，Q为磁心的窗口面积，而Q=4a2αβ，J1为初级绕组的电流密度，并且假定次级绕组的电流密度等于J1。对方波的额定功率容量P1可由下式求得，其值是从输入功率容量中减去总损耗： P1=4fBmSik1fc1QJ1+riLm1k1fc1Q(J1)2-(Pi+Pc) (VA) (10) 式中，Si是铁心中心柱的截面积。 由于额定功率容量仅受冷却条件和温升的制约，因此，可以用这些条件的有关参数修正式（10）。变压器功率损耗产生的热量是经表面面积辐射的，下式表达了铜损Pc和Scr的关系以及铁损Pi和Sir的关系： Pc=htTScr (W) (11) Pi=htTSir (W) (12) 式中，ht是热幅射系数（W/m2℃），T是温升范围（℃）。因此，用式（9）和式（11）可以得到J1： J1={htTScr/[ρ 1fc1Q(K1Lm1+Lm2(1-K1))]}0.5 (A/m2) (13) 式（7）和式（8）已表明，铁心的损耗在低频和高频时是不等的，因此，Bm在低频和高频时也是不同的。现用符号Bml表示低频时的最大磁通密度，Bmh表示高频时的最大磁通密度。它们可以通过式（7）、式（8）和式（12）求得： Bml={htTSir/(6f1.34461Vi)}1/2.46 [T] (14) Bmh={htTSir/(2.52×10-3f2.02Vi)}1/2.46 [T] (15) 将式（11）~式（15）代入式（10），额定功率容量P1的结果为： P1=Aa3.039(αβ)0.5γ0.539fB(htT)0.907·{[(2α+2β+4)γ+ (2α+2β+3)]/(α+β+1)}0.407·[(2α+α2π+2β+2αβπ)/ (2+2γ+απ)]0.5+a2(πα+4+4γ)(πα2+2α+2παβ+2β) (htT)/(πα+2γ+2)-4a2(htT){4α+4β+α2π+ 2αβπ+(2α+2β+4)γ+3} (VA) (16) 式中，A、B为常数，其值由下式求得： A=2.317×104， B=0.453，频率为10kHz~100kHz时。 A=5.465×105， B=0.179，频率为10kHz~1MHz时。 在讨论之中，也给出了式（16）中的其它一些常数： fc1=0.3，K1=0.5，ρ1=2.16×10-8 (Ωm) 由此可见，额定功率容量仅需用频率f、热辐射系数ht，温升T和尺寸参数α、β、γ和a描述。 变压器的成本计算式为： Ct=8a3+106{9.6(α+β+1)γ+2.679αβ(απ+2γ+2)} (元) (17) 现在假定铁心和绕组的单位重量成本是相同的，为了计算经济实用的变压器，单位额定功率容量的成本Ct/p1为： Ct/P1={8a3+106[9.6(α+β+1)γ+2.679αβ(απ+2γ+2)]}/ {Aa3.039(αβ)0.5γ0.539fB(htT)0.907×[((2α+2β+4)γ+ (2α+2β+3)/(α+β+1))0.407×((2α+α2π+2β+2αβπ)/ (2+2γ+απ))]0.5+a2(πα+4+4γ)(πα2+2a+2παβ+2β)/ (htT)(πα+2γ+2)-4a2(htT)[4α+4β+α2π+2αβπ+ (2α+2β+4)γ+3]} (元/VA) (18) 为了设计经济型变压器，可分别根据2a、α、β、γ值，以式（18）求得最小的Ct/P1值。且由于式（18）是非线性的，所以这个最小值可以用计算机进行数值计算。 4计算结果和问题讨论 为检查式（16）的有效与准确性，可以将P1与a的函数计算值同经验值进行比较，如图3所示。式（16）中给定的参数值为：α=0.6，β=1.6，γ=0.9，f=50kHz。结果表明，计算值与经验值相一致，由此可证明式（16）是有效的、适用的。 图4(a)和图4(b)分别表示在γ=0.137时，P1、Ct/P1和参数α、β之间的函数曲线关系。在此，a=13.37mm，f=50kHz，hc=10W/m2c，T=20℃，P1=400VA（在图4(a)的底部）。这表明P1随着α和β增加而增加，而当α接近0.2，β尽可能大时，就获得了经济变压器的设计。 图4(a)和图4(b)对判定不同额定功率容量的参数趋向是有用的，但如果想用此图来取得详细的尺寸参数是困难的。 为了确定β的上限值，图5给出了Ct/P1和β的关系曲线。在β=0到β=1.0之间，Ct/P1出现明显变化，而随着β值的增加Ct/P1达到饱和状态；这表明β取很大值未必有利于经济实用变压器的设计。表1给出了当β值为恒定时（β=3），不同额定功率容量的变压器计算的最佳尺寸比。以此结果而言，当α近似于0.2，γ尽可能小时，设计的变压器是经济的。现在引入一个新的设计系数Df。则Df=（α+β+γ）/β，表1也列出了此系数。 在额定功率容量整体变化期间，系数Df近似为一常数，图6表示这种关系。虽然系数Df在额定功率容量变化时近似为一常数，但是，Df将随着β值的增大而减小。Df对最佳变压器设计是一个有用的系数。 图7给出了几种β值时的Ct/P1与P1的关系曲线。它表明变压器单位功率容量的成本将随着额定功率容量的降低而增加，这与基本常识一致。图8表示在一组固定的β和P1值(β=1.0，3.0，6.0)，（P1=10VA，100VA，400VA）的条件下，设计系数Df与频率f的关系曲线，表明了当频率和额定功率容量变化时各个Df的值几乎是一常数，仅与β是一种函数关系。图9表示在图8的相同条件时的性能系数Ct/P1与频率f的函数关系，曲线表明其成本将随着频率的提高而下降，但其下降的速率是随着频率逐渐升高而放慢的。这意味着存在着一些频率上限。图10表示的是用表1参数设计的经济型变压器与市场上供应的变压器的比较图，其P1=400VA，f=50kHz，最佳变压器铁心的形状是窗口高而窄，厚度很薄，这与常规变压器的铁心形状相反。两者比较，最佳变压器铁心的成本约是常规变压器铁心的2/3。 5简化的设计方法 图11表示（Df-1）与β的曲线关系，虽然额定功率变化但该曲线是唯一的。图12给出的是频率与磁轭宽度2a的关系曲线，而图13是频率与窗口宽度b的关系曲线，这些曲线是根据表1和图8得到的。当额定功率容量和β值给定时，2a与f的关系曲线和b与f的关系曲线就可以确定这些图的经验关系方程式： Df=1+0.408β-1.12 (19) 2a=1.273×10-2β-0.367P10.333f0.080 (20) b=3.653×10-3β-0.490P10.311f0.086 (21) α=b/2a (22) γ=β(Df-1)-α (23) 例如，假定P1=400VA时，经济型变压器的简化设计程序如图14所示，第一步给定额定功率容量（此设定其P1为400VA），第二步选定频率（如定为50kHz），第三步设定β值（如定为β=3.0）。这些设定是为了方便与图10进行比较，第四步把β值代入式（19），求得设计系数Df（=1.119）；其后的两步是分别由式（20）和式（21）求得磁轭宽度2a和窗口宽度b；第7步把b值代入式（22）求得α值并把其代入式（23），得到γ值，最后分别根据定义式求得磁轭厚度d（=2αγ），窗口高度C（=2αβ）。只要和频率f，那么，所有参数就可以单独计算获得，结果满足了Df=（α+β+γ）/β的常数值（即当β=3.0，f=50kHz）时，a=13.2mm，b=5.4mm，c=79mm，d=4mm。图15(a)、(b)、(c)分别给出了频率在50kHz，100kHz和1MHz时，用这种简易设计方法得到的400VA变压器铁心的几何形状尺寸。它们的几何形状彼此非常相似。用这种简易设计方法设计出的变压器铁心的图形（如图15(a)）与图10(a)表示的最佳变压器铁心几何形状完全一致。由此可以表明，用新给出的设计系数Df的简易设计方法来设计经济型变压器是有效正确的。 6结论 通过以上对开关电源变压顺的讨论，可以得出以下结论： a.额定功率容量计算值与常规值一致，证明了引入求额定功率容量的式(16)及图3是有效的。 b.当α近似等于2.0，γ尽可能小时，若β为固定值，就可达到最佳的铁心几何形状与尺寸。经济型变压器的几何形状与常规变压器的几何形状相比，其窗口纵向很长，而厚度较薄。 c.新引入的设计系数Df，当β值固定时，其值是常数，它与额定功率容量及频率的变化无关。 d.基于用Df简易设计方法得到的变压器几何形状与用最佳变压器设计法设计的变压器几何形状是一致的，说明简易设计程序对任意频率都是适用的。 参考文献 1. 25th IEEE power electronics specialists conf.p24～28. 2. Technical report on power electronics of IEICE，PE937.May28，1993. 3.PESC record PP.1123～1129，1993.